概率論：隨機事件及其概率

1、 1 1 、定義定義 樣本空間樣本空間S S的子集稱為的子集稱為隨機事件隨機事件, ,簡稱為簡稱為事件事件。 隨機事件一般用大寫字母隨機事件一般用大寫字母A A、B B、CC表示。表示。試驗試驗E E：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。 樣本空間樣本空間 S=1S=1，2 2，3 3，4 4，5 5，66，“出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)偶數(shù)點”的事件的事件A=2A=2，4 4，66；例如例如 “出現(xiàn)不小于出現(xiàn)不小于3 3的點數(shù)的點數(shù)”的事件的事件B=3B=3，4 4，5 5，66； “出現(xiàn)大于出現(xiàn)大于6 6點點”的事件為不可能事件的事件為不可能事件； “出現(xiàn)點數(shù)不超過出現(xiàn)點數(shù)不超過6

2、”6”的事件為必然事件的事件為必然事件 ，等等，等等。 當且僅當集合當且僅當集合A中的一個樣本點出現(xiàn)時中的一個樣本點出現(xiàn)時,稱稱事件事件A發(fā)生發(fā)生.如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù)如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù) . : 樣本空間為樣本空間為 . 654321,S 事件事件 B=擲出奇數(shù)點擲出奇數(shù)點 1,3,5 B發(fā)生當且僅當發(fā)生當且僅當B中的樣本點中的樣本點1,3,5中的某一個中的某一個出現(xiàn)出現(xiàn).事件發(fā)生：事件發(fā)生：2 AAESSA ( ) ( ) 3 4 事件事件A相應(yīng)于樣本空間的一個子集，基本事件相應(yīng)于樣本空間的一個子集，基本事件只含一個樣本點。只含一個樣本點。 在一次試驗中，事件在一次

3、試驗中，事件A發(fā)生當且僅當發(fā)生當且僅當A中的一中的一 個樣本點出現(xiàn)；個樣本點出現(xiàn)； 必然事件在每次試驗中均發(fā)生；不可能事件必然事件在每次試驗中均發(fā)生；不可能事件 在每次試驗中均不發(fā)生；在每次試驗中均不發(fā)生； 基本事件兩兩互斥，且在每次試驗中有且基本事件兩兩互斥，且在每次試驗中有且有一個發(fā)生。有一個發(fā)生。意義：事件意義：事件A A發(fā)生必發(fā)生必事件事件B B發(fā)生。發(fā)生。 若若A BA B，則稱事件，則稱事件B B事件事件A A。（子事件子事件） 若若A BA B且且B AB A，則稱事件，則稱事件A A與事件與事件 B B，記為，記為A=BA=B。,(1, 2,)kA BAk 集合間的關(guān)系與運算集

4、合間的關(guān)系與運算SBABA SBABA | .or. ABAB AB, A B, A B, | ABAB ,A B, A Bn1,1,2, | niiiinAA , | ABAB AB, A B6 , ASBBBSAAABS,A B ABSAB,A BAB,A BSBA“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點點” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點點”互斥互斥7 BABAABBA ,CBACBA)( )(CBACBA)( )()( )( )(CABACBA)( )( )(CABACBA, ABABABAB1111 , nnnnkkkkkkkkBBBB8 9 【例【例1】 解解 CBA特別注意：特別注意：BCCB10 ,CB

5、A“A，B，C不會同時不發(fā)生不會同時不發(fā)生” ABCBCACBACABCBACBACBA,CBA“A，B，C至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生” CBABAA11 CBACBACBA“A，B，C至少有一個不發(fā)生至少有一個不發(fā)生” “A，B，C不會同時發(fā)生不會同時發(fā)生” ABC12 【例【例2 2】kA)3 , 2 , 1( kk321)(AAAA321)(AAASC)()()(123121AAAAAAB112323123( )DA A AA A AA A A 解由事件運算律知：解由事件運算律知：321321AAASAAAS321211123121)()(AAAAAAAAAAAA而而 僅表示僅表示“恰

6、有一次擊中恰有一次擊中目目 標標”，故應(yīng)選，故應(yīng)選A,B,CA,B,C。321321321AAAAAAAAA321AAA321AAA32121AAAAA321AAA13 設(shè)好事件，并用簡單事件的運算關(guān)系來表達復設(shè)好事件，并用簡單事件的運算關(guān)系來表達復 雜事件在解概率題中是基本而重要的。特別，要弄雜事件在解概率題中是基本而重要的。特別，要弄 清清“恰有恰有” ” 、“至少至少” ” 、“至多至多” ” 、“都發(fā)生都發(fā)生” ” 、“都不發(fā)生都不發(fā)生”、不都發(fā)生、不都發(fā)生”等詞語的含義。等詞語的含義。 有些文字表達的事件可通過設(shè)事件為字母，再有些文字表達的事件可通過設(shè)事件為字母，再 利用事件的關(guān)系與

7、運算來表達。利用事件的關(guān)系與運算來表達。此外，要注意同一此外，要注意同一 個事件的不同表達形式，注意語言表述的準確性。個事件的不同表達形式，注意語言表述的準確性。注注 意意 利用文圖易知：差事件可化為積事件利用文圖易知：差事件可化為積事件;BABA.)(,BAABAABA和事件可互斥分解為和事件可互斥分解為顯然，這種互斥分解不一定唯一。顯然，這種互斥分解不一定唯一。練習：練習： 設(shè)設(shè)A,B,C 表示三個隨機事件表示三個隨機事件,試將下列事件試將下列事件用用A,B,C 表示出來表示出來.(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個事件都不出現(xiàn)三個事件都不出現(xiàn);(2) A, B都

8、出現(xiàn)都出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(3) 三個事件都出現(xiàn)三個事件都出現(xiàn);(4) 三個事件至少有一個出現(xiàn)三個事件至少有一個出現(xiàn);)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6) 不多于一個事件出現(xiàn)不多于一個事件出現(xiàn);)6(CBACBACBACBA 0( )1nfAAnn,( )AnnfAA( )AnnfAnnAAnnAnAA,( )nfA15 試驗試驗序號序號5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.50

9、0.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例實例1 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.處處波波動動較較大大在在21波動最小波動最小隨隨n的增大的增大, 頻率頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性呈現(xiàn)出穩(wěn)定性處處波波動動較較小小在在2116 )(Hf的增大的增大n.21實驗者實驗者nHn()nfH 0.5005 12012 24000皮爾遜皮爾遜 0.5016 6019 12000皮爾遜皮爾遜 0.5069 2048 4048蒲蒲

10、豐豐 0.5181 1061 2048 德德 摩根摩根17 我們再來看一個驗證頻率穩(wěn)定性的著名實驗我們再來看一個驗證頻率穩(wěn)定性的著名實驗高爾頓高爾頓(Galton)板試驗板試驗.試驗?zāi)Ｐ腿缦滤驹囼災(zāi)Ｐ腿缦滤?自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落過程中當小球碰在下落過程中當小球碰到釘子時到釘子時,從左邊落下與從右邊從左邊落下與從右邊落下的機會相等落下的機會相等.碰到下一排釘碰到下一排釘子時又是如此子時又是如此.最后落入底板中最后落入底板中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,則此球落入哪一個格子則此球落入哪一個格子,預先難以確定預先難以確定.

11、但是如果放但是如果放入大量小球入大量小球,則其最后所呈現(xiàn)的曲線則其最后所呈現(xiàn)的曲線,幾乎總是一樣幾乎總是一樣的的.18 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出請看動畫演示請看動畫演示19 20 對相同或不同的試驗次數(shù)，同一事對相同或不同的試驗次數(shù)，同一事件的頻數(shù)不一定相同，從而所得的頻率也不一定相同件的頻數(shù)不一定相同，從而所得的頻率也不一定相同，因而無法用頻率來度量事件發(fā)生的可能性的大??；，因而無法用頻率來度量事件發(fā)生的可能性的大??； 1limpnnPAnpA 隨著試驗次數(shù)的無限增大，事件的隨著試驗次數(shù)的無限增大，事件的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)，因而可用該常數(shù)來度量事頻率

12、逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)，因而可用該常數(shù)來度量事件發(fā)生的可能性的大小。件發(fā)生的可能性的大小。21 pAP)()()(AfAPn22 1 1）、）、 設(shè)設(shè)為隨機試驗為隨機試驗E E的樣本空間，對的樣本空間，對E E的每個事的每個事件件A A，稱，稱滿足下列公理的實數(shù)滿足下列公理的實數(shù)( (集合函數(shù)集合函數(shù))P(A)P(A)為事件為事件A A的概率的概率: :、非負性、非負性;0)(AP、規(guī)范性、規(guī)范性( )1;P 、可列可加性、可列可加性 設(shè)設(shè) 為兩兩互斥事件組為兩兩互斥事件組, ,則有則有,21AA).(11kkkkAPAP23 . )()()(111kkkkkPAPAPP 由概率的公理化定義可得概

13、率的性質(zhì)由概率的公理化定義可得概率的性質(zhì): : P()=0.P()=0.證在可列可加性中取所有的證在可列可加性中取所有的A AK K=得得: :再由非負性得再由非負性得: :. 0)(P 設(shè)設(shè) 為兩兩互斥事件組為兩兩互斥事件組, ,則有則有nAAA,21).(11nkknkkAPAP 有限可加性有限可加性 證在可列可加性中取證在可列可加性中取A AK K=(k=n+1,n+2,), =(k=n+1,n+2,), 再利用性質(zhì)再利用性質(zhì)1 1即得即得. .24 ).(1)(APAP 證因為證因為,AAAA 1( )()( )( )PP AAP AP A 即即).(1)(APAP ：公式：公式 在計

14、算概率時是非常在計算概率時是非常 有用的有用的. .當直接計算某事件概率比較困難時當直接計算某事件概率比較困難時, ,可以轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn) 而計算其對立事件的概率，進而利用上述公式所需而計算其對立事件的概率，進而利用上述公式所需 的概率的概率. .)(1)(APAP所以由有限可加性及規(guī)范性得所以由有限可加性及規(guī)范性得: :25 證將事件證將事件B B分解為互斥事件的和事件得：分解為互斥事件的和事件得： 若若 , , 則則AB );()()(APBPABP.)(, )(ABAABAB由有限可加性得由有限可加性得: :)()(ABAPBP即得即得: :).()()(ABPAPBP由非負性得由非負性得: :

15、).()(APBP減法公減法公式有條式有條件或稱件或稱單調(diào)性單調(diào)性).()(APBP).()(ABPAP26 對任意事件對任意事件A, A, 總有總有. 1)(AP證由于證由于A ()( )( )PAPP A 所以由減法公式得：所以由減法公式得：再由概率的非負性、規(guī)范性知：再由概率的非負性、規(guī)范性知：()0, ( )1,PAP 即得：即得：. 1)(AP()( )( )ABP BAP BP A27 證將證將ABAB互斥分解得互斥分解得: :).()()()(ABPBPAPBAP,)(,)(BABABABABA又又, AAB故由有限可加性與減法公式得故由有限可加性與減法公式得: :加法公式加法公

16、式)()()(BPABPAP)()()(BPABAPBAP).()()(ABPBPAP ：雖然：雖然AB=(A-B)B,AB=(A-B)B,但但P(A-B)P(A-B)不能用減不能用減 法公式法公式, ,而而A-B=A-AB,A-B=A-AB,且且P(A-AB)P(A-AB)可用減法公式可用減法公式! !28 ).()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 加法公式可推廣至有限個事件的和事件加法公式可推廣至有限個事件的和事件. . 例如，三個事件的加法公式例如，三個事件的加法公式: : n n個事件的加法公式請看教材個事件的加法公式請看教材, ,掌握其規(guī)律掌握

17、其規(guī)律. .解解),()()1(BPABP 由由圖圖示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由圖示得由圖示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥與與的值的值三種情況下三種情況下求在下列求在下列和和的概率分別為的概率分別為設(shè)事件設(shè)事件BASSAB3例例29 )()()(ABPABP 3.838121 SABAB)()(ABPBP 30 1、概率的定義、概率的定義概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量概率是頻率的穩(wěn)定值概率是頻率的穩(wěn)定值概率是樣本空間到實數(shù)集的集合函數(shù)概率是樣本空間到實數(shù)集的集合函數(shù)小結(jié)小結(jié)概率的生活模型是頻率概率的生活模型是頻率頻率具有波動性和穩(wěn)定性頻率具有波動性和穩(wěn)定性2. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)三條公理三條公理 六條性質(zhì)六條性質(zhì)31 32 練習練習1 1： 解由概率的加法公式得解由概率的加法公式得: :).()()()(BAPBPAPABP 由由0P(A)P(B)0P(A)1P(AB)=P(A