強度、剛度、穩(wěn)定性

1、彎曲應力與強度計算彎曲應力與強度計算1 1 梁彎曲時橫截面上的正應力梁彎曲時橫截面上的正應力 2 2 彎曲切應力彎曲切應力 3 3 梁的強度計算梁的強度計算 4 4 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施 橫彎曲和純彎曲橫彎曲和純彎曲102平面彎曲時梁的橫截面上有兩平面彎曲時梁的橫截面上有兩個內(nèi)力分量：彎矩和剪力。個內(nèi)力分量：彎矩和剪力。例如：例如：AC和和DB段。段。梁在垂直梁在垂直梁軸線的橫向力作用下，梁軸線的橫向力作用下，橫截橫截面將同時產(chǎn)生彎矩和剪力面將同時產(chǎn)生彎矩和剪力。這。這種彎曲種彎曲稱為稱為橫力彎曲簡稱橫彎橫力彎曲簡稱橫彎曲曲。 例如：例如：CD段。段。梁在垂直梁軸梁在垂直梁軸線

2、的橫向力作用下，線的橫向力作用下，橫截面上橫截面上只有彎矩沒有剪力。只有彎矩沒有剪力。稱為稱為純彎純彎曲。曲。 中性軸：中性軸：中性層與梁的橫截面的交線。中性層與梁的橫截面的交線。 垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。中性軸的概念中性軸的概念103設想梁由平行于軸線的眾多縱向設想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維組成，彎曲時一側(cè)縱向纖維纖維組成，彎曲時一側(cè)縱向纖維伸長，一側(cè)縱向纖維縮短，總有伸長，一側(cè)縱向纖維縮短，總有一層既不伸長也不縮短，稱為一層既不伸長也不縮短，稱為中中性層：性層：純彎曲的基本假設：純彎曲的基本假設：103純彎曲的基本假設：純彎曲的基本假設：平面假設：平面假設：梁的橫截面

3、在彎曲變形后仍然保持平面，且與變形后梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過了一個角度。的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過了一個角度。單向受力假設：單向受力假設：各縱向纖維之間相互不擠壓。各縱向纖維之間相互不擠壓。橫向線橫向線( (mm、nn): ): 仍保持為直線，仍保持為直線，發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，仍與弧線垂直。發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，仍與弧線垂直。實驗觀察變形實驗觀察變形縱向線縱向線( (aa、bb) )：變?yōu)榛【€，凹側(cè)變?yōu)榛【€，凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長?？s短，凸側(cè)伸長。直接導出彎曲正應力直接導出彎曲正應力梁橫截面上的彎矩梁橫截面上的彎矩彎曲正應力公式的推導彎曲正

4、應力公式的推導103-105103-105 彎曲梁的橫截面上彎曲梁的橫截面上正應力正應力l變形的幾何關(guān)系變形的幾何關(guān)系l物理關(guān)系物理關(guān)系l靜力關(guān)系靜力關(guān)系 橫力彎曲時橫截面上的正應力橫力彎曲時橫截面上的正應力在工程實際中，一般都是橫力彎曲，此時，梁的橫截面上不在工程實際中，一般都是橫力彎曲，此時，梁的橫截面上不但有正應力還有剪應力。因此，梁在純彎曲時所作的平面假設和但有正應力還有剪應力。因此，梁在純彎曲時所作的平面假設和各縱向纖維之間無擠壓的假設都不成立。各縱向纖維之間無擠壓的假設都不成立。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應用純彎曲時正雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應用純彎曲時正

5、應力計算公式來計算橫力彎曲時的正應力，所得結(jié)果誤差不大，應力計算公式來計算橫力彎曲時的正應力，所得結(jié)果誤差不大，足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其誤差越小。越大，其誤差越小。 彎曲時橫截面上的正應力彎曲時橫截面上的正應力105 MZ: 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩y: 所求應力點到中性軸的距離所求應力點到中性軸的距離IZ: 截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩dxmmnnozyo中性軸dAWz 稱為稱為抗彎截面系數(shù)?？箯澖孛嫦禂?shù)。它與它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。zIyMmaxmaxmax maxy

6、IWzzzWMmaxmaxP105橫力彎曲時，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，橫力彎曲時，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應最大正應力力 發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠處。發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠處。即即 max引用記號引用記號 則則 對于寬為對于寬為 b ，高為，高為 h 的矩形截面的矩形截面maxyIWzz對于直徑為對于直徑為 D 的圓形截面的圓形截面maxyIWzz對于內(nèi)外徑分別為對于內(nèi)外徑分別為 d 、D 的空心圓截面的空心圓截面maxyIWzz2/12/3hbh62bh2/64/4DD323D2/64/ )1 (44DD)1 (3243D抗彎截面系數(shù)抗彎截

7、面系數(shù)106如果梁的最大工作應力，不超過材料的許用彎曲應力，梁就如果梁的最大工作應力，不超過材料的許用彎曲應力，梁就是安全的。因此，梁彎曲時的正應力強度條件為是安全的。因此，梁彎曲時的正應力強度條件為 zWMmaxmax對于抗拉和抗壓強度相等的材料對于抗拉和抗壓強度相等的材料 ( (如炭鋼如炭鋼) )，只要絕對值最大，只要絕對值最大的正應力不超過許用彎曲應力即可。的正應力不超過許用彎曲應力即可。對于抗拉和抗壓不等的材料對于抗拉和抗壓不等的材料 ( (如鑄鐵如鑄鐵) )，則最大的拉應力和最，則最大的拉應力和最大的壓應力分別不超過各自的許用彎曲應力。大的壓應力分別不超過各自的許用彎曲應力。1. 矩

8、形截面梁的彎曲切應力矩形截面梁的彎曲切應力109y =0，即中性軸上各點處：即中性軸上各點處： ，2hy0bhFQmax23即橫截面上、下邊緣各點處：即橫截面上、下邊緣各點處： AFQ23*zZQSI bmaxbzyA2h2hy0y常見梁橫截面上的最大剪應力常見梁橫截面上的最大剪應力（1）矩形截面梁）矩形截面梁AQ23max（2）工字形截面梁）工字形截面梁dhQ1max （3）圓截面梁）圓截面梁AQ34max h1_腹板的高度腹板的高度d_腹板的寬度腹板的寬度（4）空心圓截面梁）空心圓截面梁AQ2max 2. 工字形截面梁的彎曲切應力工字形截面梁的彎曲切應力111 腹板上的切應力腹板上的切應力

9、 bSzIzFmax Qmax為腹板厚度b可查表maxSzIzbhFQmax可近似寫為在在y =0處處，即中性軸上各點處：，即中性軸上各點處： 2max maxQ34RFyAFQ343. 圓形截面梁的彎曲剪應力圓形截面梁的彎曲剪應力1104. 薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應力薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應力110 因為薄壁圓環(huán)的壁厚因為薄壁圓環(huán)的壁厚 t 遠小于平均半徑遠小于平均半徑 R ，故可以認為剪應力，故可以認為剪應力 沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。最大剪應力仍發(fā)生在中性軸上，其值為最大剪應力仍發(fā)生在中性軸上，其值為 AFQ*2max max滿足彎曲正應力強度條

10、件的梁，一般都能滿足剪應力的強滿足彎曲正應力強度條件的梁，一般都能滿足剪應力的強度條件。因而可不對切應力進行強度校核度條件。因而可不對切應力進行強度校核 梁的強度條件梁的強度條件1151 1、梁的正應力強度條件：、梁的正應力強度條件：2 2、梁的切應力強度條件：、梁的切應力強度條件：必須進行剪應力的強度校核的情況：必須進行剪應力的強度校核的情況： (1) (1) 梁的跨度較短，或在支座附近作用梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷較大的載荷；以致梁；以致梁的彎矩較小，而剪力很大。的彎矩較小，而剪力很大。 (2) (2) 焊接或鉚接的焊接或鉚接的工字梁工字梁，如果，如果腹板較薄而截面高度很大，

11、腹板較薄而截面高度很大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應比值以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應比值，這時，對腹板應進，這時，對腹板應進行剪應力強度校核。行剪應力強度校核。(3) (3) 經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般，一般需對焊縫、鉚需對焊縫、鉚釘或膠合面釘或膠合面進行剪應力強度校核。進行剪應力強度校核。按強度條件設計梁時，強度條件按強度條件設計梁時，強度條件 WMmaxmax可解決三方面問題：可解決三方面問題：（1）強度校核強度校核；（2）設計截面尺寸設計截面尺寸；（3）計算許可載荷。計算許可載荷。 按強度條件設計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應力強度條件按

12、強度條件設計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應力強度條件 WMmaxmax由上式可見，要提高梁的彎曲強度，即降低最大正應力，可以從由上式可見，要提高梁的彎曲強度，即降低最大正應力，可以從兩個方面來考慮，兩個方面來考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩 Mmax 的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高抗彎截面系數(shù)的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高抗彎截面系數(shù)W 的數(shù)值。充分利用材料的性能。的數(shù)值。充分利用材料的性能。 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施119119 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施 一、一、 合理安排梁的受力情況合理安排梁的受力

13、情況合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。從合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。從而提高梁的強度而提高梁的強度 1、使集中力分散、使集中力分散二、二、 合理選擇截面合理選擇截面當彎矩值一定時，橫截面上的最大正應力與彎曲截面系數(shù)成當彎矩值一定時，橫截面上的最大正應力與彎曲截面系數(shù)成反比，即彎曲截面系數(shù)反比，即彎曲截面系數(shù)W，越大越好。另一方面，橫截面面積越小，越大越好。另一方面，橫截面面積越小，梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積A，越小越好。，越小越好。因此，因此，合理的橫截面形狀應該是截面面積合理的橫截面形狀應該是截面面積 A

14、 較小，而彎曲截較小，而彎曲截面系數(shù)面系數(shù) W 較大。較大。我們可以我們可以用比值用比值 來衡量截面形狀的合理性。來衡量截面形狀的合理性。所以，所以，AW對抗拉和抗壓強度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對抗拉和抗壓強度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對稱軸的截面對稱軸的截面，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。 另外，另外，截面是否合理，還應考慮材料的特性。截面是否合理，還應考慮材料的特性。對抗拉和抗壓強度不相等的材料制成的梁，由于抗壓能力強對抗拉和抗壓強度不相等的材料制成的梁，由于抗壓能力強于抗拉能力，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面。于抗拉能

15、力，宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面。 對這類截面，應使最大拉應力和最大壓應力同時接近材料的對這類截面，應使最大拉應力和最大壓應力同時接近材料的許用拉應力和許用壓應力。許用拉應力和許用壓應力。三、合理設計梁的外形三、合理設計梁的外形（等強度梁）（等強度梁）在一般情況下，梁的彎矩沿軸線是變化的。因此，在一般情況下，梁的彎矩沿軸線是變化的。因此，在按最大在按最大彎矩所設計的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面彎矩所設計的等截面梁中，除最大彎矩所在的截面外，其余截面的材料強度均未能得到充分利用。的材料強度均未能得到充分利用。為了減輕梁的自重和節(jié)省材料，常常根據(jù)彎矩的變化情況，為了減輕梁的自重和

16、節(jié)省材料，常常根據(jù)彎矩的變化情況，將梁設計成變截面將梁設計成變截面的。的。在彎矩較大處，采用較大的截面；在彎矩在彎矩較大處，采用較大的截面；在彎矩較小處，采用較小的截面。較小處，采用較小的截面。這種截面沿軸線變化的梁，稱為這種截面沿軸線變化的梁，稱為變截面梁變截面梁。例如：階梯軸、。例如：階梯軸、魚腹梁等。魚腹梁等。從彎曲強度考慮，理想的變截面梁應該使所有截面上的最大從彎曲強度考慮，理想的變截面梁應該使所有截面上的最大彎曲正應力均相同，且等于許用應力，即彎曲正應力均相同，且等于許用應力，即 )()(maxxWxM這種梁稱為這種梁稱為等強度梁等強度梁。 2 2、梁的剛度計算、梁的剛度計算彎曲變形

17、與剛度彎曲變形與剛度 1 1、彎曲變形的基本概念、彎曲變形的基本概念3 3、提高梁剛度的措施、提高梁剛度的措施彎曲變形問題彎曲變形問題126126 1 1、彎曲變形的基本概念、彎曲變形的基本概念工程中梁的變形和位移都是彈性的，工程中梁的變形和位移都是彈性的，但設計中，但設計中，對于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的彈性變形和位移變形都有一對于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的彈性變形和位移變形都有一定的限制。定的限制。彈性變形和位移過大都會使結(jié)構(gòu)或彈性變形和位移過大都會使結(jié)構(gòu)或構(gòu)件喪失正常功能，即發(fā)生剛度失效。構(gòu)件喪失正常功能，即發(fā)生剛度失效。 彎曲構(gòu)件除了要滿彎曲構(gòu)件除了要滿足強度條件外足強度條件外, , 還需滿還需滿足剛度條件。如車

18、床主足剛度條件。如車床主軸的變形過大會引起加軸的變形過大會引起加工零件的誤差。工零件的誤差。 車間內(nèi)的吊車梁若車間內(nèi)的吊車梁若變形過大，將使吊車梁變形過大，將使吊車梁上的小車行走困難，出上的小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象?，F(xiàn)爬坡現(xiàn)象。彎曲變形問題彎曲變形問題 1 1、彎曲變形的基本概念、彎曲變形的基本概念工程設計中還會有另外一種變形問題，所考慮的不是限制構(gòu)件的彈性變形和位移，而是希望在構(gòu)件不發(fā)生強度失效的前提下，盡量產(chǎn)生較大的彈性變形。 汽車車架處的鋼板彈簧應有較大的變汽車車架處的鋼板彈簧應有較大的變形，才能更好地緩沖減振。形，才能更好地緩沖減振。 PAByx1、撓度、撓度：橫截面形心沿垂直橫截面

19、形心沿垂直于軸線方向的位移。于軸線方向的位移。x 2. 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的：變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。角度。 w=w(x)稱為撓度方程。稱為撓度方程。3、軸向位移：、軸向位移：梁變形后，橫截面形心將產(chǎn)生水平方向位移，梁變形后，橫截面形心將產(chǎn)生水平方向位移，稱為軸向位移或水平位移，用稱為軸向位移或水平位移，用u表示。但在小變形表示。但在小變形條件下，條件下，通常不考慮。通常不考慮。 xddtan tan xdd 撓曲線撓曲線 梁的變形計算梁的變形計算-積分法積分法127EIxMx)(2 d dd d2 2 撓曲線近似微分方程：撓曲線近似

20、微分方程：C、D 積分常數(shù)；由積分常數(shù)；由邊界條件邊界條件和和連續(xù)性條件連續(xù)性條件確定。確定。若為等截面直梁若為等截面直梁, 其抗彎剛度其抗彎剛度EI為一常量為一常量, 上式可改寫成：上式可改寫成：)( xMEI 上式積分一次得上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：再積分一次再積分一次, 得得撓度方程：撓度方程：CdxxMEIEI )( DCxdxdxxMEI )( 34條件條件：由于梁的變形微小由于梁的變形微小, , 梁變形后其跨長的梁變形后其跨長的改變可略去不計改變可略去不計, , 且且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作工作, , 因而梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的因而梁的撓度和

21、轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。載荷成線性關(guān)系。 在這種情況下在這種情況下, , 梁在幾項載荷梁在幾項載荷 ( (如集中力、集如集中力、集中力偶或分布力中力偶或分布力) )同時作用下某一橫截面的撓度和同時作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角, , 就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加度和轉(zhuǎn)角的疊加，此即為，此即為疊加原理疊加原理。35 梁的變形計算梁的變形計算-疊加法疊加法P133 梁的剛度計算梁的剛度計算1362 設計截面設計截面3 確定許可載荷確定許可載荷 1 剛度校核剛度校核一、剛度條件：一、剛度條件：max max二、應用三種剛度計

22、算：二、應用三種剛度計算：提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施138提高梁的剛度主要指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅和提高梁的剛度主要指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅和荷載有關(guān)，還和桿長和梁的彎曲剛度荷載有關(guān)，還和桿長和梁的彎曲剛度EI有關(guān)，以有關(guān)，以P132表表10-1中中2懸臂梁為例，懸臂梁為例，可以通過以下措施提高梁的剛度可以通過以下措施提高梁的剛度EIFplEIFplw232max3max轉(zhuǎn)角撓度提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施提高梁的剛度主要指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅和提高梁的剛度主要指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅和荷載有關(guān)，還和桿長和梁的彎曲剛度荷載有關(guān)，還和桿

23、長和梁的彎曲剛度EI有關(guān)，以有關(guān)，以P132表表10-1中中2懸臂梁為例，懸臂梁為例，可以通過以下措施提高梁的剛度可以通過以下措施提高梁的剛度EIFplEIFplw232max3max轉(zhuǎn)角撓度提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施1 1、減小梁的跨度，當梁的長度無法減小時，增加中間支座；、減小梁的跨度，當梁的長度無法減小時，增加中間支座；2 2、選擇合理的截面增加慣性矩、選擇合理的截面增加慣性矩I IEIFplEIFplw232max3max轉(zhuǎn)角撓度409-1目錄構(gòu)件的承載能力構(gòu)件的承載能力強度強度剛度剛度穩(wěn)定性穩(wěn)定性 工程中有些構(gòu)件具有足夠的強度、剛度，工程中有些構(gòu)件具有足夠的強度、剛度，卻不

24、一定能安全可靠地工作。卻不一定能安全可靠地工作。41 當當F F小于某一臨界值小于某一臨界值F Fcrcr，撤去軸向力后，桿的軸線將撤去軸向力后，桿的軸線將恢復其原來的直線平衡形態(tài)（圖恢復其原來的直線平衡形態(tài)（圖 b b），），則稱原來的平衡狀則稱原來的平衡狀態(tài)態(tài)的是的是。FFQ(a)crFF crFF (b)當當F F增大到一定的臨界值增大到一定的臨界值 F Fcrcr，撤去軸向力后，桿的軸線將撤去軸向力后，桿的軸線將保持彎曲的平衡形態(tài)，而不再恢復其原來的直線平衡形態(tài)保持彎曲的平衡形態(tài)，而不再恢復其原來的直線平衡形態(tài)（圖（圖 c c），），則稱原來的平衡狀態(tài)則稱原來的平衡狀態(tài)的是的是FFQ(

25、a)crFF crFF (b)crFF crFF (c)目錄穩(wěn)定的平衡狀態(tài)和不穩(wěn)定狀態(tài)之間的分界點稱為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)和不穩(wěn)定狀態(tài)之間的分界點稱為臨界點臨界點，臨界點對，臨界點對應的載荷稱為應的載荷稱為臨界荷載。用臨界荷載。用FpFpcrcr表示表示。 壓桿從直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變壓桿從直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问狡胶鉅顟B(tài)的過程稱為為其他形式平衡狀態(tài)的過程稱為稱為稱為喪失穩(wěn)定喪失穩(wěn)定，簡稱，簡稱失穩(wěn)失穩(wěn)，也稱，也稱屈屈曲，屈曲失效具有突發(fā)性，在設計時需要認真考慮。曲，屈曲失效具有突發(fā)性，在設計時需要認真考慮。FFQ(a)crFF crFF (b)crFF crFF (c)()(xwFxM22d)(d)(

26、xxwEIxMEIFk20)()(222xwkdxxwdEIFk20)()(222xwkdxxwdkxCkxCxwcossin)(210)()0(lww0sin, 012klCC0sin, 012klCCkxCkxCxwcossin)(210sinklnkl ,.)2 , 1 , 0(nlnkEIFk2兩端鉸支兩端鉸支一端固定一端自由一端固定一端自由兩端固定兩端固定一端固定一端鉸支一端固定一端鉸支歐拉公式歐拉公式22crcr22()FEIEAlAl i則則引入壓桿引入壓桿長細比長細比或或柔度柔度式中，式中， 為為壓桿橫截面對中性軸的壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑慣性半徑。iI A 壓桿的臨界應力

27、及臨界應力總圖壓桿的臨界應力及臨界應力總圖一、細長壓桿的一、細長壓桿的臨界應力臨界應力1852crp2E即 2pppEE或 O p p cr歐拉臨界應力曲線歐拉臨界應力曲線 通常稱通常稱 p的壓桿為的壓桿為大柔度桿大柔度桿或或細長桿細長桿。歐拉公式的應用范圍：歐拉公式的應用范圍： 如如果壓桿的柔度果壓桿的柔度 p ，則臨界應力，則臨界應力 cr大于材料的大于材料的極限應力極限應力 p，此時歐拉公式不再適用。此時歐拉公式不再適用。對于這類壓桿，通對于這類壓桿，通常采用以試驗結(jié)果為基礎(chǔ)的常采用以試驗結(jié)果為基礎(chǔ)的經(jīng)驗公式來計算其臨界應力。經(jīng)驗公式來計算其臨界應力。1） s p 中柔度桿或中長桿中柔度桿或中長桿公式公式 式中，式中，a和和b是與材料力學性能有關(guān)的常數(shù)，一些常用材料是與材料力學性能有關(guān)的常數(shù)，一些常用材料的的a和和b值見下表。值見下表。二、中長桿和粗短桿的臨界應力計算二、中長桿