三角形倒角壓軸題

1、【例1】（北京市競(jìng)賽題）在.ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，且.A：. B：. C , 4 C=7. A，則.B的度數(shù)為.411【解析】 設(shè).C =x，則.A=（x） , B =180 -/A-/C =180x ,77411則x 180x : x，解得 70 ：x ：:84 ,774又x是整數(shù)，得x =77，故乙A =44 ，乙B =59 .7【例2】 ABC中，.A是最小角，.B是最大角，且2 B=5. A，若.B的最大值是 m，最小值是n .則m n =.227【解析】.A=2. B，依題意得B 180 B J B，解得 75 J B 100，故 m n =175.555【例3】 （河南

2、競(jìng)賽題）若三角形的三個(gè)外角的比是2：3：4，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是 . ABC的內(nèi)角 A、. B、. C滿足3 A 5 B , 3 C J 2 B，則這個(gè)三角形是（廠A .銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形D 不能確定2 三角形內(nèi)角和360，故最小的外角為 360 - =80，它對(duì)應(yīng)的內(nèi)角為最大內(nèi)角為 100 .9322 C . B A ,. C J B A,535. B . C ： . A , 180 -. A ： . A, . A 90 .【例5】在:ABC中，若AB =2BC , . B =2. A ,判斷 ABC的形狀（銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形）， 并寫(xiě)出理由

3、.B . ABC是直角三角形.理由：如上圖， AB=2BC , AB BC ,根據(jù)大邊對(duì)大角： ACB A，作.ACD = A , CD與AB交于點(diǎn)D ,根據(jù)等角對(duì)等邊：AD二CD ,由外角定理： ZBDC ZA EACD =2乙A ,又上B =2ZA， /B ZBDC ,由等角對(duì)等邊：CD二BC ,又 AB =2BC ,1 AD =BD =CD =BCAB ,2 B= BCD 二 BDC =60 ,1ZACDBDC =30 ,2 ZACB ZACD BCD =90 .【例6】 如下圖所示，在 ABC中，.ACB=90 , D、E為AB上兩點(diǎn)，若 A AC , DCE=45，求證:BC =BD

4、 .ACC.如圖， . 2 =45 , AE 二 AC 5 = 2. 3 = 45. 3 . 4 =/A . 3 ,.5-. B =(45. 3) -(90 -. A) = . 3. A_45 =. 4 _45 ./4 . 45 ZBCD ,BC =BD .【例7】 如圖，ABC中，BAC=120 , AD _ BC于D，且AB BCD，則乙C的大小是()A 20 B 25C 30 D 大于 30D .如圖，在DC上取DE二DB，連接 AE，易得Rt ABD也Rt AED .AB 二 AE 二CE，/AEB=2/C ,所以 /BAC =2EAD EC =2(90 -2/C) EC =120，得

5、.C =20 .【例8】在.ABC中，./A =50，高BE、CF所在直線交于點(diǎn) O ,且點(diǎn)O不與點(diǎn)B、C重合，求MBOC的 度數(shù).CO【解析】對(duì)于沒(méi)有給出具體圖形的幾何問(wèn)題，一定有要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，特別是要注意是否有多解的情況若ABC是銳角三角形，如圖(1)所示，BOC 二 A ABE ACF 二 A (90 A) (90 - A)=180 _A=130若 ABC是鈍角三角形，如圖(2)所示，BOC =90 - ECO =90 - ACF =90 -(90 - A) = A =50從本題我們能得到一個(gè)重要結(jié)論：三角形兩邊上的高相交所形成的角與第三邊所對(duì)的角的關(guān)系是：當(dāng)此三角形是銳角三角形時(shí)

6、，它們互補(bǔ)；當(dāng)此三角形是鈍角三角形時(shí)，它們相等.【例9】 如圖，在ABC中，BE、CD分別是 ABC、 ACB的角平分線，且BD C BC，則.A的度數(shù) 為.【解析】60 .【例10】 如圖所示，已知CB/ OA , . C=/OAB=100 , E , F在CB上，且滿足.FOB =/AOB , OE平 分厶COF 求.EOB的度數(shù)； 若平行移動(dòng)AB，那么.OBC :. OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值； 在平行移動(dòng)AB的過(guò)程中，是否存在某種情況，使.OEC二.OBA ?若存在，求出其度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】此題是一類(lèi)重點(diǎn)題型，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)

7、化思想，題目難度較大，是角平分線與平行性質(zhì)的綜合，提 高班及精英班老師可提前給學(xué)生滲透這種思想，讓學(xué)生掌握此類(lèi)問(wèn)題的解法. 40 ;(2) 1:2 ;(3)存在，.OEC - OBA = 60 【例11】(2008年南通市)已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，求三角形面積通常有以下三種方法：方法1:直接法計(jì)算三角形一邊的長(zhǎng)，并求出該邊上的高.方法2:補(bǔ)形法將三角形面積轉(zhuǎn)化成若干個(gè)特殊的四邊形和三角形的面積的和與差.方法3:分割法選擇一條恰當(dāng)?shù)闹本€，將三角形分割成兩個(gè)便于計(jì)算面積的三角形.現(xiàn)給出三點(diǎn)坐標(biāo)：A( 1,4) , B(2 , 2) , C(4 , -1)，請(qǐng)你選擇一種方法計(jì)算 AABC的面積，你的

8、答案是S腔BC = 利用方法2,如圖，取點(diǎn)D(4 , 4),連接AD、【解析】 本題考查三角形面積的求法及在坐標(biāo)系內(nèi)求線段長(zhǎng)度.BD、 DC ABCACD1 125Sa acdAD DC 5 52 221 1SabcdDC (Xd -Xb)5 2 =5 ,2 21 1Sa abd=2 AD (yD-yB)=? 5 2=5 ,故應(yīng)填-2A【例12】如右圖所示，BD是.ABC的角平分線，CD是.ACB的角平分線，BD、CD交于D，試探索.A與ZD之間的關(guān)系：.C【解析】在 BDC 中，.D . DBC . DCB =180；. DBC . DCB =180 -/D11它DBC ABC , /DCB

9、 ACB2 21 .(. ABC . ACB) =180 -/D2在 ABC 中，.A ： ABC . ACB =1802 D _ . A =180，即 MD =90丄 MA【例13】2（05年山東中考題改編）如右圖所示，BD是 ABC的外角平分線，CD也是:ABC的外角平分線,BD、CD交于點(diǎn)D，試探索 A與.D之間的關(guān)系:F【解析】【例14】 EBC = A ACB, FCB = A ABC EBC FCB = . A . ABC ACB . A =180 A1 ! 1 (ZEBC EFCB) =90A2 2112DBCEBC，/DCBFCB221 i 1ZDBC DCB(/EBC FCB

10、)=90A2 2在 DBC 中，D - DBC DCB =180- D 90；丄 A =180：，即 D =90 -1- A2 2如右圖所示，BD是.ABC的角平分線，CD是 ABC的外角平分線，BD、CD交于點(diǎn)D，試探索 -A與.D之間的關(guān)系：DBC E【解析】 ACE = A ABC11. DCE ACE , DBC ABC221/DCEA ZDBC2T. DCE 二/DDBC11/D . DBC A . DBC，即 DA22【例15】如右圖所示，在 UABC中,CD、BE是外角平分線,BD、CE是內(nèi)角平分線,BE、CE 交于 E，BD、CD交于D，試探索.D與.E的關(guān)系:D【解析】在.B

11、EO和.DCO中,111/ EBO ABF ：_ABC 180 =90222同理 DCO =90 EBO =/DCOT EOB = DOC , D = E【例16】如圖所示，點(diǎn)E和D分別在 ABC的邊BA和CA的延長(zhǎng)線上，CF、EF分別平分.ACB和.AED , 試探索 ZF與/B，也D的關(guān)系： B【解析】 EGD與CGF中， EGD=/CGF F 二 D DEG FCG同理 BHC 與 FHE 中，ZBHC ZFHE F 二 B 4CB ZHEFDEG ZHEF，乙FCG ZHCB1【例17】即.FD . B），也可連接EC ,而后利用等量代換求證.如圖所示，DC平分.ADB , EC平分.

12、AEB,試探索ZDCE與.DBE和.DAE的關(guān)系:【解析】連接DE ,在 BDE 中，乙DBE /BDE /BED =180. BDE EBED =180 ZDBE【例18】EE在.ADE 中，乙DAE ZADE EAED =180又. ADE =/ADB . BDE , . AED =/AEB . BED DAE . ADB . AEB =180 -(. BDE . BED)=180 -(180 -. DBE) =. DBE ADB AEB 二 DBE/DAE在.DCE 中，乙DCE WCDE CED =1801N CDE ZCED(/ADB ZAEB) BDE EBED)21上 DCE =

13、180(/DBE /DAE)-(/BDE EBED)211-.DBE (. DBE - DAE)(. DBE . DAE),221即：.DCE( DBE . DAE)如圖，在三角形 ABC中， A =42； , . ABC和.ACB的三等分線分別交于 數(shù).D、E，求.BDC的度【解析】設(shè)ZABC的三分之一為x , ZACB的三分之一為y，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180，所以有：3x 3y 42 =180 ,180 -42180 -42即 x y，所以 BDC =180 -288 .3 3【例19】如圖，.A =60 ,線段BP、BE把.ABC三等分，線段CP、CE把.ACB三等分，貝，BPE的大小是

14、.【解析】思路1:分析可知.BPC=/A . ABP爲(wèi)/ACP,因?yàn)?A =60 ,故可以先考慮求出.ABP . ACP的度數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，線段BP、BE把.ABC三等分，線段 CP、CE把.ACB三等分，所以111.ABP ABC, . ACP ACB， . BPE BPC，這樣只要求出.ABC . ACB 的度數(shù)，就3 32可以解決問(wèn)題，只需利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出.解法1 :在BPC中，因?yàn)锽E平分.CBP , CE平分.BCP ,所以PE是三BPC的平分線.1即 /BPEBPC .2因?yàn)?么=60 ,所以.ABC . ACB =120 ,又因?yàn)锽P、BE把/ABC三等分，CP、

15、CE把乙ACB三等分.11所以.ABP ABC , ACP ACB ,3 3又因?yàn)?ZBPC ZA /ABP /ACP,1所以 2/BPE ./A (/ABC 乙ACB),11所以 ZBPE 60120 =50 .26思路2:結(jié)合本題特有條件， 還可以把著眼點(diǎn)集中于 厶BPC中，直接利用三角形內(nèi)角和定理解決這一1問(wèn)題同樣由兩個(gè)三等分得到.BPE二-.BPC，不同在于我們利用三等分的另一個(gè)結(jié)論，222.BCP ACB , . CBP ABC .3 3解法2 :在BPC中，因?yàn)锽E平分 CBP , CE平分.BCP ,所以PE是.BPC的平分線，即.BPE =1. BPC .2因?yàn)?A =60 ,

16、所以 ZABC MACB=120 .2-BCP CBP ( ABC ACB) =80 ,3所以 BPC =100，所以 BPE 二-100 =50 .2【總結(jié)】圖1和圖2中，分別是兩個(gè)內(nèi)角的 2等分線，3等分線相交.圖1圖久0易得結(jié)論：圖1中有NR =180 +/A =900 +空,2 2【例20】1802 匸 A3= 602CAZP2 =90。丄=9020 型亠=120。6ZA如圖，延長(zhǎng)四邊形ABCD對(duì)邊 AD，交BC于F ,DC , AB交于 E 右.AED , . AFB的平分線、 1交于 O，求證： /EOF(EAF /BCD).【解析】延長(zhǎng)FO交AE于H點(diǎn)，2 EOF =2(. FHE . OEA) =2(. FAE . AFH . OEA).FAE BCD =/FBE 2 OEA FAE二.FAE 2. AFH 2 OEA . FAE= 2(. FAE . AFH . OEA)1即 ZEOF(WEAF ZBCD)【例21】（第5屆希望杯初二1試）如圖，