全國文數(shù)第24課等差數(shù)列及其前n項和

1、第24課等差數(shù)列及其前n項和普查講24等差數(shù)列及其前n項和1. 等差數(shù)列中基本量的求解（1）（2017全國I, 5分）記Sn為等差數(shù)列a*的前n項和.若a4+玄5= 24,48,則an的公差為（C ）A . 1B. 2C . 4D . 865解析：由題意知，a4+ a5= a1 + 3d + a1 + 4d = 24,即 2a1 + 7d = 24; Ss= 6a1 + 2 d= 48, 即 2a1 + 5d= 16.2a1+ 7d= 24,聯(lián)立，得f|2a1 + 5d= 16一，得 2d = 8,二 d= 4.（2019 改編，5 分）已知an為等差數(shù)列，且 a1949 = 2019, a2

2、ow = 1949,則 a3968 = 0解析:（法aj+ 1948d = 2019,）設公差為d，則屮2018d= 1949,a1= 3967,解得彳d=- 1.二 a3968 = a1 + 3967d = 3967 + 3967 x （ 1） = 0.（法二）由 a1949 = 2019, a2019 = 1949,f .20191949.得 d= 1,19492019a3968 = a2019 + （3968 2019）d = 1949 + 1949x （ 1） = 0.2. 等差數(shù)列中的單調(diào)性問題（3）（經(jīng)典題，5分）下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題：P1：數(shù)列an是遞增數(shù)列

3、；P2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；P3 :數(shù)列 青是遞增數(shù)列；P4：數(shù)列an + 3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為（D ）A . p1, P2B.p3,P4C.P2,P3D .P1 ,P4解析：/ an= a1 + （n 1）d, d 0,二 an an1 = d 0，命題 p1 正確；設an = 3n 12，顯然an是遞增數(shù)列，但是nan= 3n2 12n, nan并不是遞增數(shù)列，故命題P2不正確；ai設an= n+ 1,顯然an是遞增數(shù)列，但 于=1 +和單調(diào)遞減， 是遞減數(shù)列，故P3不正確；設 bn= an+ 3nd,則 bn+ 廠bn = an+ 廠 an+ 3d= 4d0, 數(shù)列an+

4、3nd是遞增數(shù)列，命題 p4正確. 綜上，真命題為pi, P4.3. 等差數(shù)列的證明與判定技巧a. 定義法證明等差數(shù)列1（4）（2019改編，6分）若數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a.+ 2SnSn-1= 0（n 2）, ai =勺 求證：Sn是等差數(shù)列.答案：見證明過程證明：（法一）由 an+ 2SnSn- 1= 0，得 SnSn-1= 1an.（2 分）=2Sn Sn 1SnSn 11?an2（n 2）, （5 分）1、故=1是等差數(shù)列.（6分）SnJ（法二）當 nA 2 時，由 an+ 2SiSn-1 = 0,得 Sn Sn- 1 = 2SnSn-1.（2 分）1 111、-a1 =夕

5、an+ 2SnSn-1 = 0，5工0,兩邊冋除以SnSn-1，得舀$丄=2,故是等差數(shù)列.（6分）b. 等差中項法證明等差數(shù)列（5）（2018大同模擬，12分）設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1 =1,a2= 6,a3=11,且（5n 8）Sn+1 （5n+ 2）Sn= An + B, n= 1, 2, 3,，其中 A, B 為常數(shù).（I ）求A, B的值；答案：A= 20, B = 8解：由 a1= 1, a2= 6, a3= 11,得 S1= 1, S2= 7, S3= 18.當 n= 1 時，一3S2 70= A + B,即卩 A+ B = 28;當 n= 2 時，2S3 12S2=

6、 2A + B,即卩 2A+ B= 48.（2 分）聯(lián)立，得A+ B= 28,2A+ B = 48,解得20,B= 8.（4分）（n ）證明：數(shù)列an為等差數(shù)列. 答案：見證明過程證明：由(I )知，(5n 8)Sn+1 (5n + 2)Sn=- 20n 8,即 5n(Sn +1 Sn) 一 8Sn+1 2Sn= 20n 8,即 5na*+i 8Sn+1 2Sn = 20 n 8.又 5(n+ 1)an+ 2 8Sn+ 2 2Sn+1 = 20(n + 1) 8,一，得 5(n + 1)an+ 2 5nan +1 8an+2 2an+1 = 20,即(5n 3)an+ 2 (5n + 2) a

7、n +1 = 20.又(5n + 2)an +3 (5n + 7)為 +2= 20,(8 分)一，得(5n + 2)(an+3 2a“+2+ a*+1)= 0, 即 an+3 2an+2+ an+1= 0,即 an+3+ an+1 = 2an+ 2.又a1 + a3= 2a2，所以數(shù)列an為等差數(shù)列.(12分)4. 等差數(shù)列中的設項技巧(6) (經(jīng)典題，8分)解決下列問題.(I )三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為21,平方和為155,求這三個數(shù);答案：5, 7, 9 或 9, 7, 5解：設這三個數(shù)為 a d, a, a+ d,根據(jù)題意，有ad + a + a+ d= 21,(a d) 2+ a2

8、+( a + d)2= 155,(2分)a = 7, a = 7,解得或這三個數(shù)為ld = 2d = 2.5, 7, 9 或 9, 7, 5.(4 分)答案：2, 4, 10, 16 或 16, 10, 4, 2(n )已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28,中間兩項的積為 40,求這四個數(shù).解：設這四個數(shù)為 a 3d, a d, a + d, a+ 3d,根據(jù)題意，有a 3d + a d + a + d+ a+ 3d= 28,(a d)( a + d) = 40,(6分)a = 7, a = 7, 解得/ 或Id = 3|d = 3.這四個數(shù)為2, 4, 10, 16 或 16, 10, 4,

9、 2.(8 分)5.等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用(7)(經(jīng)典題，5分)在等差數(shù)列an中，已知a4 + a$= 16,則該數(shù)列的前11項和Sn= ( B )A . 58B. 88C. 143D. 17611 ( a1 + a11)11 (a4+ a8)解析：01=2=2= 88,故選 B.(8)(2019改編，5分)若an為公差不為0的等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的有(填序號) an+ an +1anan +1 an2 an2 an+ na2n-ia2n解析：設等差數(shù)列an的通項公式為 an= ai + (n 1)d，貝U a*+1= ai + nd,. an+ an+1 = 2ai+ (2n

10、1)d = 2nd + 2a1 d,. an+ an+1為等差數(shù)列；a2 = a1+ (n 1)d2= d2n2+ (2a1d 2d2)n + d2+ a2 2a1d，當 d豐 0 時，顯然at不為等差數(shù)列；t an+1 an= d,.數(shù)列an+1 an 為常數(shù)列；2an= 2a1+ 2(n 1)d= 2dn+ 2內(nèi)2d,顯然2 an為等差數(shù)列；2an+ n= 2a1 + 2(n 1)d + n= (2d + 1)n + 2a1 2d，顯然2an+ n為等差數(shù)列；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：每隔相同的 距離取出一項組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列，可知a2n-1 , a2n均為等差數(shù)列.6. 等差數(shù)列前n項和公

11、式的應用(9) (經(jīng)典題，14分)在公差為d的等差數(shù)列 an中，已知a1 = 10,且a1, 2a?+ 2, 5a3成等 比數(shù)列.(I)求 d, an；答案：當 d= 1 時，an= n + 11;當 d= 4時，an= 4n + 6解：由題意得 5a3 a1= (2a2+ 2)2, / 5X 10X (10 + 2d) = 2(10 + d)+ 22,即 d2 3d 4 = 0,解得 d= 1 或 d= 4.(4 分).當 d= 1 時，an= n+ 11;當 d = 4 時，an= 4n+ 6.(6 分)(n )若 d0，求 a|+ |a2|+ |a3|+ + |an|.1 ? 21尹 +

12、R, nw 11,答案：la1|+ |a2|+ |a3| + |an|=1 221尹一亍+ 110, n12解:設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn.Td 12 時，an0,a7 + a100 , a80.又T a7 + a100 , a8 + 直=a7 + a100, a9S7, S8S9,.數(shù)列an的前8項和最大.(14) (經(jīng)典題，5分)等差數(shù)列an中，ai0, S4= S9,則an的前n項和Sn取最大值時，n=6 或 7.解析：T Sn有最大值，(n, Sn)是開口向下的拋物線上一些孤立的點，又IS4= S9,4 + 9拋物線的對稱軸為直線 x= -y- = 6.5,當n = 6或7時，S

13、n取最大值.設數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若 &= 5ai + 10d，則Sn取最大值 時，n= ( C )A . 5B . 6C . 5 或 6D . 6 或 7d 11 d解析：T S6= 6a1 + 15d= 5a1+ 10d, a1 = 5d. Sn= qn2 n.T d0,.當 n = 5 或 6時，Sn取最大值.(15) (2018鹽城模擬，12分)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知玄3= 12,看0, $30,13X( 13 1)2d0,a1 + 6d0,3 + d0,解得2-da2a3a12a13,又 T 020, S130, an+10 , S13 =

14、13a70, a70,故在S1 , S2, 3,，12中6最大.（12分）（法二）由 dv 0,可知 aia2a3ai2ai3,又t Si20, Si30，-在 K n0, an+10 ,由勺S130,d - d0,a60,21+ 6d0 ,a7. W 分）故在S1, S2,足，S12中S6最大.（12分）隨堂普查練241. （經(jīng)典題，5分）九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分 五錢，令上二人所得與下三人等問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成 等差數(shù)列問五人各得多少錢？”（ “錢

15、”是古代的一種重量單位）這個問題中，甲所得為（D ）5 534A. 5錢錢C.；錢D.;錢4323解析：設甲、乙、丙、丁、戊五人所得依次構(gòu)成的等差數(shù)列為an,依題意有 2a1+ d= 3a1 + 9d,$52a1+ d= 2,f 4a1=:,34解得即甲得4錢.1 3 d= 6，故選D.2. （2016江蘇，5分）已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項和若a1+ a2= 3, S5= 10, 則a9的值是 20.5解析：由 S5= 10,得 Ss =孑 + a5）= 5a3= 10,二 a3= 2，二 a1= a3 2d = 2 2d, a?= a32= 3,解得 d= 3. a9= a3+ (9

16、 3)d = 23. （2018山東臨沂一模，5分）等差數(shù)列an中,ai = 2018，1 1am=n1an= m(mM n),則等d = 2- d.由題意，ai+ a2 = 3,得 2-2d + (2 d)+ 6 X 3= 20.1差數(shù)列an的公差d =2018解析：由 am=n an=m(zn),得 d=am an1 1 . , m n m n = m?又.a1 = 20，am =亦11111i(m 1)d = 2qT8+ (m 1)mn= n，解得 mn= 2oT8，即等差數(shù)列 an的公差 d=莎8.4.（經(jīng)典題，5分）設等差數(shù)列an的公差為d，若數(shù)列 2a1an 為遞減數(shù)列，則（c ）

17、A .d0C.a1d0a1an=2* 1 = 20,解析：.數(shù)列 2a1an 為遞減數(shù)列，且2引0,a1d8.(12 分)2 22 (aio+ a8)4a9a9S9 S83X 9 3 x 8174bio4biobioT10 T9(2x 10+ 1 )x 10( 2 x 9+1 )x 913.13. (2018浙江模擬，4分)設公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1 = 1,2117“一 9，則當Sn取最大值時，n的值為 9.I I2 1解析：由等差數(shù)列的通項公式，得an =a1+ (n 1)d = 1 + (n 1)d , v 17d0, a10 = 1 + (10 1)d0，a20i

18、8 + 玄2。190, a20i8 a20i90成立的最大正整數(shù) n是（C ）A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4037解析：由已知得a20180, a20190.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知S4037= 4037a20190成立的最大正整數(shù)-4036.S4036 = (a2018 + a2019)0 ,n 為 4036.& （2018河南模擬，5分）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若了0的n的最大值為11解析：設等差數(shù)列an的公差為d.隼-1，且前n項和Sn有最大值， a10, d v 0,且 a60 , a70, a6+ a70, S12= 12(時內(nèi)2)（法二）設等差數(shù)列 an的前

19、n項和為Si，易知目為等差數(shù)列，二2獸 1 SmF12 (a6+ a7)20的n的最大值為11.n *9. (2018 蘇州模擬，12 分)在數(shù)列an中，ai= 3, a“= 2a“-1+ 2 + 3, n 2, 且 n N .求a2, a3的值；答案：a2= 1, a3= 13解：T a1 = 3, an = 2an-1 + 2 + 3, n2,- a2= 2a 1 + 22+ 3 = 1, a3= 2a2+ 23 + 3= 13.(4 分)a n I 3*(2)設bn=, n N ,求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列.答案：見證明過程證明：由題意，an = 2an-1 + 2 + 3，得 an 2a

20、n-1 = 2 + 3, a“+1 2an = 2n 1 + 3.(6 分) 十 q a + 3 d4 bn+1 bn= 21 2n = 2 (弘 +1一 2如)3 =( 2 + 3) 3 = 1， (10 分)I Q _ Q I Q二數(shù)列bn是首項為印尹 =2 = 0，公差為1的等差數(shù)列.(12分)B組（沖刺滿分）10. （2018沈陽模擬，5分）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若 K4, 23，則S6的取值范圍是0 , 30解析：6X 55Ss= 6a1 + 2 d = 6a1+ 15d，設 S6= ma4+ na5 = m(a1 + 3d)+ n(a1 + 4d) = (m+ n)m =

21、 9,解得/|n= 3,-Ss = 9a4 3a5.m + n= 6,a1+ (3m+ 4n)d，則 c3m+ 4n = 15,又.1w a4 4, 2 w3，9w 9a4W 36, 9w 3aw 6, 0w 9a4 3a5w 30,即 0w 30.999911. （2018洛陽模擬，5分）設數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，滿足a4 - a5 -a6 a7 ,則該數(shù)列的前10項和00= （ C ）A . 10 B. 5 C. 0D. 5解析：（法一）設等差數(shù)列an的公差為d,因為a；點二a； a| ,所以 a； a： = a； -5，即(a4 a6)(a4 + a6)= (a7 a5)(a7+

22、 a5).222根據(jù)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，可知4da5= 4da6,即卩a5 +比=0.所以Si=2(a5+ a6)= 0.(法二)由 a：亠a； = a：亠a；，得(ai + 3d)2+ (ai + 4d)2= (ai+ 5d)2 + (ai+ 6d)2，整理得 2ai + 9d= 0.10X 9，S10 = 10a1 +2d = 10a1 + 45d = 5(2a1 + 9d)= 0.故選 C.12. (2016浙江，5分)如圖24 - 1,點列An , Bn分別在某銳角的兩邊上，且 |AnAn+ 1| =|An+ 1An+，An An+ 2 , n N , |BnBn + 1= |B n

23、+1 Bn +2, Bn Bn+ 2, n N (Pm Q 表示點 P 與 Q 不重合)若 dn= |AnBn|, SnA.BnBn+ 1 的面積，則(A )比 頭 屯比 J圖 24 1A . Sn是等差數(shù)列B . S2 是等差數(shù)列C . dn是等差數(shù)列D. dn2是等差數(shù)列解析：設銳角的頂點為O, |OA1|= a , |AnAn + 11= |An + 1An + 2| = b,|BnBn + 11= |Bn+ 1Bn + 2|= d.設 AnBnBn+ 1的底邊BnBn+ 1上的高為 g,由三角形的相似，得二 OAnhn 1 OAn 1a (n -1)ba + nb計=號=吐冊b，兩式相加可得hn 飛.2hn12a+ 2nba+ nb=2，即有hn+ hn+ 2= 2hn +1.最大值為(D )A. 25 B. 21 C. 25 D . 21解析：由a2= S2n-1(n N )及等差數(shù)列前項均不為的等差數(shù)列， an= 2n-喬2n項和的性質(zhì)，知an= (2n 1曲：數(shù)列an是各入 n + 8 ( 1)對任意的門 N*恒成立，即1由Sn= ?d hn,可得Sn+ Sn+2= 2Sn+ 1 ,則數(shù)列 Sn為等差數(shù)列.故選 A.13. (2018淮安模擬，5