第2章 離散型隨機(jī)變量及分布

1、第二章第二章 離散型隨機(jī)變量及分布離散型隨機(jī)變量及分布本章要點(diǎn)本章要點(diǎn) 本章引入隨機(jī)變量的概念本章引入隨機(jī)變量的概念, 討論幾種類型的隨機(jī)變量討論幾種類型的隨機(jī)變量一、一維離散型隨機(jī)變量及分布一、一維離散型隨機(jī)變量及分布二、二維離散隨機(jī)變量及分布二、二維離散隨機(jī)變量及分布及相應(yīng)的分布及相應(yīng)的分布. 主要內(nèi)容有主要內(nèi)容有:三、二維離散隨機(jī)變量的邊緣分布三、二維離散隨機(jī)變量的邊緣分布四、獨(dú)立性四、獨(dú)立性一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量 1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量例例1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) 為拋硬幣試驗(yàn)為拋硬幣試驗(yàn), 我們以符號(hào)我們以符號(hào) 表示出表示出EH 1 X0出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面,出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面.現(xiàn)的是正面

2、現(xiàn)的是正面, 符號(hào)符號(hào) 表示出現(xiàn)的是反面表示出現(xiàn)的是反面, 為了更好的刻畫為了更好的刻畫F這類隨機(jī)試驗(yàn)這類隨機(jī)試驗(yàn), 我們引入量化指標(biāo)我們引入量化指標(biāo):E例例2 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) 為一次打靶試驗(yàn)為一次打靶試驗(yàn), 其基本結(jié)果是中與其基本結(jié)果是中與 1 X0擊中目標(biāo)擊中目標(biāo),未擊中目標(biāo)未擊中目標(biāo).不中不中. 同樣可以引入量化指標(biāo)同樣可以引入量化指標(biāo):例例3 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) 表示射擊試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn), 以以 表示首次命中時(shí)表示首次命中時(shí)EXX1,2, ,.n所進(jìn)行過(guò)的射擊次數(shù)所進(jìn)行過(guò)的射擊次數(shù). 則則 的取值為的取值為 將上面的問(wèn)題一般化將上面的問(wèn)題一般化, 我們引入下面概念我們引入下面概

3、念.定義定義 設(shè)設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn), 為樣本空間為樣本空間, 定義在定義在 上的函上的函E,:.iiRXX 數(shù)稱為數(shù)稱為 上的（一維）上的（一維）隨機(jī)變量隨機(jī)變量. 記為記為 引入了隨機(jī)變量以后引入了隨機(jī)變量以后, 隨機(jī)事件及相應(yīng)的概率可以用隨機(jī)事件及相應(yīng)的概率可以用0,. 隨機(jī)變量方式加以刻畫隨機(jī)變量方式加以刻畫. 記記 表示表示“取到的一只產(chǎn)品是不合格品取到的一只產(chǎn)品是不合格品”, 再以再以 表表示示AX 例如例如, 某廠生產(chǎn)的燈泡按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)其合格品的壽命時(shí)某廠生產(chǎn)的燈泡按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)其合格品的壽命時(shí)間應(yīng)該不小于間應(yīng)該不小于 小時(shí)小時(shí).1000此時(shí)此時(shí) 取出的燈泡的壽命取出的燈泡的壽命,

4、 則事件則事件 可以表示為可以表示為A01000 .AX對(duì)應(yīng)的概率可以表示為對(duì)應(yīng)的概率可以表示為 01000 .P APX二、概率函數(shù)、概率函數(shù) 在上節(jié)的幾個(gè)例子中在上節(jié)的幾個(gè)例子中, 我們看到問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)我們看到問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)隨機(jī)變量的取值為有限多個(gè)或隨機(jī)變量的取值為有限多個(gè)或“可列可列”多個(gè)多個(gè), 這類隨機(jī)這類隨機(jī)變變量稱為量稱為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量. 1.離散型隨機(jī)變量和概率函數(shù)離散型隨機(jī)變量和概率函數(shù) 12,na aa 設(shè)設(shè) 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 的可能取值為的可能取值為XX事件事件 的概率為的概率為 即即:,ipiXx稱上式為隨機(jī)變量稱上式為隨機(jī)變量

5、的的分布分布（分布律分布律）, 又稱為又稱為概率函概率函X,iiP Xap數(shù)數(shù). 上式又可用表格的形式給出上式又可用表格的形式給出:1212.nnaaaXPppp 由概率的定義由概率的定義, 容易得到容易得到01,2,ipi11.iip例例4 設(shè)袋中有設(shè)袋中有5球球, 編號(hào)為編號(hào)為 從袋中隨機(jī)地從袋中隨機(jī)地1,2,2,3,3,解解 以以 表示取到球的編號(hào)表示取到球的編號(hào), 則則 的取值為的取值為 因因1XX1,2,3.11.5P X 同理同理, 22,5P X XX取一球取一球, 以以 表示取到的球的編號(hào)表示取到的球的編號(hào), 求求 的分布的分布.號(hào)球只有一個(gè)號(hào)球只有一個(gè), 故故及及23.5P

6、X 從而隨機(jī)變量從而隨機(jī)變量 的分布律為的分布律為X123.122555XP 2.分布函數(shù)分布函數(shù)定義定義 設(shè)設(shè) 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 定義定義X ,F xP Xxx 稱稱 為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量 的分布函數(shù)的分布函數(shù). F xX1124.0.2 0.3 0.1 0.4XP求分布函數(shù)求分布函數(shù) .F x解解 若若 則則 為不可能事件為不可能事件, 因而因而1,x Xx 0.F xP Xx若若 則則 所以所以11,x 1 .XxX 10.2.XF xP XxP 例例5 設(shè)設(shè) 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量, 取值為取值為 相應(yīng)的概率用相應(yīng)的概率用1,1,2,4,X下表表示下表表示若若 則則 所以所以12,

7、x1,1 .XxXX 11XP XF xP XxP 0.20.30.5.同理同理, 當(dāng)當(dāng) 有有24,x F xP Xx1120.6.P XP XP X 當(dāng)當(dāng)4,x 1.F xP Xx從而從而 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:X 0 10.2 110.5 12 .0.6 241 4xxF xxxx 分布分布01 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 的取值為的取值為0, 1, 相應(yīng)的概率記為相應(yīng)的概率記為X則稱服從則稱服從 分布分布. 記為記為0101 .X1,P Xp0101 ,P Xpp 一個(gè)只有兩個(gè)基本結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)只有兩個(gè)基本結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn), 都可轉(zhuǎn)化為都可轉(zhuǎn)化為01分布分布.三、常用離散型隨機(jī)變量三、常

8、用離散型隨機(jī)變量習(xí)慣上習(xí)慣上, 分布又常寫成分布又常寫成0101,XPqp其中其中1.qp 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 在在 重貝努利試驗(yàn)中重貝努利試驗(yàn)中, 若以若以 表示事件表示事件 在在 次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中nXAn.10,1,n kkknP XkCppkn分布列為分布列為1101.111nnn kkknnnXknPpC ppC ppp X0,1,2, , n出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù). 則則 的取值為的取值為 相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為:其中其中 為事件為事件 發(fā)生的概率發(fā)生的概率. 則稱則稱 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的pAX, n p,.XB n p 在概率論中在概率論中, 二項(xiàng)分布是一個(gè)重要的分布二項(xiàng)分布

9、是一個(gè)重要的分布. 在許多獨(dú)在許多獨(dú)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布, 記成記成立重復(fù)試驗(yàn)中立重復(fù)試驗(yàn)中, 都具有二項(xiàng)分布的形式都具有二項(xiàng)分布的形式.例例6 設(shè)設(shè) 則由公式則由公式得得,10,0.3XB 3731030.30.70.2668,P XC而而33,4,5,10P XP XXXX1012P XP XP X 109810.710 0.3 0.745 0.09 0.70.6172. 例例7 已知某公司生產(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿橐阎彻旧a(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿?.01, 并設(shè)并設(shè)解解 由條件由條件, 以以 表示包內(nèi)螺絲釘為次品的件數(shù)表示包內(nèi)螺絲釘為次品的件數(shù), 則包則包X1101P XP XP X 10910

10、.9910 0.010.990.0043. 各個(gè)螺絲釘是否為次品是獨(dú)立的各個(gè)螺絲釘是否為次品是獨(dú)立的. 這家公司將這家公司將10個(gè)螺絲個(gè)螺絲釘包成一包出售釘包成一包出售, 并保證若發(fā)現(xiàn)包內(nèi)多余一個(gè)次品就可并保證若發(fā)現(xiàn)包內(nèi)多余一個(gè)次品就可退款退款. 問(wèn)賣出的某包螺釘被退回的概率有多大？問(wèn)賣出的某包螺釘被退回的概率有多大？1,X 被退回意味著被退回意味著 故所求的概率為故所求的概率為被退回的概率近似等于被退回的概率近似等于0.43%. 例例8 設(shè)有保險(xiǎn)公司的某保險(xiǎn)險(xiǎn)種有設(shè)有保險(xiǎn)公司的某保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保人投保, 每個(gè)每個(gè)解解 以隨機(jī)變量以隨機(jī)變量 表示在未來(lái)一年中這表示在未來(lái)一年中這1000

11、個(gè)投保人死個(gè)投保人死X 10100010000100.0050.995.kkkkP XC人在一年內(nèi)死亡的概率為人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005, 且每個(gè)人在一年內(nèi)是否且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的死亡是相互獨(dú)立的. 試求在未來(lái)一年中這試求在未來(lái)一年中這1000個(gè)投保人個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過(guò)死亡人數(shù)不超過(guò)10個(gè)人的概率個(gè)人的概率.10 .P X 亡的人數(shù)亡的人數(shù), 則相應(yīng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾怕蕜t相應(yīng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾怕?由由在上式中直接計(jì)算在上式中直接計(jì)算 是比較是比較 100010000.0050.995kkkC 設(shè)設(shè) 當(dāng)當(dāng) 很大很大 很小且很小且 適中時(shí)有適中時(shí)有,.XB n pnnppe0

12、,1,2,.!kP Xkkk在上例中在上例中, 取取 則有則有1000 0.0055,10010e0.986.!kkP Xk困難的困難的, 為此我們引入一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法為此我們引入一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法即二項(xiàng)即二項(xiàng)分布的逼近分布的逼近. 即在未來(lái)一年中這即在未來(lái)一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過(guò)個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過(guò)10個(gè)人個(gè)人的概率為的概率為0.986. 泊松分布泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的取值為的取值為 相應(yīng)的分布律相應(yīng)的分布律X0,1,2, ,ne 0,1,2,!kP Xkkk則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布, 記為記為 .XP泊松分布的計(jì)算泊松

13、分布的計(jì)算: 查表查表256257 .P為為例例9 設(shè)設(shè) 求求 5 ,XP6 .P X 解解 查表得查表得60.1462.P X 例例10 設(shè)某小區(qū)有電梯設(shè)某小區(qū)有電梯200部部, 每臺(tái)電梯發(fā)生故障的可每臺(tái)電梯發(fā)生故障的可在同一時(shí)刻恰好有在同一時(shí)刻恰好有5部電梯發(fā)生故障的概率部電梯發(fā)生故障的概率; 在同一時(shí)刻至少有在同一時(shí)刻至少有3部電梯發(fā)生故障的概率部電梯發(fā)生故障的概率;配備多少維修工人配備多少維修工人, 使能以使能以95%的概率的概率, 保證當(dāng)電梯保證當(dāng)電梯解解 以以 表示在同一時(shí)刻發(fā)生故障的電梯數(shù)表示在同一時(shí)刻發(fā)生故障的電梯數(shù), 則由條件則由條件X取取 所以所以4,能性為能性為0.02,

14、 求求 發(fā)生故障時(shí)發(fā)生故障時(shí), 有維修工人進(jìn)行維修有維修工人進(jìn)行維修.200,0.02XB得得由計(jì)算公式由計(jì)算公式得得50.1563.P X 31012P XP XP XP X 1 0.01830.07320.14650.762. 記配備的維修工人數(shù)為記配備的維修工人數(shù)為 若能有維修工人能進(jìn)行維若能有維修工人能進(jìn)行維,N0.95.P XN,XN修修, 則則 所以原問(wèn)題由概率來(lái)反映所以原問(wèn)題由概率來(lái)反映, 即為即為從而從而 查表得查表得0.05.P XN80.02379,70.05716.P XP X故取故取 即配備即配備8名維修人員名維修人員, 使能以使能以95%的概率的概率, 8,N 保證當(dāng)

15、電梯發(fā)生故障時(shí)保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時(shí), 一定有維修工人進(jìn)行維修一定有維修工人進(jìn)行維修. 幾何分布幾何分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的取值為的取值為X1,2,相應(yīng)的概率函數(shù)為相應(yīng)的概率函數(shù)為11, 01kP Xkppp稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的幾何分布幾何分布, 記為記為Xp .XG p例例11 設(shè)設(shè) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的幾何分布的幾何分布, 證明證明Xp|.P Xst XsP Xt其中其中 為任意非負(fù)整數(shù)為任意非負(fù)整數(shù)., s t證證 由幾何分布的概率函數(shù)得由幾何分布的概率函數(shù)得12P XtP XtP Xt 111ttpppp1.tp等比級(jí)數(shù)求和等比級(jí)數(shù)求和,|P Xst

16、 XsP Xst XsP Xt11.1s ttsppp由前式由前式P XstP Xt四、二維隨機(jī)變量及分布四、二維隨機(jī)變量及分布 設(shè)設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn), 是相應(yīng)的樣本空間是相應(yīng)的樣本空間, 一個(gè)從一個(gè)從 到到E的二元函數(shù)即稱為一個(gè)二維隨機(jī)變量的二元函數(shù)即稱為一個(gè)二維隨機(jī)變量. 記為記為RR,.X Y稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量 的取值規(guī)律及相應(yīng)的概率為的取值規(guī)律及相應(yīng)的概率為 的的,X Y,X Y二維分布二維分布. 1.聯(lián)合概率函數(shù)聯(lián)合概率函數(shù) 設(shè)設(shè) 為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量, 若它的取值為有限多個(gè)或若它的取值為有限多個(gè)或,X Y 設(shè)設(shè) 為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量, 取值為取值為,X Y,

17、(1,2,ijx yi ,ijijP Xx Yyp稱稱式為隨機(jī)變量式為隨機(jī)變量 的的分布律或聯(lián)合概率函數(shù)分布律或聯(lián)合概率函數(shù).,X Y,X Y可列多個(gè)可列多個(gè), 則稱則稱 為為二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量.1,2,j 相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為 式又可用分布表的形式給出式又可用分布表的形式給出:XY1xix1yjy11p1jp1 ipijp 由概率的定義不難得到由概率的定義不難得到:0;ijp ,11.iji jp 由二維離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)容易求出隨機(jī)變量由二維離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)容易求出隨機(jī)變量落在平面上某個(gè)區(qū)域中的概率落在平面上某個(gè)區(qū)域中的概率. 事實(shí)上事實(shí)上, 對(duì)給定的平

18、面區(qū)域?qū)o定的平面區(qū)域,D則有則有,.ijija bDPX YDP Xa Yb例例12 設(shè)袋中有設(shè)袋中有5球球, 編號(hào)為編號(hào)為 今從袋中取二球今從袋中取二球1,2,2,3,3.解解 由條件由條件, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 的可能取值為的可能取值為 因因 號(hào)號(hào),X Y,.i j11,10.P XY當(dāng)先取當(dāng)先取 號(hào)球號(hào)球, 此時(shí)還剩此時(shí)還剩4球球, 其中其中2號(hào)球有號(hào)球有2個(gè)個(gè), 故故1,1111,25210P XY,X Y（不放回）（不放回）, 分別以分別以 表示第一、二次取到的球的編表示第一、二次取到的球的編,X Y號(hào)號(hào), 求求 的分布律的分布律.球只有一個(gè)球只有一個(gè), 故故相仿地相仿地, 有有,1

19、111,35210P XY,2112,15410P XY,2112,25410P XY,2122,35210P XY由此得到分布表由此得到分布表12311101010.11221010101213101010X Y 2.邊緣概率函數(shù)邊緣概率函數(shù) 設(shè)設(shè) 為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量, 取值為取值為,X Y,ijx y(1,2,;1,2,),ij,ijijP Xx YYpX由此由此, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 的取值為的取值為 相應(yīng)的概率相應(yīng)的概率12,nx xx,iiP XxP Xx Y 121,.,niijijP Xx Yy yyYypp為為聯(lián)合概率函數(shù)為聯(lián)合概率函數(shù)為稱其為隨機(jī)變量稱其為

20、隨機(jī)變量 的的邊緣概率函數(shù)邊緣概率函數(shù). 同樣定義同樣定義X1,.jjijjipP YyP XYyp稱其為隨機(jī)變量稱其為隨機(jī)變量 的的邊緣概率函數(shù)邊緣概率函數(shù).Y例例13 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 有概率函數(shù)有概率函數(shù),X Y012310.10.050.10.05,00.10.10.10.110.050.10.050.1X Y求邊緣概率函數(shù)求邊緣概率函數(shù).解解 對(duì)上表分別作行和及列和對(duì)上表分別作行和及列和, 得得:012310.10.050.10.05 0.300.10.10.10.10.4,10.050.10.050.10.30.25 0.25 0.25 0.25X Y由此得邊緣概率函數(shù)

21、分別為由此得邊緣概率函數(shù)分別為:101,0.3 0.4 0.3XP及及0123.0.25 0.25 0.25 0.25YP例例14 袋中有袋中有10個(gè)球個(gè)球, 其中紅球其中紅球8個(gè)個(gè), 白球白球2個(gè)個(gè), 從袋中隨從袋中隨機(jī)取機(jī)取2次球次球, 每次一個(gè)（不放回）每次一個(gè)（不放回）, 定義定義0,1,X第一次取出的是紅球第一次取出的是紅球,第一次取出的是白球第一次取出的是白球,0,1,Y第二次取出的是紅球第二次取出的是紅球,第二次取出的是白球第二次取出的是白球,求求 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.,X Y解解 由要求由要求, 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 的可能取值只有四個(gè)的可能取

22、值只有四個(gè),X Y又又: 事件事件0,0XY表示第一和第二次取到的都是表示第一和第二次取到的都是 紅球紅球, 因而因而87280,0,10 945P XY同理同理:2 881,0,10 945P XY8280,1,10 945P XY2111,1,10 945P XY由此得到聯(lián)合分布律為由此得到聯(lián)合分布律為:01288045458114545X Y相應(yīng)的邊緣分布律為相應(yīng)的邊緣分布律為:及及01.3694545XP01.3694545YP五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布 1.隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 在上一目的例在上一目的例12中中, 若采用放回抽樣若采用放回

23、抽樣, 則聯(lián)合概率函則聯(lián)合概率函數(shù)和邊緣概率函數(shù)分別為數(shù)和邊緣概率函數(shù)分別為:0116402525411255X Y01,4155XP01.4155YP 注意到注意到, 此時(shí)對(duì)任意的此時(shí)對(duì)任意的, ,i j有有 ,.P Xi YjP Xi P Xj上式表明事件上式表明事件,X iYj是獨(dú)立的事件是獨(dú)立的事件. 由此引入下面的定義由此引入下面的定義.定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為,X Y,ijijP Xx Yyp如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積, 即即,ijijppp則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 與與 相互獨(dú)立相互

24、獨(dú)立.XY例例15 設(shè)設(shè) 是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量, 相應(yīng)的分布律為相應(yīng)的分布律為,X Y解解 因隨機(jī)變量因隨機(jī)變量 的邊緣分布分別為的邊緣分布分別為,X Y012310.10.050.10.0500.10.10.10.110.050.10.050.1X Y判斷判斷 是否獨(dú)立是否獨(dú)立.,X Y101,0.30.40.3XP0123,0.250.250.250.25YP因因 所以隨機(jī)變量所以隨機(jī)變量 是不獨(dú)立的是不獨(dú)立的.1111,ppp,X Y 2.條件概率函數(shù)條件概率函數(shù) 一般情況下一般情況下, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 中的兩個(gè)隨機(jī)變量的取中的兩個(gè)隨機(jī)變量的取,X Y值時(shí)相互影響的值時(shí)相互影響

25、的.我們用條件概率來(lái)考察這種影響我們用條件概率來(lái)考察這種影響. 設(shè)設(shè) 與與 的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為XY, ,1,2,.ijijP Xa Ybpi j如果已知事件如果已知事件 發(fā)生發(fā)生, 其中其中 固定固定, 那么條件概那么條件概jYbj率率|ijP Xa Yb1,2,.,ijijjjiP Xa YbppP Yb.上式中的上式中的 必須滿足必須滿足12,jjjjpppp0,1,2,;ijjpip1111.ijijiijjpppp定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為,X Y, ,1,2,.ijijP Xa Ybpi j對(duì)于任意的一個(gè)固定的對(duì)于任意的一個(gè)固定的,1,2,

26、j j 稱稱 1,2,|,ijijjipP Xa Ybp為已知為已知 發(fā)生的條件下（記作發(fā)生的條件下（記作“ ” ）jYb|jX Yb的的條件概率函數(shù)條件概率函數(shù)（或（或條件分布律條件分布律, 或或條件概率分布條件概率分布）. 類似地類似地, 對(duì)于任意一個(gè)固定的對(duì)于任意一個(gè)固定的,1,2,i i 稱稱1,2,|,ijjiijpP YbXap為已知為已知 發(fā)生的條件下（記作發(fā)生的條件下（記作“ ” ）iXa|iY Xa的的條件概率函數(shù)條件概率函數(shù)（或（或條件分布律條件分布律, 或或條件概率分布條件概率分布）. 值得注意的事值得注意的事, 一般情況下一般情況下, 隨著固定下標(biāo)隨著固定下標(biāo) 的改變的

27、改變, j條件分布也將呈現(xiàn)不同的形式條件分布也將呈現(xiàn)不同的形式. 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí),X Y則條件分布呈現(xiàn)相同的形式則條件分布呈現(xiàn)相同的形式.例例16 設(shè)隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為,X Y19257272123111114882111121212631111318181867118ijX Ypp求求:已知事件已知事件1Y 發(fā)生時(shí)發(fā)生時(shí) 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù);X已知事件已知事件2X 發(fā)生時(shí)發(fā)生時(shí) 的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù).Y解解 由條件概率函數(shù)的定義得到由條件概率函數(shù)的定義得到.因因171,18P Yp所以所以1111791|1/,4 181

28、4pP XYp同理可得其它概率同理可得其它概率, 由此得條件分布律由此得條件分布律:932141414|1123X YP因因212,3P Xp所以所以2121111|2/,12 34pP YXp同理可得其它概率同理可得其它概率, 由此得條件分布律由此得條件分布律:112444|2123.Y XP六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布 1.一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù) 設(shè)設(shè) 是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量, 概率函數(shù)為概率函數(shù)為X 1,2, ,iiP Xxpin即有分布列即有分布列1212.nnXxxxPppp若若 為一已知函數(shù)為一已知函數(shù), 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量

29、 的的 yg xYg X ( )|.ijijP Yg xP Yg xg xg x 1,2, ,ig xin取值為取值為則相應(yīng)的概率函數(shù)為則相應(yīng)的概率函數(shù)為例例14 設(shè)設(shè) 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 概率函數(shù)為概率函數(shù)為X1012,0.2 0.4 0.2 0.2XP求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 的分布的分布.221,YXYX解解 1. 因函數(shù)因函數(shù) 為單調(diào)函數(shù)為單調(diào)函數(shù), 所以所以21.YX21yx,iiP YyP Xx所以隨機(jī)變量的概率函數(shù)為所以隨機(jī)變量的概率函數(shù)為Y1,1,3,5,隨機(jī)變量隨機(jī)變量 的取值為的取值為 又又1135.0.2 0.4 0.2 0.2YP 2. 的取值為的取值為 而

30、而2YX0,1,4,1110.4,P YP xP X 由此得到相應(yīng)的概率函數(shù)為由此得到相應(yīng)的概率函數(shù)為:014.0.4 0.4 0.2YP例例15 設(shè)設(shè) 有概率函數(shù)有概率函數(shù)X210123,0.1 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3XP求求 的概率函數(shù)的概率函數(shù).21YXY解解 的取值為的取值為 而而1,2,5,10,100.1,P YP X2110.4,P YP XP X 5220.2,P YP XP X 1030.3,P YP X所以相應(yīng)的分布列為所以相應(yīng)的分布列為12510.0.1 0.4 0.2 0.3YP 設(shè)設(shè) 是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量, 相應(yīng)的分布律為相應(yīng)的分布

31、律為,X Y,ijijP Xx Yyp 設(shè)設(shè) 為任意一個(gè)二元函數(shù)為任意一個(gè)二元函數(shù), 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 ,zf x y,ZfX Y,ijijzf x y的相應(yīng)取值為的相應(yīng)取值為相應(yīng)的概率相應(yīng)的概率為為: 2.二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,ijsts tP Zzp,.ststijs tP Xx Yy f xyf x y例例16 設(shè)設(shè) 是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量, 分布列為分布列為,X Y101210.10.050.10.05,00.10.10.10.110.050.10.050.1X Y求求: ;ZXY ,max,ZX Y min,ZX Y的概率函數(shù)的概率函

32、數(shù).解解 則則 的取值為的取值為 相應(yīng)相應(yīng).ZXYZ2, 1,0,1,2,3.的概率為的概率為210123,0.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1ZPZ 此時(shí)此時(shí), 的取值為的取值為,max,ZX Y1,0,1,2,11,10.1,P ZP XY 01,0P ZP XY 0,10,0P XYP XY 0.25,同理可計(jì)算出其它概率同理可計(jì)算出其它概率, 由此得概率分布為由此得概率分布為:1012.0.1 0.25 0.4 0.25ZP 此時(shí)此時(shí), 的取值為的取值為,min,ZX YZ1,0,1,11,1P ZP XY 0,11,1P XYP XY 1,01,1P XYP XY

33、1,20.45,P XY 同理可計(jì)算其它概率同理可計(jì)算其它概率, 由此得概率分布為由此得概率分布為:101.0.45 0.4 0.15ZP例例17 設(shè)設(shè) 是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量, 分布列為分布列為,X Y101220.10.050.10.05,10.10.10.10.110.050.10.050.1X Y求求: ;ZXY ,max,ZX Y min,ZX Y的概率分布的概率分布.解解 則則 的取值為的取值為 .ZXYZ4, 32, 1,0,1,2. 相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為42,20.05,P ZP XY 32,1P ZP XY 1,20.2,P XY 同理可計(jì)算其它概率同理

34、可計(jì)算其它概率, 由此得分布率為由此得分布率為4321012.0.05 0.2 0.15 0.3 0.15 0.1 0.05ZP 此時(shí)此時(shí), 的取值為的取值為 相應(yīng)的相應(yīng)的,max,ZX YZ1,0,1,2,分布為分布為1012.0.2 0.15 0.4 0.25ZP 此時(shí)此時(shí), 的取值為的取值為 相應(yīng)的相應(yīng)的,min,ZX YZ2, 1,0,1,2101.0.3 0.45 0.1 0.15ZP概率分布為概率分布為例例18 設(shè)設(shè) 為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量, 且服從區(qū)域且服從區(qū)域 上的均上的均,X YG勻分布勻分布, 其中其中,|02,01 ,Gx yxy記記:0, ,1, ,if XYUi

35、f XY0, 2 ,1, 2 ,if XYVif XY求求 的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布.,U V解解 由條件知由條件知: 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為,X Y1, 02,01,20,xyf x y其它其它.則則:1,4P XY12,2P XYxyGyx2yx12,4P YXY注意到注意到 只有四個(gè)取值只有四個(gè)取值, 相應(yīng)的相應(yīng)的,U V概率為概率為:所以所以:0,0P UV,2P XY XY1,4P XY0,1P UV1,0P UV,20,P XY XY,2P XY XY1,4P YXY1,1P UV,2P XY XY12,2P XY所以所以, 聯(lián)合分布為聯(lián)合分布為011004

36、11142U V.例例19 設(shè)設(shè) 與與 獨(dú)立獨(dú)立, 且都服從參數(shù)為且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的指數(shù)分布, 記記XYmax,min,UX YVX Y試求試求 的密度函數(shù)的密度函數(shù)U ;Ufu試證試證 服從參數(shù)為服從參數(shù)為2的指數(shù)分布的指數(shù)分布.V解解 由已知條件由已知條件, 得隨機(jī)變量得隨機(jī)變量 及及 的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為XY 1 e , 0,0, 0.xXxFxx 1 e, 0,0, 0.yYyFyy 的分布函數(shù)的分布函數(shù):U UFuP Uumax,PX YuP Xu Yu P Xu P Yu 21 e, 0,0, 0.uXYuFu Fuu所以相應(yīng)的密度為所以相應(yīng)的密度為 2 1

37、e, 0,0, 0.uuUeufuu VFvP Vvmin,1min,PX YvPX Yv 1 P Xv P Yv 1,P Xv Yv 111.XYFvFv 21 e, 0,0, 0.vvv 所以所以: 22e, 0,0, 0.vVvfvv即即: 服從參數(shù)為服從參數(shù)為2的指數(shù)分布的指數(shù)分布.V例例20 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 的兩個(gè)邊緣概率函數(shù)分別的兩個(gè)邊緣概率函數(shù)分別,X Y為為011122XP1 01111632YP已知已知 與與 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 求下列隨機(jī)變量的概率函數(shù)求下列隨機(jī)變量的概率函數(shù):X Y2;ZXYmax.UXY解解 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合

38、概率函數(shù)為,X Y1 011110126411111264X Y由獨(dú)立性由獨(dú)立性 的取值為的取值為2ZXY0,1,2.且且11,0P ZP XY 1,00,1P XYP XY111,1246同理可得其它情況同理可得其它情況, 由此得到概率函數(shù)由此得到概率函數(shù)012111623ZP 的取值為的取值為max,UX Y0,1.10,10,0P UP XYP XY 111,1264同理可得其它情況同理可得其它情況, 由此得到概率函數(shù)由此得到概率函數(shù)011344UP定理定理 設(shè)設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,12,nXXX且且1,1,2, .iXBpin記記12,nYXXX則則 ,.Y

39、B n p定理定理 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,X Y當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,XB m pYB n p,;XYB mn p當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 12,XPYP12.XYP 定理定理 設(shè)設(shè) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 對(duì)于對(duì)于12,nXXX任意一個(gè)整數(shù)任意一個(gè)整數(shù) 11 ,mmn隨機(jī)變量隨機(jī)變量2,mfX XX與與1,mng XX相互獨(dú)立相互獨(dú)立.注意注意 該定理的逆命題并不成立該定理的逆命題并不成立.七、部分作業(yè)解答七、部分作業(yè)解答2.2 試確定常數(shù)試確定常數(shù) 使得下列函數(shù)成為概率函數(shù)使得下列函數(shù)成為概率函數(shù):, c ,1,2, ;P Xkck kn ,1,2,0.!kP Xkckk解解 因因11

40、2,2n nn2.1cn n因因 1e1!kkk1.e1c2.4 已知隨機(jī)變量的概率函數(shù)如下表已知隨機(jī)變量的概率函數(shù)如下表:210124,0.20.10.30.10.20.1XP求一元二次方程求一元二次方程23210tXtX有實(shí)數(shù)根的有實(shí)數(shù)根的概率概率.解解 因方程有實(shí)數(shù)根因方程有實(shí)數(shù)根240.bac 此時(shí)此時(shí) 2, 1,4 .X 222441212433 .bacXXXX因而因而 相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為0.4.P 2.6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量,XB n p已知已知1P X 1 .P Xn試求試求 ,2 .p P X 解解 因因111111.nnnnnC ppCpp11 ,P XP Xn即有

41、即有由此得由此得1.2p 所以所以 21112.22nnnn nP XC2.10 某地有某地有 個(gè)人參加了人壽保險(xiǎn)個(gè)人參加了人壽保險(xiǎn), 每人繳納保險(xiǎn)每人繳納保險(xiǎn)3000金金 元元 ,10年內(nèi)死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取年內(nèi)死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取 元元.12000假定該地假定該地 年內(nèi)人口死亡率為年內(nèi)人口死亡率為0.1%,1且死亡是相對(duì)獨(dú)立且死亡是相對(duì)獨(dú)立 的的, 求該公司求該公司 年內(nèi)贏利不少于年內(nèi)贏利不少于 元的概率元的概率. 100001解解 設(shè)設(shè) 表示該地區(qū)一年內(nèi)死亡的人數(shù)表示該地區(qū)一年內(nèi)死亡的人數(shù), 則則X3000,0.001 .XB所求概率為所求概率為.10P X此時(shí)此時(shí)3,n

42、p所以所以0.9997.10P X現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), 表示表示 次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大者次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的最大者. 試求試求Y2 與與 的聯(lián)合概率函數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù);X Y 與與P XY2210 ;P XY 的邊緣概率函數(shù)的邊緣概率函數(shù).,X Y解解 因因1,1XY表示擲出的點(diǎn)數(shù)均為表示擲出的點(diǎn)數(shù)均為 1,所以所以 11,1.36P XY2.14 把一顆骰子獨(dú)立地向上拋把一顆骰子獨(dú)立地向上拋 次次. 設(shè)設(shè) 表示第表示第 次出次出2X1同樣同樣所以所以而而 1,2XY為不可能事件為不可能事件, 所以所以 注意到注意到 11,2.36P XY表示第一個(gè)點(diǎn)數(shù)為表示第一個(gè)點(diǎn)數(shù)為 第二個(gè)點(diǎn)數(shù)為第二個(gè)點(diǎn)數(shù)為1,2

43、,2,1XY2,10.P XY2,2XY表示第一個(gè)點(diǎn)數(shù)為表示第一個(gè)點(diǎn)數(shù)為 第二個(gè)點(diǎn)第二個(gè)點(diǎn)2,可以是可以是 或是或是12,所以所以22,2,36P XY同理可得其它概率同理可得其它概率, 由此得聯(lián)合概率函數(shù)由此得聯(lián)合概率函數(shù):123456111111136363636363621111203636363636311130036363636411400036363651500003636660000036X Y由上表容易得到由上表容易得到:21.36P XY22410.36P XY邊緣概率函數(shù)為邊緣概率函數(shù)為123456,111111666666XP對(duì)角線的和對(duì)角線的和123456,1357911363636363636YP2.17 設(shè)設(shè) 與與 獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布, 它們都服從它們都服從 分布分布XY0 11,0.3 ,B試求試求 的聯(lián)合概率函數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù).,X Y01,0.70.3XP01,0.70.3YP解解 由條