【精品推薦】球面幾何 選修3-3 1.1球面的基本性質(zhì)

1、導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課 球面是我們非常熟悉的一個(gè)曲面，在我們球面是我們非常熟悉的一個(gè)曲面，在我們生活中幾乎隨處都有它的影子生活中幾乎隨處都有它的影子.籃球籃球地球地球高爾夫球高爾夫球 從表面上看，你可能覺得球面是一個(gè)比較從表面上看，你可能覺得球面是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的幾何圖形簡(jiǎn)單的幾何圖形. 然而，事實(shí)并非如此，球面有然而，事實(shí)并非如此，球面有許多獨(dú)特而有趣的性質(zhì)許多獨(dú)特而有趣的性質(zhì). 事實(shí)上，球面作為空間中最完美的圖形之事實(shí)上，球面作為空間中最完美的圖形之一，具有很強(qiáng)的對(duì)稱性，所以能給我們帶來強(qiáng)一，具有很強(qiáng)的對(duì)稱性，所以能給我們帶來強(qiáng)烈的視覺美感烈的視覺美感.1.1 球面的基本性質(zhì)球面的基本性質(zhì) 教學(xué)目

2、標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】【知識(shí)與能力】在回顧圓的知識(shí)的基礎(chǔ)上，充分理解球在回顧圓的知識(shí)的基礎(chǔ)上，充分理解球面的定義和概念面的定義和概念.熟悉球面的對(duì)稱性，理解中心對(duì)稱圖形、熟悉球面的對(duì)稱性，理解中心對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形的、鏡面對(duì)稱圖形、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱圖形的、鏡面對(duì)稱圖形、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)圖形的性質(zhì). 【過程和方法】【過程和方法】觀察身邊的事物，討論球面在生活中的觀察身邊的事物，討論球面在生活中的應(yīng)用，認(rèn)識(shí)研究球面的重要意義應(yīng)用，認(rèn)識(shí)研究球面的重要意義.通過實(shí)例和應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)來掌握通過實(shí)例和應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)來掌握球面，球面對(duì)稱性球面，球面對(duì)稱性. 【情感態(tài)度與價(jià)值觀】【情感態(tài)度與價(jià)值

3、觀】培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，能通過身邊常見培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，能通過身邊常見事物理解球面的重要性質(zhì)事物理解球面的重要性質(zhì).能利用計(jì)算機(jī)作為輔助學(xué)習(xí)的工具，探能利用計(jì)算機(jī)作為輔助學(xué)習(xí)的工具，探索球面的對(duì)稱性，深化對(duì)知識(shí)的理解索球面的對(duì)稱性，深化對(duì)知識(shí)的理解.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn) 球面的定義、概念，理解球面的對(duì)稱球面的定義、概念，理解球面的對(duì)稱性性.難點(diǎn)難點(diǎn) 掌握球面的中心對(duì)稱性、軸對(duì)稱性、掌握球面的中心對(duì)稱性、軸對(duì)稱性、鏡面對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性鏡面對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容知識(shí)回顧知識(shí)回顧 我們都已經(jīng)學(xué)過，畫一條線段，以線段長為我們都已經(jīng)學(xué)過，畫一條線段，以線段長為半徑，以一端點(diǎn)為圓

4、心畫弧繞半徑，以一端點(diǎn)為圓心畫弧繞360度后得到圓度后得到圓. 同樣，由圓的對(duì)稱性可知圓是軸對(duì)稱圖形，同樣，由圓的對(duì)稱性可知圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條通過圓心的直線其對(duì)稱軸是任意一條通過圓心的直線.圓也是中心圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心. OA對(duì)稱軸對(duì)稱軸 l空間中與一定點(diǎn)的距離為定值的動(dòng)點(diǎn)的集合空間中與一定點(diǎn)的距離為定值的動(dòng)點(diǎn)的集合稱為球面稱為球面.定點(diǎn)稱為定點(diǎn)稱為球心球心，定距離稱為，定距離稱為半徑半徑.球面所包圍的立體稱為球面所包圍的立體稱為球體球體，簡(jiǎn)稱球，簡(jiǎn)稱球. 球面也可以看成是球面也可以看成是由半圓繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)一由半圓繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)

5、一周周所形成的曲面所形成的曲面.球面球面AOl1.球面是中心對(duì)稱圖形球面是中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形定義：中心對(duì)稱圖形定義： 在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)180度度，旋轉(zhuǎn)后的圖形，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合能和原圖形完全重合，那，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形. 中心對(duì)稱圖形上每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連成的線段中心對(duì)稱圖形上每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連成的線段都都被對(duì)稱中心平分被對(duì)稱中心平分. 矩形，菱形，正方形，平行四邊形，圓，矩形，菱形，正方形，平行四邊形，圓，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形，某些不規(guī)則圖形等邊數(shù)為偶

6、數(shù)的正多邊形，某些不規(guī)則圖形等. 常見的中心對(duì)稱圖形有：常見的中心對(duì)稱圖形有： 球面是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)閷?duì)于球面上任球面是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)閷?duì)于球面上任意一點(diǎn)意一點(diǎn) A，假設(shè)它關(guān)于球心的對(duì)稱點(diǎn)為，假設(shè)它關(guān)于球心的對(duì)稱點(diǎn)為A ，則，則由由 A和和 A到球心的距離相等可知，點(diǎn)到球心的距離相等可知，點(diǎn) A 到球心到球心的距離等于半徑，即點(diǎn)的距離等于半徑，即點(diǎn) A 一定在這個(gè)球面上一定在這個(gè)球面上. 以此我們可以知道球面是中心對(duì)稱圖形以此我們可以知道球面是中心對(duì)稱圖形.AAAOl2.球面是軸對(duì)稱圖形球面是軸對(duì)稱圖形 如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這

7、樣的圖形叫做全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形，這條直線，這條直線叫做叫做對(duì)稱軸對(duì)稱軸. 這時(shí)這時(shí),我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱. 例如等腰三角形、正方形、等邊三角形、等例如等腰三角形、正方形、等邊三角形、等腰梯形、圓和正多邊形都是軸對(duì)稱圖形腰梯形、圓和正多邊形都是軸對(duì)稱圖形.有的軸有的軸對(duì)稱圖形有不止一條對(duì)稱軸，但軸對(duì)稱圖形最少對(duì)稱圖形有不止一條對(duì)稱軸，但軸對(duì)稱圖形最少有一條對(duì)稱軸有一條對(duì)稱軸. 軸對(duì)稱軸對(duì)稱我國古代建筑很多都是軸對(duì)稱的我國古代建筑很多都是軸對(duì)稱的民間剪紙多采用軸對(duì)稱民間剪紙多采用軸對(duì)稱 同樣，球面也是軸對(duì)稱圖形，任意一條通過同樣，

8、球面也是軸對(duì)稱圖形，任意一條通過球心球心O的直線都是對(duì)稱軸的直線都是對(duì)稱軸. 如圖，如圖，l 是通過球心是通過球心 O的任意一條直線，對(duì)的任意一條直線，對(duì)于球面上任意一點(diǎn)于球面上任意一點(diǎn) A，設(shè)它關(guān)于直線設(shè)它關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為 A/ ，此時(shí)此時(shí)l是線段是線段 AA/ 的垂直平分線的垂直平分線.又球心又球心 O在直線在直線 l上，因此上，因此 OA/ = OA，則可知?jiǎng)t可知 A/ 一一定在定在這個(gè)球面上這個(gè)球面上.AA/A/Ol3.球面是鏡面對(duì)稱圖形球面是鏡面對(duì)稱圖形 我們每天都照鏡子，鏡中我們每天都照鏡子，鏡中的我們和自己完全一樣，只是的我們和自己完全一樣，只是左右方向相反左右方向

9、相反. 同樣，所謂同樣，所謂鏡面對(duì)稱圖形鏡面對(duì)稱圖形就是該圖形能關(guān)于就是該圖形能關(guān)于某個(gè)平面對(duì)稱，而這個(gè)面就稱為它的對(duì)稱面某個(gè)平面對(duì)稱，而這個(gè)面就稱為它的對(duì)稱面. 在日常生活中，我們?cè)谌粘Ｉ钪?，我們也常?yīng)用鏡面對(duì)稱，如音也常應(yīng)用鏡面對(duì)稱，如音箱的擺放箱的擺放. 類似的，我們也可以證明，球面是鏡面類似的，我們也可以證明，球面是鏡面對(duì)稱圖形，通過球心對(duì)稱圖形，通過球心O的任意一個(gè)平面都是球的任意一個(gè)平面都是球面的對(duì)稱面面的對(duì)稱面.O4.球面是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形球面是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形 把一個(gè)圖形繞著把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度一個(gè)角度后，后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，與初始

10、圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角.（ 0度度 旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角360度）度）.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段、正多邊形、平行四邊形、圓等線段、正多邊形、平行四邊形、圓等.（注：所有的中心對(duì)稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形）（注：所有的中心對(duì)稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形） 海豹將球頂在頭海豹將球頂在頭上旋轉(zhuǎn)，在此過程中，上旋轉(zhuǎn)，在此過程中，球面始終與初始球面球面始終與初始球面旋轉(zhuǎn)對(duì)稱旋轉(zhuǎn)對(duì)稱. 如圖我們可以知道，如果如圖我們可以知道，如果 l 是通過球心是通過球心 O的任意一

11、條直線，則球面繞的任意一條直線，則球面繞 l 旋轉(zhuǎn)任意角度都旋轉(zhuǎn)任意角度都會(huì)與自身重合會(huì)與自身重合.OlO探索球的對(duì)稱性探索球的對(duì)稱性 通過一些計(jì)算機(jī)軟件，通過一些計(jì)算機(jī)軟件，如幾何畫板，我們可以進(jìn)行如幾何畫板，我們可以進(jìn)行一些有趣的試驗(yàn)，來進(jìn)一步一些有趣的試驗(yàn)，來進(jìn)一步探索球的對(duì)稱性，深化對(duì)球探索球的對(duì)稱性，深化對(duì)球面性質(zhì)的理解面性質(zhì)的理解.課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.球面是中心對(duì)稱圖形：球面是中心對(duì)稱圖形： 球面繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)球面繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖形度后能與原圖形完全重合完全重合.2.球面是軸對(duì)稱圖形：球面是軸對(duì)稱圖形： 球面沿著任意一條通過球心的直線對(duì)球面沿著任意一條通過球心的直線對(duì)折

12、后兩部分完全重合折后兩部分完全重合.3.球面是鏡面對(duì)稱圖形：球面是鏡面對(duì)稱圖形： 球面關(guān)于通過球心球面關(guān)于通過球心O的任意一個(gè)平的任意一個(gè)平面對(duì)稱面對(duì)稱.4.球面是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：球面是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形： 即球面繞通過球心即球面繞通過球心 O的任意一條直線的任意一條直線旋轉(zhuǎn)任意角度都會(huì)與自身重合旋轉(zhuǎn)任意角度都會(huì)與自身重合. (09全國卷全國卷) 直三棱柱直三棱柱 ABC - A1 B1 C1 的各頂點(diǎn)的各頂點(diǎn) 都在同一球面上，若都在同一球面上，若 AB = AC = AA1= 2， BAC = 120則此球的表面積等于則此球的表面積等于 .高考鏈接高考鏈接解解: 在在 ABC 中中 AB=AC=2，

13、BAC= 120，可得，可得 BC=2 3,由正弦定理由正弦定理,可得可得ABC 外接圓半徑外接圓半徑 r=2，設(shè)此圓圓心為設(shè)此圓圓心為O，球心為，球心為O ,在在RT OBO中，易得球半徑中，易得球半徑R= 5，故此球的表面，故此球的表面 積為積為4R2=202.（09湖南卷）在半徑為湖南卷）在半徑為13的球面上有的球面上有A , B, C 三三 點(diǎn)，點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則，則（1）球心到平面）球心到平面ABC的距離為的距離為_；（2）過，）過，B兩點(diǎn)的大圓面為平面兩點(diǎn)的大圓面為平面ABC所成二面所成二面 角為（銳角）的正切值為角為（銳角）的正切值為_.答案答案:（1）12；

14、（；（2）3解析解析:（1）由）由ABC 的三邊大小易知此三角形是的三邊大小易知此三角形是. 直角三角形，所以過三點(diǎn)小圓的直徑即為直角三角形，所以過三點(diǎn)小圓的直徑即為 10，也即半徑是，也即半徑是 5，設(shè)球心到小圓的距離，設(shè)球心到小圓的距離 是是 d ，則由，則由 d2+52=132 ，可得，可得d=12 .（2）設(shè)過）設(shè)過ABC三點(diǎn)的截面圓的圓心是三點(diǎn)的截面圓的圓心是O , AB中點(diǎn)是中點(diǎn)是 D點(diǎn)，球心是點(diǎn)，球心是O點(diǎn)，則連三角形點(diǎn)，則連三角形O1OD ，易知，易知 ODO1就是所求的二面角的一個(gè)平面角，就是所求的二面角的一個(gè)平面角， O1D= OA2 ( )2 = 4 ，所以，所以 ODO

15、1 = = =3 ，即正切值是，即正切值是 3. 2AB124OO1O1D3（09陜西卷）如圖球陜西卷）如圖球O的半徑為的半徑為2，圓，圓O1是一是一 小圓，小圓，O1O = 2 ，A.B是圓是圓O1上兩點(diǎn)，若上兩點(diǎn)，若 AO1B = ，則，則 A , B兩點(diǎn)間的球面距離為兩點(diǎn)間的球面距離為 _.1OABOp p2解析解析:由由O1O= 2 , OA=OB=2 ,由勾股定理在圓由勾股定理在圓O1 中則有中則有O1 A = OB = 2 , 又又AO1 B = 則則 AB=2所以在所以在 AOB中中，OA = OB = AB = 2 則則AOB為等邊三角形，那么為等邊三角形，那么AO1 B =

16、60由弧長公式由弧長公式 L= r q (r為半徑為半徑)得得 A,B兩點(diǎn)間的球面距離兩點(diǎn)間的球面距離l AB= r q =p p232p2p課堂練習(xí)課堂練習(xí)1. 下列圖形不是旋轉(zhuǎn)圖形的是（下列圖形不是旋轉(zhuǎn)圖形的是（ ）2. 如圖，有四個(gè)圖案都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，其中如圖，有四個(gè)圖案都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，其中有一個(gè)圖案與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的度數(shù)不同，有一個(gè)圖案與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的度數(shù)不同，它是（它是（ ）C. 等邊三角形等邊三角形 D.圓圓A. 線段線段 B. 等腰三角形等腰三角形BB3. 如圖所示，繞其圖形中心旋轉(zhuǎn)如圖所示，繞其圖形中心旋轉(zhuǎn)90不能和自不能和自身重合的是（身重合的是（ ）4. 如圖地板磚旋轉(zhuǎn)（如圖地板磚旋轉(zhuǎn)（ ）角后與自身重合）角后與自身重合A. 90B. 45C. 60D. 30BA5. 下列圖形中是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)下列圖形中是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的有（稱圖形的有（ ）A. 1個(gè)個(gè) B. 2個(gè)個(gè) C. 3個(gè)個(gè) D. 4個(gè)個(gè)C（1）這個(gè)圖案可以看成正方形）這個(gè)圖案可以看成正方形