五章留數(shù)及其應用.docx

1、第五章 留數(shù)及其應用 1. 孤立奇點一 . 孤立奇點的分類1. 孤立奇點的概念定義： 若函數(shù)在點不解讀，但在點的某一去心鄰域內(nèi)處處解讀.則稱為的孤立奇點 .一 . 求下列函數(shù)的奇點，并各奇點是否為孤立奇點.1）2）3） 若有恒成立，則稱為的可去奇點 .1/12( 若有,但對于有恒成立，則稱為的 m 階極點 .(若有,則稱為的本性奇點 .說明 : (1為的洛朗展式，其和函數(shù)為在點解讀的函數(shù) .(2 無論函數(shù)在點是否有定義，補充定義則函數(shù)在點解讀 .3. 孤立奇點的類型的判斷(1 可去奇點的判定方法定理1 設在點的某一鄰域內(nèi)解讀 ,則為的可去奇點的充分必要條件是:.定理1設是的孤立奇點 ,則為的可

2、去2/12奇點的充分必要條件是:在內(nèi)有界 .(2 極點的判定方法結(jié)論：是的 m 階極點的充要條件是:其中在鄰域內(nèi)解讀 ,且.定理2 設在點的某一鄰域內(nèi)解讀,則為的極點的充要條件是 :是的 m 階極點的充要條件是:其中為一確定的非零復常數(shù),m 為正整數(shù) .(3 本性奇點的判定方法定理3 設在點的某一鄰域內(nèi)解讀 ,則為的本性奇點的充要條件是:極限與3/12均不成立 .一 . 判斷下列函數(shù)的奇點的類型：1）2）0,有函數(shù)在無窮遠點的鄰域內(nèi)解讀 ,則稱無窮遠點為的孤立奇點 .設在無窮遠點的鄰域內(nèi)的洛朗展式為那么規(guī)定 :( 若有恒成立，則稱為的可去奇點 .(若有,但對于有恒成立，則稱為的 m 階極點 .

3、(若有,則稱為的本性奇點 .定理 6 設在區(qū)域內(nèi)解讀 ,則為的可去奇點、極點和本性奇點的充要條件分別是 :極限存在、為無窮及即不5/12存在 , 也不是無窮 .一 . 判斷下列函數(shù)的奇點的類型：1）2）3） 設在區(qū)域 D 內(nèi)除有限多個孤立奇點外處處解讀 ,C 是 D 內(nèi)包圍各奇點的任意一條正向簡單閉曲線,那么說明： 留數(shù)定理把計算周線上的積分的整體問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在周線所圍成的區(qū)域內(nèi)的各個孤立奇點處的留數(shù)的局部問題 .例9計算積分.二. 函數(shù)在極點的留數(shù)法則 如果為的簡單極點 ,則Res.7/12例 10 求在各孤立奇點處的留數(shù) .法則 設,其中在點解讀 ,如果為的一階零點 ,則為的一階極點 ,

4、且例11求在的留數(shù).法則 如果為的 m 階極點 ,則Res.例 12 求在孤立奇點 0 處的留數(shù) .例 13 計算積分8/12例 14 計算積分三. 無窮遠點的留數(shù)定義 ： 設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解讀 ,即為函數(shù)的孤立奇點 ,則稱為在的留數(shù) ,記作 Res.定理 8 如果函數(shù)在 z 平面只有有限多個孤立奇點 (包括無窮遠點 ,設為.則在所有孤立奇點處的留數(shù)和為零.法則 (無窮遠點的留數(shù) 若為函數(shù)的孤立奇點 ,則ResRes.例 15求在它各有限奇點的9/12留數(shù)之和 .例 16計算積分其中C 為正向圓周3. 留數(shù)在定積分計算中的應用一. 形如的積分思想方法 :把定積分化為一個復變函數(shù)沿某條周線的積分 .兩個重要工作 :1 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化 , 2 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化 .當從 0 到時 ,z 沿單位圓的正向繞行一周 .例17計算10/12的值 .二. 形如的積分設為復函數(shù)的實值形式 ,其中滿足條件 :(1。(2在實軸上無零點。(3在上半平面內(nèi)只有有限多個孤立奇點則有=.例 18 計算積分三. 形如的積分定理 9(若當引理 設函數(shù)在閉區(qū)域 :上連續(xù) ,并設是該閉區(qū)域上一段以原點為中心,以為半徑的圓弧 .若在該閉區(qū)域上有11/12,則對任何 a0,有.由若當引理可知 :.其中為真分式在上半平