第四章正態(tài)分布體育統(tǒng)計(jì)學(xué)

1、1(-oo X -KO) )(4 1)第四章正態(tài)分布如果將第二章中的（表2 - 1）中的數(shù)據(jù)繪制成直方圖，把每 個(gè)方條頂部中點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，就得到一個(gè)圖形，它稱為頻數(shù)多邊形。（圖 4 1）當(dāng)分組數(shù)很多，組距很小時(shí)，頻數(shù)多邊形就趨于類似（圖4 -2）所示的平滑的曲線。這種曲線呈現(xiàn)岀兩側(cè)近似對稱的鐘形。隨 機(jī)變量的類似這種分布，在自然界是相當(dāng)普遍的其中最有代表性的是 正態(tài)分布。下面就來介紹正態(tài)分布及其在體育中的幾個(gè)應(yīng)用。第一節(jié)正態(tài)分布曲線的形式如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為圖41 頻數(shù)多邊形圖則稱隨機(jī)變量X是服從正態(tài)分布的由上式繪出的圖形叫做正態(tài)曲線。 （圖4 2） X的變動(dòng)范圍在-00至+0C間。圖

2、4 2正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線中有兩個(gè)參數(shù)：均值卩及方差bS為了應(yīng)用方 便，對式（4 1）中的隨機(jī)變量經(jīng)過一個(gè)稱為標(biāo)準(zhǔn)化的變換，即令 u來代替原式中的 匕上，尋這時(shí)的隨機(jī)變量u的概率密度函數(shù)成 為：y=vke-T （4-2）按照（4 2）式繪岀的圖形，稱作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。（圖4 3）圖4 3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線第二節(jié)正態(tài)分布曲線的特征正態(tài)分布曲線有許多特點(diǎn)，它們對實(shí)際工作有很大的幫助。它的 主要特點(diǎn)有以下幾個(gè)方面：一，正態(tài)分布的形式是對稱的（但對稱的分布不一定是正態(tài)分 布）。在正態(tài)分布中均值與中位數(shù)相重合。二，從中央最高點(diǎn)逐漸向兩側(cè)降低，降低的速度是先慢后快，以 后又再次減慢，最后接近橫軸，但終究不

3、能與橫軸相交。三，從中央向兩側(cè)逐漸下降，它的方向是先向內(nèi)彎，達(dá)到離均值 左右各一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)又改向外彎，是以“l(fā)b的點(diǎn)為曲線從內(nèi)彎轉(zhuǎn) 向外彎的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即正態(tài)曲線中標(biāo)準(zhǔn)差與曲線有固定的關(guān)系。四，因?yàn)檎龖B(tài)曲線是對稱的，在曲線下不僅平均數(shù)的兩側(cè)面積相 等，各相當(dāng)距離間的而積相等，而且各相當(dāng)距離間的曲線高度也相等, 正態(tài)曲線下（與橫軸間）的總面積為1. 00o五，正態(tài)曲線可以有不同形式，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可以不相同, 均值不同表明曲線在橫軸上所處位置不同，標(biāo)準(zhǔn)差不同表明曲線的形 態(tài)不同。標(biāo)準(zhǔn)差小則曲線高、且窄；標(biāo)準(zhǔn)差大則曲線低、且寬。（圖 4 4）由式（4 1）和（4 2）知，標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)曲線的“ =0,

4、7=1,即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線是關(guān)于縱軸對稱；它在/二0時(shí)，有最大 值，它近似等于0. 4,如（圖4 - 3）所示。Y/圖4 一 4三種不同形式的正態(tài)分布曲線第三節(jié)正態(tài)分布表從某市17歲男生中隨機(jī)抽出205人測量身高，由這個(gè)樣木計(jì)算 得到168. 40厘米，S = 6. 13厘米。假定該市17歲男生身高 服從正態(tài)分布，試估計(jì)身高在16. 40 - 172. 40厘米之間的人數(shù)。求解這類問題的一般方法是：求從正態(tài)總體中隨機(jī)選取一個(gè)個(gè)體 的測量值落在區(qū)間（a, b）上的概率。這個(gè)概率在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下就 是曲線、X軸、直線X = a和X b所I韋I成的而積。（圖4 5） 當(dāng)概率P求得后，要求的人數(shù)約等于總?cè)?/p>

5、數(shù)乘以P值。圖4 5隨機(jī)變量X在區(qū)間（a, b）內(nèi)取值的概率示意圖表的左邊第1列這橫軸上的位置，它是指橫軸上某一點(diǎn)與平均 值的距離，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位來表示，通常記為u,即a表上邊的第1行為u值的第2位小數(shù)。表的主體部分是各u值與均 數(shù)（u二0）之間所對應(yīng)的單側(cè)面積（或概率）。一、知U值求對應(yīng)的面積例4 1 求u值為一 1至+2之間對應(yīng)的面積。解：由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線是關(guān)于x二u對稱的均數(shù)處的u值為零， 所以u值在一1至0這間對應(yīng)的面積與它在0至+1之間的對應(yīng)面 積相等。查書后附表1得u值在一 1至0的對應(yīng)面積是34. 13%； u 值在0至+2之間的面積是47. 72%o前者在均值的左邊，后者在均

6、值的右邊，因此這兩塊面積之和便是所求面積。（圖4 6）即：圖46例4 - 2本節(jié)開始提出的問題，即試估計(jì)身高在160. 40 - 172. 40厘米之間的人數(shù)。解：首先要求出身高為160. 40厘米和172. 40厘米的u值，按 式（4 3）有（當(dāng)u和o未知時(shí)，可用乂和S近似代替）：=160.40 168.406A31. 3117240 168.406.130. 65查書后附表1求5、U2所對應(yīng)的面積。U! = -1. 31所對應(yīng)的面積 是40. 49%, u2 = 0. 65所對應(yīng)的面積是24. 22%。u值一 1. 31至 0. 65 所對應(yīng)的面積為 40. 49% + 24. 22% =

7、 64. 71%,見（圖 4 7）所示，于是身高在160. 40 172. 40厘米之間的人數(shù)約為205圖4一7估計(jì)身高在160. 40-172. 40厘米間的人數(shù)百分?jǐn)?shù)二、已知面積求對應(yīng)的U值例4 3 試求從+1Q向右到什么位置對應(yīng)的而積為14. 15%解：設(shè)從+lcr向右到+kcr對應(yīng)的面積為14. 15%o查標(biāo)準(zhǔn)# 態(tài)分布表知+1”對應(yīng)的面積是34. 13%o24. 13%+14. 15% = 48. 28%,就是u值從0到+k之間對應(yīng)的而積。查書后附表1和K二2. 11, 即從+lo-向右到+2. 11a之間對應(yīng)的面積為14. 15%o （圖4 8）從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，可以找出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

8、曲線下面的分布規(guī)律。 在下表中列出的五個(gè)分布位置與其對應(yīng)的概率是統(tǒng)計(jì)中電子學(xué)用到 的，應(yīng)該熟記。UiX64. 71%表4 1正態(tài)曲線下的概率分布/UC7該范圍具有的概率“ Id68. 26%“1. 96 cr95. 00%“2(795. 44%“2. 58cr99. 00%99. 73%第四節(jié) 統(tǒng)計(jì)資料的正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)分布的理論適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。對樣本要想 用正態(tài)分布理論進(jìn)行分析，首先要檢驗(yàn)樣本是否為正態(tài)分布。檢驗(yàn)的 方法有多種，簡單而實(shí)用的方法是“概率格紙繪圖法”。這種方法使 用的概率紙是正態(tài)概率紙，它的橫軸是普通的刻度，縱軸是按正態(tài)分布的規(guī)律刻劃的。使用時(shí)，先根據(jù)樣木數(shù)據(jù)求出

9、累計(jì)頻率，然后根據(jù) 累計(jì)頻率和組限，將其點(diǎn)繪在正態(tài)概率紙上，如果樣木資料是呈正態(tài) 分布的則所有點(diǎn)幾乎在一條直線上。例4 4 廣州市某中學(xué)初中生800米跑的抽樣測驗(yàn)成績的累 計(jì)頻率如下表所示，試檢驗(yàn)該資料是否近似正態(tài)分布組限頻 數(shù)累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻率(%)237-110. 8244-675. 62,51-152217. 62,58”-204233. 6305-276955. 2312-259475. 2319-2111592. 03,26-612196. 8333-212398. 4340-2125100. 0由樣本計(jì)算得：X= 3932 ,S = 12*4然后根據(jù)每組的下限值和相應(yīng)的累計(jì)頻率，將它

10、們分別標(biāo)在圖上。根 據(jù)點(diǎn)的分布趨勢畫一直線，觀察這些點(diǎn)的分布是否接近一條直線。在 畫直線時(shí)應(yīng)以靠近中部的點(diǎn)為主，兩端的點(diǎn)為輔，因?yàn)橹胁康狞c(diǎn)的組 頻數(shù)大，所以占比重也大。由(圖4 9)可見，所有的點(diǎn)幾乎都 在一條直線上，故該樣本資料接近于正態(tài)分布。圖49當(dāng)樣本資料符合正態(tài)分布時(shí)，籍助正態(tài)概率紙做圖，還可以對|1 和a作出近似地估計(jì)。從正態(tài)分布理論知道累積頻率為50%的位置 應(yīng)在中點(diǎn)，即接近均數(shù)位置。從縱軸50%的位置畫橫線與講線交于a 點(diǎn)，由不得a點(diǎn)向橫軸做垂線交于n點(diǎn)，其值為3028 ,即為估 計(jì)均數(shù)，它與計(jì)算值3022僅相差05。又知均數(shù)減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差位 置的面積為34. 13%,故在縱軸上的

11、應(yīng)是50% 34. 13% = 15. 87% （b點(diǎn)），以此劃橫線交于斜線上c點(diǎn)，向橫燦做垂線交于250”9 處，此點(diǎn)距均數(shù)的長度應(yīng)為b,故估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的值為： 302”8-2509 = 119。計(jì)算值為124,僅相差05。只要圖做得 準(zhǔn)確，這些估計(jì)值也還是比較精確的。第五節(jié)可疑數(shù)據(jù)的舍取在實(shí)際工作中，往往能夠發(fā)現(xiàn)樣木資料中具有個(gè)別突出的數(shù)值（特大或特小的數(shù)值）。按樣本數(shù)據(jù)系列大小順序來看，發(fā)現(xiàn)這些突 出的數(shù)值和其他數(shù)值之間有明顯脫節(jié)現(xiàn)象。這種現(xiàn)象使人們懷疑這些 特別數(shù)值是否屬于研究的總體，于是把這些數(shù)據(jù)稱為可疑數(shù)據(jù)。人們 把來自非同一總體的極端值，稱為異常數(shù)據(jù)。樣木中的異常數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng) 及時(shí)剔除

12、，否則會(huì)影響樣木均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量及計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確 性。如何判斷可疑數(shù)據(jù)是否為異常數(shù)據(jù)，方法不少，下而介紹適用于 正態(tài)分布，且數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不多時(shí)，比較常用而有效的戈羅伯斯（Grubbs） 檢驗(yàn)法。設(shè)Xl, X2 , X n來自正態(tài)分布的總體，將它們按大小重新排列， 記為XWxW . Wx（n）。首先計(jì)算出可疑數(shù)據(jù)的g 值，其公式為：式中X表示可疑數(shù)據(jù)值，若計(jì)算得g n值大于（表4 2）中的 臨界值弘，則認(rèn)為X是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)舍棄。若小于臨界值，則X 為正常數(shù)據(jù)，應(yīng)保留。表4 2 戈羅伯斯檢驗(yàn)臨界值 仏）表a = 0. 05nannannnann31. 15122. 29212. 58302. 96

13、402.8741. 46132. 33222. 60313. 03502.9651. 67142. 37232. 62323. 09603.0361. 82152.41242.64333. 14703.0971. 94162. 44252. 64343. 18803.1482. 03172. 47262. 75353. 21903.1892. 11182. 50272. 82363. 231003.21102. 18192. 53282. 87373. 241103.23112. 23202. 56292. 92383. 251203.24例4-5 為了解一般高中學(xué)生跳高水平，由隨機(jī)樣本計(jì)算得

14、 到統(tǒng)計(jì)量如下：n = 100 人 x = 1. 31 米 s = 0. 09 米假定這些學(xué)生跳高成績的分布呈正態(tài)分布。其中有一名學(xué)生的成績是1.65米，這個(gè)成績超出平均水平三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上，是個(gè)可疑數(shù)據(jù)。 試檢驗(yàn)它是否為異常數(shù)據(jù)。按公式(4 4)計(jì)算耳= 3 ?8s0.09查(表4 2) n = 100對應(yīng)的an值是3. 21,現(xiàn)計(jì)算 值是3. 78,大于臨界值，故1. 65米是異常數(shù)據(jù)應(yīng)舍棄。據(jù)了解，該學(xué)生是少體校學(xué)生，受過專項(xiàng)訓(xùn)練，不屬于一般高中學(xué)生跳高水平研究的總體。第六節(jié) 正態(tài)分布理論在體育中的兩個(gè)應(yīng)用一、制定測驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)制定測驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是體育教學(xué)和訓(xùn)練中的一項(xiàng)重要工作，一般是根據(jù) 學(xué)生原有的

15、基礎(chǔ)和不同階段教學(xué)目的與要求，事先規(guī)定達(dá)到各標(biāo)準(zhǔn)的 人數(shù)比例，并將這個(gè)比例數(shù)看作正態(tài)分布曲線下的面積，然后利用標(biāo) 準(zhǔn)下正態(tài)分布表去推算相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)的具體成績。例4 - 6 某學(xué)校某年級在進(jìn)行跳高教學(xué)之前，從該年級隨機(jī) 抽出一部分學(xué)生測驗(yàn)其跳高成績?，F(xiàn)由樣本計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量為：x = 1. 40 米，S = 0. 10 米學(xué)校方而根據(jù)學(xué)生在跳高上的基礎(chǔ)水平和教學(xué)的要求，規(guī)定就目前狀 況達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)比例為10%,良好的人數(shù)比例為20%,有15%的人 不能及格，試用統(tǒng)計(jì)方法求出以上三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的具體成績。圖4-10跳高測驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的確定計(jì)算過程如下:人數(shù)比例查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的面積U值標(biāo)準(zhǔn)（x + u-s）10

16、% （優(yōu)）（米）50% 10% 二 40%1. 281. 40+1. 28X0. 10二 1. 5320% （良）50% 10% 20% 二 20%0. 521. 40+0. 52X0. 10=1. 45 （米）15% （不及格）50%-15%=35%-1. 401. 40-1. 04X0. 10=1. 30（米）綜上所述，優(yōu)秀標(biāo)準(zhǔn)的成績是1. 53米；良好標(biāo)準(zhǔn)的成績是1. 45米;及格標(biāo)準(zhǔn)的成績是1. 30米。二、估計(jì)達(dá)標(biāo)人數(shù)以上闡述的是己知達(dá)標(biāo)人數(shù)比例，求出這一標(biāo)準(zhǔn)的具體成績，下 面是敘述先定出具體的成績標(biāo)準(zhǔn)，而后要求估計(jì)出達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)百 分比。這實(shí)際上是己知u值求對應(yīng)正態(tài)分布曲線下面積

17、的問題。例4 7 某學(xué)校對某年級男生的跳遠(yuǎn)教學(xué)測驗(yàn)成績作出如下 規(guī)定：成績?yōu)?. 60米以上者得5分；5. 40米以上者得4分；4. 60 米以上者得3分。教師從該年級男生中隨機(jī)抽出部分學(xué)生進(jìn)行測驗(yàn)， 得到】二5. 00米，S = 0. 40米，試估計(jì)該年級男生得各分值的 人數(shù)比例。計(jì)算結(jié)果如下:綜上所述，該年級男生跳遠(yuǎn)得5分的人數(shù)比例是6. 7%；得4分的人 數(shù)比例是9. 2%；得3分的人數(shù)比例是68. 26%o如果用該年級男生 的總?cè)藬?shù)乘以各人數(shù)比例，便可估計(jì)達(dá)到各標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)。習(xí)題四1.什么是正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布的特點(diǎn)是什么如何使用標(biāo)準(zhǔn)11 /古分值成績u 1M（X-X）S而積(

18、A)5分米以上（5 60- /= %50%-% 二 %4分米以上一 / 二%50%-%-% =%3分米以上/ =% %+% = %達(dá)標(biāo)人數(shù)比例正態(tài)分布表2. 在正態(tài)分布表中，下列范圍包括的面積占總而積的百分之幾(1)pl.lb；(2)p2.58b；(3)p-1.2c 一 p +1.4b間。3. 在正態(tài)分布中，己知卩土 kb間包括的面積是34 % ,求K值為 若干4. 某年級有216名學(xué)生，隨機(jī)抽出部分學(xué)生測驗(yàn)跳遠(yuǎn)成績得到樣本 統(tǒng)計(jì)量為x = 4. 40米，S二0. 42米。如規(guī)定2. 80米是及格 標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)該年級可能有多少人不及格5. 用正態(tài)概率紙檢驗(yàn)第二章第七節(jié)所列出的31名大學(xué)生簡單視反應(yīng) 數(shù)據(jù)資料是否服從