量及其線性運算

1、第二節(jié)第二節(jié) 向量及其線性運算向量及其線性運算一、向量及其幾何表示一、向量及其幾何表示二、向量的坐標(biāo)表示二、向量的坐標(biāo)表示三、向量的模與方向角三、向量的模與方向角四、向量的線性運算四、向量的線性運算五、向量的分向量表示式五、向量的分向量表示式六、小結(jié)六、小結(jié) 思考題思考題向量向量(vector)： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為為起起點點，2M為為終終點點的的有有向向線線段段.1M2M a21MM一、向量及其幾何表示或或向徑：向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點空間直角坐標(biāo)系中任一點 與原點與原點構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量 . . OMM自由向量：自由向量：不考

2、慮起點、終點位置的向量不考慮起點、終點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量，記為大小相等但方向相反的向量，記為 . .a aba a空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 二、向

3、量的坐標(biāo)表示),(),(00000zyxMzyxMaMM，終終點點起起點點代代表表向向量量設(shè)設(shè)有有向向線線段段0 xxax 0yyay 0zzaz 向量在向量在x軸上的投影軸上的投影向量在向量在y軸上的投影軸上的投影向量在向量在z軸上的投影軸上的投影Oxyz 0M Myaxazaxyzo 0M M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|0MMax cos|0MMay cos|0MMaz 通常用來表示向量的方向通常用來表示向量的方向. .222zyxaaa 表示向量的長度表示向量的長度yaxazazyxaaa,有序數(shù)組MM0有向線段一一對應(yīng)向量的坐標(biāo)表達(dá)式：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa 特殊地

4、：特殊地：,zyxOM ,0000zzyyxxMM 三、向量的模(modulus)與方向角模長為模長為1 1的向量，記為的向量，記為|a21MM| | 向量的模（向量的模（大?。┐笮。簡挝幌蛄繂挝幌蛄?unit vector) ：或或21MM0或或0a222zyxaaaa |o xyz 0M M非零向量非零向量 的方向角的方向角(direction angle)：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角. . 、 、 ,0 ,0 .0 yaxaza0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxxaaaa,cos222zyxyaaaa .cos222zyxz

5、aaaa 向量的方向余弦向量的方向余弦1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地特殊地單位向量與方向余弦的關(guān)系為單位向量與方向余弦的關(guān)系為:cos,cos,cos0 a解解設(shè)設(shè)向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 四、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若a babc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）向量的加法符合下

6、列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa(commutativity)(associativity)注：向量的減法注：向量的減法)( baba abb b cba ba ab平行四邊形法則平行四邊形法則c三角形法則三角形法則向量加減法的坐標(biāo)表達(dá)式向量加減法的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa 設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa

7、, 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 二、向量與數(shù)的乘法（數(shù)乘）二、向量與數(shù)的乘法（數(shù)乘）數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa)(baba )(,zyxaaaa ,zyxaaaa 向量與數(shù)的乘法的坐標(biāo)表達(dá)式向量與數(shù)的乘法的坐標(biāo)表達(dá)式|aa 特殊地，一向量與其單位向量的關(guān)系為特殊地，一向量與其單位向量的關(guān)系為0a.0ababa，使是：存在唯一的實數(shù)的充分必要條件平行于那末向量，設(shè)向量兩個向量的平行關(guān)系定理證明證明充分性顯然；充分性顯然；必要性必要

8、性ab設(shè)設(shè),ab 取取取正值，取正值，同向時同向時與與當(dāng)當(dāng) ab取負(fù)值，取負(fù)值，反向時反向時與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即即有有.同同向向與與此此時時ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又設(shè)又設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，例例 2 2 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為為兩兩已已知知點點，而而在在AB直直線線上上的的點點M分分有有向向線線段段AB為為兩兩部部分分AM、MB，使使它它們們的的值值的的比比

9、等等于于某某數(shù)數(shù))1( ，即即 MBAM，求求分分點點的的坐坐標(biāo)標(biāo).ABMxyzo由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為為中中點點時時，,221xxx ,221yyy .221zzz 五、向量的分向量表示式以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.xyzo 0M Mijkyaxaza表示向量在表示向量在x、y、z軸上的投影軸上的投影.kajaiazyx和和，例例 3 3

10、 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的單單位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 例例 4 4 設(shè)設(shè)kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x軸軸上上的的投投影影及及在在y軸軸上上的的分分向向量量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向

11、量為j7.六、小結(jié)向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)向量的模與方向角向量的模與方向角（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）向量的概念向量的概念向量的加減法向量的加減法向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（三角形法則）（三角形法則）（注意數(shù)乘后的方向）（注意數(shù)乘后的方向）向量的分向量表示式向量的分向量表示式思考題思考題思考題思考題1解答解答對角線的長為對角線的長為|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四邊形的對角線的長度各為平行四邊形的對角線的長度各為11, 3.mn思考題思考題2. 已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的對角線的對角線AC,a BDb 試用試用 表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量.ba,思考題思考題2