1第一章 緒論 第二章 場論與正交曲線坐標

1、流流 體體 力力 學學顧伯勤 主編研 究 生 教 材 中國科學文化出版社前 言 本書是為高等工科院校非力學專業(yè)碩士研究生流體力學課程教學編寫的。考慮到教學時數有限，所以有些內容并未深入展開。本書重點放在流體力學的基本概念、基本理論和解決流體力學問題的基本方法上，目的在于為研究生開展課題研究和將來從事工作提供必需的較為堅實的流體力學基礎知識，同時也兼顧到工程技術人員和科技工作者的需要。 全書分上下兩冊，三篇，十五章。上冊包括第一篇“流體力學基礎”和第二篇“流體動力學基本原理及流體工程”，具體內容為：緒論、場論與正交曲線坐標、流體靜力學、流體運動學、流體動力學微分形式基本方程、流體動力學積分形式基

2、本方程、伯努利方程式及其應用、量綱分析和相似原理、流動阻力與管道計算、邊界層理論、流體繞過物體的流動和氣體動力學基礎。下冊包括第三篇“計算流體動力學”，具體內容為：計算流體動力學的數學物理基礎、流體動力學問題的有限差分解法和流體動力學問題的有限元解法。 目 錄流體力學基礎流體動力學基本原理及流體工程計算流體動力學 第一篇 流體力學基礎 緒論 場論與正交曲線坐標 流體靜力學 流體運動學 第二篇 流體動力學基本原理及流體工程 流體動力學微分形式基本方程 流體動力學積分形式基本方程 伯努利方程及其應用 量綱分析和相似原理 流動阻力與管道計算 邊界層理論 流體繞過物體的流動 氣體動力學基礎 第三篇 計

3、算流體動力學 計算流體動力學數學物理基礎 流體動力學問題的有限差分解法 流體動力學問題的有限元解法 第一章 緒 論 流體力學的研究對象和發(fā)展歷史 流體力學的研究方法 第二章 場論與正交曲線坐標 矢量的基本運算 張量及其基本性質 常見的幾種坐標系 曲線坐標系及其基本性質 物理量的梯度、散度、旋度 哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在 流體力學中的應用 廣義高斯定理和斯托克斯定理 第三章 流體靜力學 作用于流體上的力 靜止流場中的應力 靜止流體的基本微分方程 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體 對物面的作用力 重力場中靜止氣體的壓力分布 非慣性坐標系中的靜止流體 表面張力與毛細現象 流體靜壓力的測量原理

4、 第四章 流體運動學 流體運動的描述 跡線、流線、流管 環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義 微元流體線的運動 流體微團的運動 第五章 流體動力學基本原理及流體工程 連續(xù)性方程 理想流體運動方程 實際流體運動方程 第六章 流體動力學基本原理及流體工程 連續(xù)性方程 動量方程 動量矩方程 能量方程第七章 伯努利方程式及其應用 伯努利方程式及其限定條件 實際流體的伯努利方程式 實際流體的總流伯努利方程式 相對運動的伯努利方程式 伯努利方程式的應用 第八章 量綱分析和相似原理 量綱分析和定理 相似理論 流體力學模型研究方法 第九章 流體阻力與管道計算 流動狀態(tài)與阻力分類 圓管中的層流 圓管中的紊流 圓管中

5、的沿程阻力第十章 邊界層理論 邊界層特性 邊界層微分方程 平板層流邊界層的微分方程解 邊界層積分（動量）方程 平板層流邊界層的積分方程解 平板紊流邊界層計算 平板混合邊界層計算 第十一章 流體繞過物體的流動 平面勢流 流體繞過圓柱體的流動 流體繞過球體的流動 第十二章 氣體動力學基礎 壓力波的傳播，音速 運動點擾源產生的擾動場，馬赫數與馬 赫角 一元穩(wěn)定等熵流動的基本方程 理想氣體一元穩(wěn)定等熵流動的基本特性 氣流參數與流道截面積的關系 漸縮噴管和拉伐爾噴管 第十三章計算流體動力學數學物理基礎 流動問題數值求解的基本步驟 流動控制方程 離散方程的建立方法 差分方程特性分析 第十四章流體動力學問題

6、的有限差分解法 勢流問題的數值計算 回流流動問題的數值計算 第十五章流體動力學問題的有限元解法 有限元法的基本思想與區(qū)域離散化 有限元法中代數方程的建立 二維邊值問題有限元法求解舉例 有限分析法介紹 流體力學是研究流體在外力作用下的平衡和運動規(guī)律的一門科學。它和固體力學不同之處在于流體在運動時具有連續(xù)不斷地變形的特性且其運動規(guī)律是十分復雜的。 象其它大多數科學一樣，流體力學成為一門獨立的科學經歷了漫長的發(fā)展過程。史前人類就有解決某些流體流動問題的豐富知識，如船舶制造和灌溉系統(tǒng)建設。公元前三世紀Archimedes(285-212 B.C.)提出了浮力定律并將其應用于漂浮和浸沒于液體中的物體，這

7、實際上是流體力學微分算法的雛形。 公元十五世紀前，船舶、運河、水渠的工程設計水平得到了較大的提高，然而流動分析技術卻并未有重大發(fā)展。Leonardo(1452-1519)導出了一維穩(wěn)定流動的質量守恒方程。Leonardo是一個杰出的實驗家，他對波、射流、水躍、渦流形成等現象作了精確的描述。Mariotte(1620-1684)建造了第一個風洞，并利用該風洞作了大量的模型試驗。 第第1頁頁第一章 緒 論第一節(jié) 流體力學的研究對象和發(fā)展歷史 自Newton(1642-1727)提出了三大運動定律和線性流體的粘性定律以后，流體力學得到了較大的發(fā)展。十八世紀的一大批數學家如Bernoulli、 Eul

8、er、 Lagrange、 Laplace等在理想流體的假定下取得了許多無摩擦流動問題的研究成果，如Euler的運動微分方程和其積分形式Bernoulli方程。但理想流體的假定有較大的局限性，工程實際中的大多數流動無不受流體粘性的影響。當時的工程師們開始抵制這種他們認為不切實際的理想流體流動理論，在幾乎完全依賴實驗的基礎上發(fā)展了一門新的科學水力學。這樣的實驗科學家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy等。他們通過實驗得到了諸如明渠流動、船舶阻力、管道流動、波動等問題的有用數據。 十九世紀末，實驗的水力學和理論的流體動力學開始結合。William Froude（1810-187

9、9）和他的兒子Robert Froude（1846-1924）建立了模型試驗定律，Rayleigh（1842-1919）提出了量綱分析技術。Reynolds（1842-1912）在1883發(fā)表了經典的管道實驗結果，提出了著名的無量綱參數雷諾數Re。 第第2頁頁 第一章 緒 論第一節(jié) 流體力學的研究對象和發(fā)展歷史 Navier (1785-1836)和Stokes (1819-1903)在歐拉運動方程中加入了牛頓粘性項，建立了粘性流體的運動方程式。1904年德國工程師Prandtl (1875-1953)發(fā)表了流體力學方面最具影響的論文，提出了現代流動分析中最重要的理論邊界層理論。這些理論對流體

10、力學開始脫離經典式的理論研究而與工程實際相結合起到了很大的作用。二十世紀中葉以后，隨著宇宙航行，人造衛(wèi)星、核能工業(yè)、生物工程和環(huán)境、醫(yī)學等科學技術的發(fā)展，稀薄氣體動力學、電磁流體力學、非牛頓流體力學、多相流體力學、生物流體力學、氣動噪聲流體力學等流體力學分枝也均在形成和發(fā)展中。 地球上71覆蓋著水、100覆蓋著空氣，流體力學問題無處不有。象氣象學、海洋學涉及流體力學；我們的呼吸、生理循環(huán)涉及流體力學；航空、航天、航海涉及流體力學；水利灌溉、洪水控制、生活供水、污水排放涉及流體力學；石油化學工業(yè)中幾乎沒有哪一個化工過程中不包含流體力學問題。 第第3頁頁 第一章 緒 論第一節(jié) 流體力學的研究對象和

11、發(fā)展歷史 在研究流體力學時，考慮到流體運動的復雜性，僅采用固體力學中嚴格的數學推導方法還不能完全解決問題，需要廣泛采用半經驗的理論和實驗研究所取得的數據。近年來由于計算機的發(fā)展，計算流體力學所占的地位已越來越重要，對于一些復雜的流體力學數學模型，可采用計算機進行計算，但某些復雜的流體力學問題仍無法僅靠單純的數學計算來解決。因此研究流體力學還必須用理論、計算與實驗三者相互結合的方法。近年來實驗技術發(fā)展很快，許多過去難以測量的參數和觀察的現象，現在可以比較準確地測量和觀察出來。測量和觀察技術從低速流動擴展到高速流動，從穩(wěn)定流動擴展到不穩(wěn)定流動，從靜態(tài)擴展到動態(tài)。但實驗亦有其局限性，它往往不能闡明流

12、體運動的一般特性。流體力學學科的發(fā)展一方面有賴于計算流體力學的發(fā)展，實驗和實踐必須由理論分析和數值計算來加以指導和驗證。另一方面，現代實驗技術的發(fā)展加強了對理論和計算準確性的檢驗。這種理論、計算與實驗的緊密結合，必將大大加速流體力學學科的發(fā)展。 第第1頁頁 第一章 緒 論第二節(jié) 流體力學的研究方法 第一章 緒 論第二節(jié) 流體力學的研究方法 解決流體流動問題有三種基本方法：1. 控制體分析法，即積分方程法；2. 微元體分析法，即微分方程法；3. 實驗研究，即量綱分析法。 流體流動必須滿足三大力學守恒定理以及熱力學狀態(tài)方程和相關的邊界條件： 1. 質量守恒定理，即連續(xù)性條件； 2. 動量守恒定理，

13、即牛頓第二定理； 3. 能量守恒定理，即熱力學第一定理； 4. 狀態(tài)方程，如 （P, T）; 5. 固體表面、交界面、流道進出口的邊界條件。 第第2 2頁頁 在解決某一具體的流體力學問題之前需要弄清流動屬于哪一種類型，流體流動如何分類最為合理迄今并無共識。通常的做法是按照流動分析時所作的假設來劃分，即假定流動為：1. 穩(wěn)定的（定常的）或不穩(wěn)定的（不定常的）；2. 無粘性的或粘性的；3. 不可壓縮的或可壓縮的；4. 氣體或液體。 第第3頁頁 第一章 緒 論第二節(jié) 流體力學的研究方法 場是具有物理量的空間。在許多科學、技術問題中，常常要考察某種物理量（如溫度、密度、電位、力、速度等）在空間的分布和

14、變化規(guī)律。為了揭示和探索這些規(guī)律，數學上就引進了場的概念。 如果在全部空間或部分空間里的每一點都對應著某個物理量的一個確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的場。如果這物理量是標量，就稱這個場為標量場；若是矢量，就稱這個場為矢量場。例如溫度場、密度場、電位場等為數量場；而力場、速度場等為矢量場。此外，若場中之物理量在各點處的對應值不隨時間而變化，則稱該場為穩(wěn)定場；否則，稱為不穩(wěn)定場。場的研究方法是將物理量作為空間點的位置R和時間t的函數。但在場論分析中，t作為參變量處理，即分析t時刻的場的情況。 第第1頁頁第二章 場論與正交曲線坐標 第第2頁頁 第一節(jié) 矢量的基本運算 333323213123

15、232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa23322111213)(kbababakkbakjjiiee一、矢量運算符號規(guī)定（一） 愛因斯坦（Einstein）求和符號數學式子任意一項中如出現一對符號相同的指標，稱為愛因斯坦求和符號，它是啞指標，表示求和。例如： 采用了愛因斯坦求和符號后線性代數方程組 第二章 場論與正交曲線坐標eeee332211aaaaii 第第3頁頁 第一節(jié) 矢量的基本運算 可簡寫成： )3, 2, 1,(jibxaijij式中左端項中j出現兩次，代表求和指標；i在左、右兩項各只出現一次，代表指定指標。（二）克羅內克爾（Kronecke

16、r） 符號 任意兩個正交單位矢量的點積用 表示，稱為克羅內克爾 ij) 3, 2, 1,(01jijijiijjiee式中i，j是自由指標，（2.1）式表示 ， 。 顯然 ， ，i 表示重復求和。 13322112112322303113jiij3ii第二章 場論與正交曲線坐標 第第4頁頁 第一節(jié) 矢量的基本運算 第二章 場論與正交曲線坐標的定義亦可寫成ij100010001ij（三）置換符號任意兩個正交單位矢量的叉積可表示為kijkjie eee式中 稱為置換符號，又稱利西（Ricci）符號，其數值如下：ijke中有2個或3個自由指標值相同。中按12312順序任取3個排列。中按13213順序

17、任取3個排列。 kjikjikjieijk,1,1,0上式表示 ， ，其余分量為零。 1312231123eee1321213132eee 第第5頁頁 第一節(jié) 矢量的基本運算 第二章 場論與正交曲線坐標 由此可知，ijke中任意兩個自由指標對換，對應分量值相差一個負號，如123132ee，故ijke稱為置換符號。二、矢量運算的常用公式iiiiiiibabaeeeba)(（2.3）iiijjijijijjiibabababaeeeeba（2.4）321321321bbbaaaebababakijkjijijijjiieeeeeeeeba（2.5） 第第6頁頁 第一節(jié) 矢量的基本運算 第二章 場論

18、與正交曲線坐標 )()()(kjikjikkjjiicbacbaeeeeeecba321321321cccbbbaaaecbaecbaecbaijkkjijkikjiljklikjiee（2.6a）bacbaccbacba)()()()(（2.6b）cbabcacba)()()(（2.7）)()()()(dacbdbcadcba（2.8） 第第7頁頁 第一節(jié) 矢量的基本運算 第二章 場論與正交曲線坐標 1e三、矢量分量的坐標變換2e3e*1e1l2l3l*2e1m2m3m*3e1n2n3n矢量是一個物理量，它獨立于坐標系的選取。當坐標系發(fā)生改變時，矢量本身不發(fā)生變化，僅是它的分量隨坐標變換按一

19、定規(guī)律發(fā)生改變。按矢量定義：*iiiiaaeea*（2.9）ia，*ia和ie，*ie分別為a 在兩個不同的正交坐標系中的分量和坐標軸單位矢量。各單位矢量間夾角的余弦（即方向余弦）為lj，mj，nj（j=1, 2, 3）如表2.1所示，則對應的矢量分量的坐標變換關系有：表2.1 坐標軸間方向余弦 第第8頁頁 第一節(jié) 矢量的基本運算 第二章 場論與正交曲線坐標 ) 3, 2, 1()() 3, 2, 1()(*iaaaiaaaiiiiiiiiiiiiiieeeeeeee（2.10）*32221232322212123322113132121111)()()()()()(anamalaaaaala

20、lalaaaaeeeeeeeeeeee例如： 第第1頁頁 第二節(jié) 張量及其基本性質 第二章 場論與正交曲線坐標 一、張量的定義在正交坐標系中張量可以定義為：設有正交坐標系), 2 , 1(mixi 在其上定義有2m個函數), 2 , 1,(mjiAij ，若坐標系ix線性變換時，即 mmmmmmmmmmxxxxxxxxxxxx22112222121212121111*（2.11）作如下式中), 2 , 1,(mjiij 為常系數，與此相應，函數ijA（式中重復下標表示對該下標求和）作如下變換), 2 , 1,(*mjixxxxAAjjiiijji （2.12） 第第2頁頁 第二節(jié) 張量及其基本

21、性質 。第二章 場論與正交曲線坐標 則ijA定義為一個張量，記為mmmmmmijAAAAAAAAAA 212222111211（2.13）例如設坐標數3m，在空間任一點規(guī)定三個矢量1a，2a和3a如果按式（2.11）把直角坐標系)3, 2, 1( ixi變換到另一個直角坐標系)3, 2, 1(*ixi中，得到另一組矢量*1a，*2a和*3a，它們滿足系式：),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(*333322311323322221121331221111xxxxxxxxxxxxxxxxxxaaaaaaaaaaaa（2.14）

22、 第第3頁頁 第二節(jié) 張量及其基本性質 第二章 場論與正交曲線坐標 式中),cos(*iixx是坐標軸)3 , 2 , 1( ixi和)3 , 2 , 1(*ixi顯然，矢量1a，2a，3a的分量ija與矢量*1a，*2a，*3a的分量*jia有如下關系)3 , 2 , 1,(*3131*jiaaijijjjiiji上述關系式即式（2.12），因此分量) 3 , 2 , 1,(jiaij定義一個張量之間夾角的方向余弦。（2.15）333231232221131211aaaaaaaaaA （2.16）由于在上述張量的定義中， 其分量的數目為坐標數的平方，因此上述張量稱為二階張量。張量在三維空間中

23、的分量數可用 來表示，n為張量的階。于是，標量為零階張量，矢量為一階張量，流體微團的變形速率為二階張量，應力場梯度為三階張量。 mn3 第第4頁頁 第二節(jié) 張量及其基本性質 第二章 場論與正交曲線坐標二、二階張量的基本性質 流體力學中經常遇到的張量為二階張量，如應力、變形和轉動，它 們具有如下一些基本性質：jiijaa 這種張量稱為對稱張量。1.張量元素具有對稱性（2.17）2.張量的代數運算規(guī)則（1）張量與張量相加是指其對應元素相加，其和仍為一張量，即)2()1(ijijijaaa（2）張量與標量相乘仍為一張量，即（為標量）ijijba（2.19）（2.18）（3）張量與矢量相乘（內積）為一

24、矢量右乘定義為)()(32322212123132121111lalalalalalaeelAAl)(3332321313lalala e（2.20） 第第5頁頁 第二節(jié) 張量及其基本性質 第二章 場論與正交曲線坐標 左乘定義為)()(32322212123132121111alalalalalaleeAllA)(3332321313alalal e（4）張量ija與張量ijb相乘仍為一張量，即31) 3 , 2 , 1,(kkjikjibaBAAB（2.22）（2.21）3.根據對稱張量性質可知，在流體內任一點存在三個相互垂直的軸，沿著與該軸垂直的面上，張量的切向分量 為零，只有法向分量 。

25、該軸稱為主軸。在應力張量中稱為主應力軸，在變形張量中稱為主變形軸。 )3 , 2 , 1,(jijiaij；)3 , 2 , 1( iaii 第第1頁頁 第三節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標zyx,xzijky=constx=constz=const圖2.1 直角坐標系xyo直角坐標系是最簡單、最基本的一種坐標系，又稱笛卡爾坐標系，如圖2.1所示。首先在空間取一點作為原點，過此點分別作互相正交的直線，并分別命名為過原點的 軸。（1）坐標面：由三族分別過原點的與zyx,軸垂直的平面所組成。其方程為consty（2）坐標軸：不同族的坐標面的交線組成坐標軸。x軸是constycons

26、tz兩坐標面的交線；constz，constx一、直角坐標系， 第第2頁頁 第三節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標y軸是constzconstx兩坐標面的交線；z軸是constxconsty兩坐標面的交線。（3）單位矢量：通常分別以kji,表示沿zyx,并遵循右手法則。直角坐標系中一點的三個單位矢量互成正交，各點的同類單位矢量方向不變。坐標軸的單位矢量，（4）空間點的表示：以三個坐標面的交點表示空間點),(MMMzyx（5）矢徑表示法：由原點至空間某點而連成的矢量線稱為矢徑，zyxkjir 第第3頁頁 第三節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標二、柱坐標系首先在空間取一

27、點作為原點，以此點作直角坐標系。（1）坐標面：分別由下列三族曲面所組成。以過原點的 軸為對稱軸的圓柱面族 ；以與z軸相z22yxr；以通過z軸的子午面族xyarctg垂直的平面族zz 。 （2）坐標軸：由不同族的坐標面相交而成。r軸是constconst,z兩坐標面的交線；軸是constconst,rz兩坐標面的交線。z軸是constconst,r兩坐標面的交線；（3）單位矢量：通常分別以re，e，ze表示沿r，zre，e的方向可能變化。 ， 軸的單位矢量，并規(guī)定遵循右手法則。柱坐標系中一點的三個單位矢量互成正交，在不同點上 第第4頁頁 第三節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標（4

28、）空間點的表示：以三個坐標面的交點表示空間點),(MMMzr（5）矢徑表示法：zrzreereerezxz = const = constr = const圖2.2 柱坐標系rzyo 第第5頁頁 第三節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標222zyxR圖2.3 球坐標系e e eRzyx = constR = const = constRo三、球坐標系首先在空間取一點作為原點，過此點作直角坐標系。（1）坐標面：分別由以原點為中心的球面族，以原點為頂點z軸為對稱軸的圓錐面族 222arccoszyxz和子午面族xyarctg 以三族曲面所組成，constR，const,const確定了

29、三個特定的坐標面，如圖2.3所示。 第第6頁頁 第三節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標 （2）坐標軸：由不同族的坐標面相交而成。R軸是const，const兩坐標面的交線；軸是const，constR兩坐標面的交線；軸是constR，const兩坐標面的交線。 （3）單位矢量：通常分別以Re，e，e表示沿R，Re，e，e的方向是坐標軸的單位矢量，并規(guī)定遵循右手法則。球坐標中一點的三個單位矢量互成正交，一般情況下，不同點上同族單位矢量不同的。（4）空間點的表示：以三個坐標面的交點表示空間點),(MMMR（5）矢徑表示法：RRer 。 第第7頁頁 第三節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場

30、論與正交曲線坐標 四、直角坐標系、柱坐標系和球坐標系間的坐標變換關系直角坐標系和柱坐標系間的坐標變換關系: cosrx 22yxrsinry xyarctg （2.23）zz zz 直角坐標系和球坐標系間的坐標變換關系:cossinRx 222zyxRsinsinRy 222arccoszyxz（2.24）cosRz xyarctg 第第1頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標 柱坐標系、球坐標系均屬曲線坐標系。坐標系的基本功能是識別空間位置，為了便于應用可人為地規(guī)定某種曲線坐標系。 一、曲線坐標系 首先在空間取一點作為原點，以此點作直角坐標系。（1）坐標面：取三族曲面),

31、(11zyxqq ,),(22zyxqq ,),(33zyxqq 作為坐標面族，其反函數為),(321qqqxx ,),(321qqqyy ,),(321qqqzz 。const1q,const,2qconst3q確定了三個特定的坐標面，如圖2.4所示。1q（2）坐標軸：不同族的坐標面的交線組成坐標軸。軸是const2q, const3q兩坐標面的交線；2q軸是const3q, const1q兩坐標面的交線；3q軸是const1qconst2q兩坐標面的交線。 , 第第2頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標坐標軸的單位矢量，以 （3）單位矢量：沿坐標線的切線，且0diq方

32、向的單位矢量稱為1e，2e，3e在曲線坐標系中，它們隨空間位置而),(321qqqiiee 表示，它們遵循右手法則。改變，即這是曲線坐標系與直角坐標系的一個主要差別。 （4）空間點的表示：以三個坐標面的交點表示空間點),(321MMMqqq。（5）矢徑表示法：zyxkjir),(),(),(321321321qqqzqqqyqqqxkji（2.25）式中i，j，k與1e，2e，3e有關。， 第第3頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標 ods2ds3ds1q2xyq2=constq3=constq1=constq3q1re3e2e1M (q1,q2,q3)圖2.4 曲線坐標

33、系z第二章 場論與正交曲線坐標 第第4頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 二、矢徑r由微分定義),()d,d,d(d321332211qqqqqqqqqrrr（2.26）),(321qqq點到),d(3211qqqq 點引起的增量為的微分從1111111d/ddqqqqqqrrrrs（2.27）111ddses ，因而由于111/qqrre（2.28）111d/dqqsr（2.29）令11/ qhr，則上式可寫成111/hqre（2.30）111ddqhs （2.31） 第第5頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標（2.32） 同理可得22/ qhr，222/hqre，222d

34、dqhs （2.33）33/ qhr，331/hqre，333ddqhs 上式中1h、2h、3h因此矢徑的微分可寫成332211ddddqqqqqqrrrr、稱為拉梅系數。r（2.34）333322221111dddqqqqqqqqqqqqrrrrrrrrr333222111dddqhqhqheee 第第6頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標 若已知坐標面族方程),(),(),(332211zyxqqzyxqqzyxqq則可求得上式中的拉梅系數和單位矢量。iiiiiiiqzqyqxqzzqyyqxxqkjirrrr因此拉梅系數可寫成222iiiiiqzqyqxqhr（2.

35、36）（2.35）單位矢量可寫成iiiiihqzqyqxkjie在正交曲線坐標系中，三個單位矢量滿足：)(0jijiee，即（2.37）jiqzqzqyqyqxqxjijiji, 0（2.38） 第第7頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 第二章 場論與正交曲線坐標 它適用于已知),(321qqqxx ，),(321qqqyy ，),(321qqqzz 利用梯度性質，正交條件也可寫成：)(0jiqqji，即jizqzqyqyqxqxqjijiji, 0它適用于已知),(),(),(332211zyxqqzyxqqzyxqq的情況。的情況。（2.39）例題例題2.1 求柱坐標系中的拉梅系數和坐標軸單位

36、矢量，并證明其正交。 22yxr，xyarctg，zz ，其反函數為cosrx ，sinry ，zz 。解解：對于柱坐標系cosrxsinrx，0zxsinrycosry0zy0rz0z1zz，第二章 場論與正交曲線坐標 第第8頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 因此拉梅系數為1sincos22222rzryrxhrrrrh2222cossin1zh由（2.37）式，并注意到zqqrq321,，則可求得單位矢量為sincosjiercossinjieke z顯然0)cossin()sincos(jijieer0)sincos(kjieezr0)cossin(jikeez 第二章 場論與正交曲線坐標

37、 第第9頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 其實拉梅系數亦可用幾何的方法確定。因為iiiqhsdd，即iiisqhd/d其幾何意義為：坐標值的單位增量引起的對應弧長的單位增量。按照該定義不難直接由幾何關系求得上例中的拉梅系數（請讀者自行求解）。三、坐標軸單位矢量的偏導數在曲線坐標系中坐標軸單位矢量的偏導數可按下式計算第二章 場論與正交曲線坐標 第第10頁頁 第四節(jié) 常見的幾種坐標系 2232113133332311212233132212112323231313133232321212123131312121211111111,11,11,1eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeqhhqhhq

38、qhhqhhqqhhqhhqqhhqqhhqqhhqqhhqqhhqqhhq柱坐標系中單位矢量的偏導數：0,zzzrrrzrzzrrreeeeeeeeeee球坐標系中單位矢量的偏導數：0)sin(cos,cos,sin,eeeeeeeeeeeeeeeRRRRRRRR 第二章 場論與正交曲線坐標 第第1頁頁 第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 一、物理量的梯度 物理量的梯度可以用來描述該物理量在一點鄰域內的變化情況。（一）方向導數的計算公式 方向導數是函數在一點處沿某一方向對距離的變化率。在直角坐標系中，設函數),(zyx在點),(0000zyxM處可微， cos,cos,cos為l方向上在點M0

39、處沿l方向的方向導數為： 的方向余弦，則函數coscoscoszyxl式中zyx,是在點M0的偏導數。 （2.43）（二）標量梯度的定義、性質及其在直角坐標系中的表達式如有一矢量a，處處滿足llae。 這里l 為標量沿le方向的方向a定義為物理量的梯度，并表示為grad導數，則。它在直角坐標系中第二章 場論與正交曲線坐標 第第2頁頁 zyxkjigrad標量梯度有兩條常用的重要性質：（2.44） llgrade，dgradd l，式中l(wèi)leldd 。前式表示由梯度沿le方向的方向導數，后式表示由梯度可以知道le方向經過線段dl的增量。可以得到物理量該物理量沿 nnegrad，這里ne為等值面法

40、線指向增大方向的單位矢量，n是沿ne方向的方向導數，所以由梯度可以求得等值面法線方向gradgrad。的單位矢量顯然，grad的方向一定與const的面相垂直，grad是函數在空間的最大變化率。第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 的表達式為： 第二章 場論與正交曲線坐標 第第3頁頁 例題例題2.2 求數量場32yzxy 在點) 1, 1, 2(M處的梯度，以及沿矢量kjil22方向的方向導數。kjikji333)2(grad232MMyzzxyyl方向的單位矢量為解解：kjilll313232o于是有MoMlMlgradgradl 31)31() 3(32) 3(321第五節(jié) 物理量的梯度、散度

41、、旋度 第二章 場論與正交曲線坐標 第第4頁頁 例題例題2.3 求曲面)(2122yxz的法線單位矢量on解解：zyx)(2122kjikjiyxzyxgrad1gradgrad22yxyxkjino。第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 第二章 場論與正交曲線坐標 第第5頁頁 （三）矢量梯度的定義、性質及其在直角坐標系中的表達式如果有一個二階張量B，處處滿足llaBe，這里l a為矢量a沿le方向的方向導數，則B定義為矢量a的梯度，并表示為agrad。它在直角坐標系中的表達式為zyxakajaiagrad類似于標量梯度，矢量梯度有下述性質：llaaegrad，aaldgradd。 （2.45）由

42、這兩個公式可求得矢量a沿le方向的方向導數和沿矢量線段l d的增量。由于矢量場沒有等值面概念，因而nnaeagrad。 第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 第二章 場論與正交曲線坐標 第第6頁頁 二、物理量的散度物理量的散度可用來判別場是否有源。（一）矢量散度的定義及其在直角坐標系中的表達式設有矢量場 ，于場中一點 處作一包含點 在內的任一閉曲面 ，設其所包圍的空間區(qū)域為 ，體積為 ，以 表示從其內部穿出 的通量。若當以 任意方式縮向點 時，下式 aMMAAMAa d之極限存在，則稱此極限為矢量場a在點M處的散度，記作AAAdlimdlimlimdiv000naAaa（2.46）式中n為邊界曲面

43、上微元面積Ad的外法線單位矢量。第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 第二章 場論與正交曲線坐標 第第7頁頁 散度的定義是與坐標系無關的。在直角坐標系中，令kjiazyxaaa，則有：zayaxazyxadiv（2.47） 流體力學中常用的矢量散度為速度散度，令kjiwzyxwww，則zwywxwzyxwdiv （二）二階張量的散度及其在直角坐標系中的表達式 與矢量散度相類似，可以定義二階張量的散度為AAdlimdiv0BnB（2.48）第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 第二章 場論與正交曲線坐標 第第8頁頁 在直角坐標系中，令zyxkbjbibB，則有：zyxzyxbbbBdiv（2.49）（三

44、）有源場與無源場由散度定義可見，散度 為一數量，表示場中一點處的通量對體積的變化率，也就是在該點處對一個單位體積來說所穿出之通量，稱為該點處源的強度。當 時，稱矢量場 為有源場；當 時，其場為無源場。adiv0divaa0diva 三、物理量的旋度物理量的旋度可用來判別場是否有旋。（一）旋度的定義第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 第二章 場論與正交曲線坐標 第第9頁頁 aMccAlAlancdlim0caarotlAlMnAMlnlla dal 設有矢量場 中一點 處存在一矢量 ，若 處處滿足 則定義矢量 為 的旋度，并用 來表示。這里 為可縮封閉曲線， 為以為 周線包含 點的任一曲面， 為曲

45、面 向 點縮小至零時的法線方向單位矢量， 與 滿足右手螺旋法則， 為矢量 沿 的環(huán)量。（二）旋度在直角坐標系中的表達式在直角坐標系中，令kjiazyxaaa，則a的旋度可表示為：yaxaxazazayaxyzxyzkjiarot zyxaaazyxkji（2.50）第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 第二章 場論與正交曲線坐標 第第10頁頁 流體力學中常用的矢量旋度為速度旋度，令kjiwzyxwww，則ywxwxwzwzwywxyzxyzkjiwrot（三）有旋場與無旋場若矢量a的旋度處處為零，則稱矢量場a為無旋場；否則矢量場a就是有旋場。第五節(jié) 物理量的梯度、散度、旋度 第二章 場論與正交曲線

46、坐標 第第1頁頁 第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學中的應用一、哈密爾頓算子 利用哈密爾頓算子 可以方便地推導或證明一些公式并簡化數學公式的書寫。哈密爾頓算子是一個具有微分及向量雙重運算的算子，適用于任意正交曲線坐標系，但其具體形式在不同坐標系中是不同的，哈密爾頓算子在直角坐標系中的表達式為：iixzyxekji運算時先進行微分運算，后進行向量運算，具體運算規(guī)定如下：gradiixe（2.51a）aaeagradiix（2.51b）aaeaeadiviiiixx（2.51c）aaeaearotiiiixx（2.51d）第二章 場論與正交曲線坐標 第第2頁頁 第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普

47、拉斯算子及其在流體力學中的應用二、拉普拉斯算子物理量梯度的散度運算稱為拉普拉斯運算，用算子2表示，即2，aa2，這里2稱為拉普拉斯算子。按哈密爾頓算子的運算規(guī)則，iijjiixxxx22ee（2.52a）iijjiixxxxaaeea22（2.52b）在直角坐標系中有三、哈密爾頓算子、拉普拉斯算子在流體力學中的應用下面給出流體力學中常用的，ww2ww w2系、柱坐標系、球坐標系中的表達式，這里w為任意矢量，也可看做速度，為任意標量，也可看做速度勢)(w。，在直角坐標，第二章 場論與正交曲線坐標 第第3頁頁 第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學中的應用（一）直角坐標系kjiwzyxww

48、w（2.53a）kjizyx（2.53b）zwywxwzyx w（2.53c）kjiwywxwxwzwzwywxyzxyz（2.53d）2222222zyx（2.53e） jiwwzwwywwxwwzwwywwxwwyzyyyxxzxyxxkzwwywwxwwzzzyzx（2.53f）第二章 場論與正交曲線坐標 第第4頁頁 第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學中的應用kjiwkyxwww2222（二）柱坐標系zzrrwwweeew（2.54a）zrzrreee1（2.54b）zwwrrwrwzrr1w（2.54c）eewrwzwzwwrzrrz1（2.53g）zrwrrwrwe1（2.54d）222222211zrrrr（2.54e）第二章 場論與正交曲線坐標 第第5頁頁 第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學中的應用rrzrrrrwzwwwrwrwweww2erwwzwwwrwrwwrzrzzzzzrzwwwrwrwwe（2.54f）rrrwrrwwew22222zzzwrwwrwee22222（2.54g） （三）球坐標系eeewwwwRR（2.55a）eeesin11RRRR（2.55b）第二章 場論與正交