數(shù)學(xué)建模論文

1、商人過(guò)河問題學(xué)號(hào)：201101050062 姓名：張紅梅1 問題提出三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽兀? 模型假設(shè)(1) 每個(gè)商人和隨從都會(huì)劃船；(2) 只有一條船，且每條船上最多只能乘坐兩個(gè)人；(3) 所有商人與隨從之間沒有矛盾，不會(huì)出現(xiàn)兩人不愿意坐一條船的現(xiàn)象；(4) 船在渡河的過(guò)程中不受外界環(huán)境的影響。3 模型建立記第k次渡河前此岸的商人數(shù)為，隨從數(shù)為，k=1,2，=0,1,2,3。將二維向量=(，)定義為狀態(tài)。安全渡河條件下的

2、狀態(tài)集合稱為允許狀態(tài)集合，記作s,因此有s=(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2 (3-1)即 s=(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,1)(2,2)(3,3)(3,0)(3,1)(3,2)不難驗(yàn)證，s對(duì)此岸和彼岸都是安全的。記第k次渡船上的商人數(shù)為，隨從數(shù)為。將二維向量=(，)定義為決策。允許決策集合記作d，由小船的容量可知d=(u,v)|1u+v2,u,v=0,1,2 (3-2)即d=(2,0)(0,2)(1,0)(1,1)(0,1)。因?yàn)閗為奇數(shù)時(shí)船從此岸駛向彼岸，k為偶數(shù)時(shí)船從彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律見式(3-3)=

3、+ (3-3)上式稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律。這樣，制定安全渡河方案歸結(jié)為如下的多步?jīng)Q策模型:求決策d(k=1,2,n)，使?fàn)顟B(tài)s按照轉(zhuǎn)移律(3)，由初始狀態(tài)=(3,3)經(jīng)有限步n到達(dá)狀態(tài)=(0,0)。4 模型求解模型的要求從(3,3)開始經(jīng)過(guò)對(duì)每次過(guò)河的安全狀態(tài)量的選擇最終安全到達(dá)(0,0)。由式(1-1)、(1-2)和(1-3)，通過(guò)利用matlab編寫一段程序來(lái)求解多步?jīng)Q策問題是可行的，但是當(dāng)商人和隨從數(shù)都不多的情況下還可以用平面坐標(biāo)法解此模型更為方便。在此處只討論用matlab編程解決問題，見附錄a。另外，附錄b是對(duì)附錄a的檢驗(yàn)。5 結(jié)果分析(1) 模型的求解采取的是矩陣法求解，并運(yùn)用了強(qiáng)大的ma

4、tlab軟件，結(jié)果可信度高，便于推廣；(2) 沒有考慮到實(shí)際生活中，在安全渡河的前提下，商人過(guò)河的優(yōu)先級(jí)應(yīng)高于隨從；(3) 此處只解決3個(gè)商人和3個(gè)隨從過(guò)河的狀態(tài)，若當(dāng)商人和隨從數(shù)增加或小船的容量加大時(shí)，靠邏輯思考就困難了，而用這種模型則仍然可以求解。6 參考文獻(xiàn)1 姜啟源 謝金星 葉俊.數(shù)學(xué)模型(第四版)m.北京:高等教育出版社,2011.2 陳汝棟 于延榮.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模(第二版)m.北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2009.3 白其崢.數(shù)學(xué)建模案例分析m.北京:海洋出版社,2000.7 附錄附錄aclear all; clc a=0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 1,1; 2,2; 3,

5、3; 3,0; 3,1; 3,2;d=2,0; 0,2; 1,0; 1,1; 0,1; s(1,:)=3,3; i=1; j=1; k=1; disp(此岸 - 船上 - 對(duì)岸)for i=1:12 for j=1:5 t=0; u=0; r=mod(i,2); m=r; for k=1:10 if s(i,:)+(-1)i*d(j,:)=a(k,:) t=1; end end if i+1=3 for m=(1+r):2:(i-1) if s(i,:)+(-1)i*d(j,:)=s(m,:) u=1; end end end if t=1 if u=0 s(i+1,:)=s(i,:)+(-1

6、)i*d(j,:); c(i+1,:)=d(j,:); break else if u=1 continue end else continue endendif t=0 disp(no result); break;end b(i+1,:)=3,3-s(i+1,:); play=sprintf(%d, %d-%d, %d-%d, %d, . s(i,1),s(i,2), . c(i+1,1),c(i+1,2), . b(i+1,1),b(i+1,2); disp(play) if s(i+1,:)=0,0 break endend 運(yùn)行結(jié)果為：此岸 - 船上 - 對(duì)岸 3, 3-0, 2-0, 23, 1-0, 1-0, 13, 2-0, 2-0, 33, 0-0, 1-0, 23, 1-2, 0-2, 21, 1-1, 1-1, 12, 2-2, 0-3, 10, 2-0, 1-3, 00, 3-0, 2-3, 20, 1-