2021年高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊：４2.1《指數(shù)函數(shù)的概念》精品教案

1、 第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 4. 2.1 指數(shù)函數(shù)的概念本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.2.1節(jié)指數(shù)函數(shù)的概念。從內(nèi)容上看它是學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，以及函數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過實(shí)際問題的探究，建立的第四個(gè)函數(shù)模型。其研究和學(xué)習(xí)過程，與先前的研究過程類似。先由實(shí)際問題探究，建立指數(shù)函數(shù)的模型和概念，再畫函數(shù)圖像，然后借助函數(shù)圖像討論函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用建立的指數(shù)函數(shù)模型解決問題。體現(xiàn)了研究函數(shù)的一般方法，讓學(xué)生充分感受，數(shù)學(xué)建模、直觀想象、及由特殊到一般的思想方法。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的

2、求法(重點(diǎn))2.理解指數(shù)函數(shù)增長變化迅速的特點(diǎn)(難點(diǎn))3.培養(yǎng)勇于探索的精神，體會由特殊到一般的研究方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。a.數(shù)學(xué)抽象：指數(shù)函數(shù)的概念；b.邏輯推理：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)特點(diǎn)；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)解析式；d.直觀想象：指數(shù)函數(shù)圖像；e.數(shù)學(xué)建模：在實(shí)際問題中建立指數(shù)函數(shù)模型；重點(diǎn)：理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法難點(diǎn)：理解指數(shù)函數(shù)增長變化迅速的特點(diǎn)；多媒體教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)（一）、創(chuàng)設(shè)問題情境對于冪 ax(a0 ，我們已經(jīng)把指數(shù) x的范圍拓展到了實(shí)數(shù)上一章學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和基本性質(zhì)，通過對冪函數(shù)的研究，進(jìn)一步了解了研究一類函數(shù)的

3、過程和方法下面繼續(xù)研究其他類型的基本初等函數(shù)（二）、探索新知問題隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式由于旅游人數(shù)不斷增加，兩地景區(qū)自2011年起采取了不同的應(yīng)對措施，地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而地則取消了景區(qū)門票下表給出了，兩地景區(qū)2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？為了有利于觀察規(guī)律，根據(jù)表，分別畫出，兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖觀察圖象和表格，可以發(fā)現(xiàn)，地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長），年增加量大致相等（約為萬次）；地景區(qū)的游客人次則是非線性增長，年增加量越來越大

4、，但從圖象和年增加量都難以看出變化規(guī)律我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的能否通過對地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？請你試一試從2002年起，將地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次2001年游客人次=3092781.11，2003年游客人次2002年游客人次=3443091.112015年游客人次2014年游客人次=124411181.11做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增長率增加量、增長率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)很重要的量結(jié)果表明， 地景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-10.11，是一個(gè)

5、常數(shù)像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長因此，地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長顯然，從年開始，地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：年后，游客人次是年的1.111倍；年后，游客人次是年的1.112倍；年后，游客人次是年的1.113倍；x年后，游客人次是年的1.11x倍如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為年的y倍，那么y 1.11x （x，） 這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量問題當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14

6、含量的年衰減率為狆，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么；死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)1；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)2 ；死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)3 ；死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)5730 根據(jù)已知條件， （1-p)573012,從而1-p=(12)15730,所以p=1-(12)15730設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳含量為y，那么y=（1-p)x ，即y=(12)15730)x, （x，） 這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)x是自變量死亡生物體內(nèi)碳含量每年都以1-(12)15730減率衰減像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式

7、，我們稱為指數(shù)衰減因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減如果用字母a代替上述兩式中的底數(shù)1.11和(12)15730，那么函數(shù)y 1.11x 和y=(12)15730)x可以表示為y=ax的形式，指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yax(a0，且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是_.思考：指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a大于0且不等于1?1思考辨析(1)yx2是指數(shù)函數(shù)()(2)函數(shù)y2x不是指數(shù)函數(shù)()(3)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方()答案(1)(2)(3)（三）典例解析例1已知指數(shù)函數(shù)設(shè)f(x)ax(a0, 且a1),且f(3)=求f(0)，f(1)，f(-3)的值；分析：要求f(

8、0)，f(1)，f(-3)的值，應(yīng)先求出f(x)ax的解析式即先求出a的值；解：因?yàn)?f(x)ax ,且 f(3)=,則a3 = ，解得 a=13 , 于是f(x)x3，所以f(0)=0=1，f(1)=13=3，f(-3)=1=1跟蹤訓(xùn)練1：已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且f32=39，則f(2)_. 解析：設(shè)f(x)ax(a0且a1)，由f 得a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.規(guī)律方法1在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住三點(diǎn)：(1)底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；(3)ax的系數(shù)必須為1.2求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法例（1）在問題

9、中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間，兩地旅游收入變化情況解：（）設(shè)經(jīng)過x年，游客給，兩地帶來的收入分別為f（x）和g（x），則f（x）1150（10x+600），g（x）10002781.11x利用計(jì)算工具可得，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）g（0）412000當(dāng)x10.22時(shí)，f（10.22）g（10.22）結(jié)合圖可知：當(dāng)x10.22時(shí)，f（x）g（x），當(dāng)x10.22時(shí)，f（x）g（x）當(dāng)x14時(shí)，f（14）g（14）347303這說明，在2001年，游客給地帶來的收入比地多412000萬元；隨后10年，雖然f（x）g（x），

10、但g（x）的增長速度大于f（x）；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2011年2月某個(gè)時(shí)刻就有f（x）g（x），這時(shí)游客給地帶來的收入和地差不多；此后，f（x）g（x），游客給地帶來的收入超過了地；由于g（x）增長得越來越快，在2015年，地的收入已經(jīng)比地多347303萬元了開門見山，通過對指數(shù)冪運(yùn)算及函數(shù)概念和性質(zhì)學(xué)習(xí)的鋪墊，提出研究課題：指數(shù)函數(shù)。培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。探究問題：探究1.通過景區(qū)門票價(jià)格制定與參觀景區(qū)人數(shù)，兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的建立，體會數(shù)學(xué)源于生活，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；通過典例問題的分析，讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際問題分析方法，及指數(shù)函數(shù)變化特

11、點(diǎn)。培養(yǎng)分析問題與解決問題的能力；探究2.通過生物體死亡時(shí)間與體內(nèi)碳14含量，函數(shù)關(guān)系的建立，體會指數(shù)函數(shù)應(yīng)用的廣泛性，并建立指數(shù)函數(shù)的概念。體會由特殊到一般的研究方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；通過典例分析，進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的概念，及認(rèn)識到指數(shù)函數(shù)變化迅速的特點(diǎn)；三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo) 1下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是()Ay2x1 Byx3 Cy32x Dy3x【答案】D由指數(shù)函數(shù)的定義可知D正確2.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）【答案】C由指數(shù)函數(shù)的增長速度及定義，可知C正確3已知函數(shù)f(x)(2a1)x是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】(1，) 由題意可知解得a，且a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)4若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)2，則f(x)_. 【答案】x設(shè)f(x)ax(a0且a1)，則f(2)a22，a(a舍去)，f(x)