信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析1第 2 章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析2 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸納為連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸納為。 由于在分析過(guò)程中涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間由于在分析過(guò)程中涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t ，故又稱為故又稱為。這種方法直觀，物理概念。這種方法直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。 兩種時(shí)域分析方法：兩種時(shí)域分析方法：是解一元是解一元 n 階微分方程，階微分方程，解解n元一階微分方程。元一階微分方程。2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析3系統(tǒng)時(shí)域分

2、析的過(guò)程系統(tǒng)時(shí)域分析的過(guò)程 一般根據(jù)系統(tǒng)特性列寫方程，主要根據(jù)一般根據(jù)系統(tǒng)特性列寫方程，主要根據(jù)元件的約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束。解方程的方法元件的約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束。解方程的方法主要是數(shù)學(xué)中所學(xué)的方法主要是數(shù)學(xué)中所學(xué)的方法經(jīng)典法、雙零法經(jīng)典法、雙零法和和。零輸入響應(yīng)可以用經(jīng)典法求，。零輸入響應(yīng)可以用經(jīng)典法求，因?yàn)樗墙恺R次方程，而零狀態(tài)響應(yīng)可以用因?yàn)樗墙恺R次方程，而零狀態(tài)響應(yīng)可以用求解求解。2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析4本章重點(diǎn)和難點(diǎn)本章重點(diǎn)和難點(diǎn)v線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解v沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 的求法的求法v卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)v零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)與沖激響應(yīng)的

3、卷積零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)與沖激響應(yīng)的卷積)(th2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析5 一、微分方程的建立一、微分方程的建立 微分方程的列寫即物理模型的建立。描述系微分方程的列寫即物理模型的建立。描述系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是學(xué)模型是。對(duì)于電系統(tǒng)，列。對(duì)于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面：寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面： 1. 1. 元件特性約束元件特性約束VARVAR 在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下：在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下： (1)(1)電阻電阻R R，u uR R(t)=R(t)=Ri i

4、R R(t)(t)； 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析6 (2)(2)電感電感L L， (3)(3)電容電容C C， (4)(4)互感互感( (同、異名端連接同、異名端連接) )、理想變壓器等原、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。副邊電壓、電流關(guān)系等。2. 2. 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)約束指拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)約束指KCLKCL與與KVLKVL 00( )1( ),( )( )tLLLLLtdi tu tLii tuddtL00( )1( ),( )( )( )tCCCCCtdutitCututiddtC2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析7解：由解：由KVLKVL，列出電壓方程：，列出

5、電壓方程：122211221( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )CLLLLLLutu tu tR i tdi tLR i tdtdi tditdi tu tLRRCdtdtdt對(duì)上式求導(dǎo)，考慮到對(duì)上式求導(dǎo)，考慮到 11( )( )( )( )CCCdutitCRitu tdtiS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L例：輸入激勵(lì)是電流源例：輸入激勵(lì)是電流源i iS S(t),(t),試列出電流試列出電流i iL L(t) (t) 為響應(yīng)的方程式。為響應(yīng)的方程式。 CdttdiRdttdiLdttdiRtuCRLLC)()()()(1222111得得，2021/

6、7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析8根據(jù)根據(jù)KCLKCL，有，有i iC C(t)=i(t)=iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)，因而因而u u1 1(t)=R(t)=R1 1i iC C(t)=R(t)=R1 1(i(iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)2122212121( )( )( )( )( )( )()( )( )1( )1( )( )SLLLSLLLSLSditditd itditititRLRCdtdtdtdtd itRRditR ditititdtLdtLCLdtLC整理上式后，可得：整理上式后，可得：iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1

7、L2122212121( )( )( )( )( ( )( )()( )( )1( )1( )( )SLLLSLLLSLSdi tdi td i tdi ti ti tRLRCdtdtdtdtd i tRRdi tR di ti ti tdtLdtLCLdtLC2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析9 二、微分方程的經(jīng)典解二、微分方程的經(jīng)典解 描述描述LTILTI系統(tǒng)的激勵(lì)系統(tǒng)的激勵(lì)e e( (t t) )與響應(yīng)與響應(yīng)r(r(t t) )之間之間關(guān)系的是關(guān)系的是n n階常系數(shù)線性微分方程：階常系數(shù)線性微分方程： r r(n)(n)(t)+a(t)+an-1n-1r r(n-1)(n-

8、1)(t)+(t)+a+a1 1r r(1)(1)(t)+a(t)+a0 0r(t)= r(t)= b bm me e(m)(m)(t)+b(t)+bm-1m-1e e (m-1)(m-1)(t)+(t)+b+b1 1e e(1)(1)(t)+b(t)+b0 0e(t) e(t) 式中式中a an-1n-1，a a1 1，a a0 0和和b bm m，b bm-1m-1，b b1 1，b b0 0均均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用齊次方程的解即為齊次解，用r rh h(t)(t)表示，非表示，非齊次方程的特解用齊次方程

9、的特解用r rp p(t)(t)表示，則表示，則 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析10 齊次解滿足齊次微分方程齊次解滿足齊次微分方程 r r(n)(n)(t)+a(t)+an-1n-1r r(n-1)(n-1)(t)+(t)+a+a1 1r r(1)(1)(t)+a(t)+a0 0r(t)=0 r(t)=0 由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為：的特征方程為： n n+a+an-1n-1n-1n-1+ +a+a1 1+a+a0 0=0=02021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析11 (1)(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征

10、根都互特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同不相同( (即無(wú)重根即無(wú)重根) )，則微分方程的齊次解：，則微分方程的齊次解： (2)(2)特征根有重根。若特征根有重根。若11是特征方程的是特征方程的重根，即有重根，即有1 1=2 2=3 3= =，而其余，而其余(n-)(n-)個(gè)根個(gè)根+1+1，+2+2，n n都是單根，則微分都是單根，則微分方程的齊次解：方程的齊次解：1( )inthiiy tce1( )jntihiiytc te2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析12 (3)(3)特征根有一對(duì)單復(fù)根。即特征根有一對(duì)單復(fù)根。即1,21,2=a=ajbjb，則微，則微分方程的齊次解

11、：分方程的齊次解： r rh h(t)=c(t)=c1 1e eatatcosbt+ccosbt+c2 2e eatatsinbt sinbt ( 4 ) ( 4 ) 特 征 根 有 一 對(duì)特 征 根 有 一 對(duì) m m 重 復(fù) 根 。 即 共 有重 復(fù) 根 。 即 共 有 m m 重重1,21,2=a=ajbjb的復(fù)根，則微分方程的齊次解：的復(fù)根，則微分方程的齊次解：112112( )coscoscossinsinsinatmathmatatmatmy tcdtc tedtc tedtd ebtd tebtd tedt2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析13 例：求微分方程例：求

12、微分方程 y y(t)+3y(t)+3y(t)+2 y(t)=e(t)(t)+2 y(t)=e(t)的齊次解。的齊次解。 解：由特征方程解：由特征方程2 2+3+2=0+3+2=0解得特征根解得特征根1 1=-1=-1、2 2=-2=-2。因此該方程的齊次解：。因此該方程的齊次解： y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2e e-2t-2t 例：求方程例：求方程y y(t)+2y(t)+2y(t)+y(t)=e(t)(t)+y(t)=e(t)的齊次解。的齊次解。 解解 由特征方程由特征方程2 2+2+1=0+2+1=0解得二重根解得二重根 1 1=2 2=-1=-1，

13、因此該方程的齊次解，因此該方程的齊次解: : y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2tete-t-t 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析14 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。教材教材P46P46表表2-22-2列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)e(t)e(t)及其所對(duì)應(yīng)的特征解及其所對(duì)應(yīng)的特征解y yp p(t)(t)。選定特解后，將它。選定特解后，將它代入原微分方程，求出其待定系數(shù)代入原微分方程，求出其待定系數(shù)P Pi i，就可得出，就可得出特解。特解。 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)

14、域分析15 例：若輸入激勵(lì)例：若輸入激勵(lì)e(t)=ee(t)=e-t-t，試求微分方程，試求微分方程y(t)+3yy(t)+3y(t)+2y(t)=e(t)(t)+2y(t)=e(t)的特解。的特解。 解：查教材表解：查教材表2-22-2及注及注3 3，因?yàn)?，因?yàn)閑(t)=ee(t)=e-t-t，=-1=-1與一個(gè)特征根與一個(gè)特征根1 1=-1=-1相同，該方程的特解：相同，該方程的特解：1021010102( )()3()2()ttptttttttytPtePeddPtePePtePePtePeedtdt將特解將特解yp(t)代入微分方程，有：代入微分方程，有：P0？P1？2021/7/9信

15、號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析16例：已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程例：已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程初始條件初始條件y(0)=1, yy(0)=1, y(0)=2, (0)=2, 輸入信號(hào)輸入信號(hào)f(t)=ef(t)=e-t-t u(t) u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)y(t)。 0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，tthBeAety42)(特征根為特征根為齊次解齊次解y yh h(t)(t)解：解： (1)(1)求齊次方程求齊次方程y y(t)+6y(t)+6y(t)+8y(t)=0(t)+8y(t)=0的齊次

16、解的齊次解y yh h(t)(t)特征方程為特征方程為2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析172) 2) 求非齊次方程的特解求非齊次方程的特解y yp p(t)(t)解得解得 A=5/2A=5/2，B=-11/6B=-11/6由輸入由輸入f(t)f(t)的形式，設(shè)方程的特解為的形式，設(shè)方程的特解為y yp p(t)=Ce(t)=Ce-t-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3C=1/3。3) 3) 求方程的全解求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0( BAy0,3161125)(42te

17、eetyttt2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析18 齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，特性有關(guān)，而與激勵(lì)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的或或。 特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)的。2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析1900 若輸入是在若輸入是在t=0t=0時(shí)刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解中的待定時(shí)刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解中的待定系數(shù)時(shí)用系數(shù)時(shí)用t=0+時(shí)刻的時(shí)刻的，即，即從從 到到 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換1, 2 , 1 , 0),0()(njyj 包含激勵(lì)的作用，不便于

18、描述系統(tǒng)歷史信息。包含激勵(lì)的作用，不便于描述系統(tǒng)歷史信息。)0()(jy 在在 時(shí)激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值時(shí)激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值 反應(yīng)了系反應(yīng)了系統(tǒng)的歷史情況，而與激勵(lì)無(wú)關(guān)，稱這些值為系統(tǒng)的統(tǒng)的歷史情況，而與激勵(lì)無(wú)關(guān)，稱這些值為系統(tǒng)的或或 狀態(tài)。狀態(tài)。 0t)0()(jy 通常對(duì)于具體的系統(tǒng)，起始狀態(tài)一般容易求得。所以通常對(duì)于具體的系統(tǒng)，起始狀態(tài)一般容易求得。所以為了求解微分方程，就需要從已知的起始狀態(tài)為了求解微分方程，就需要從已知的起始狀態(tài) 設(shè)法設(shè)法求得初始條件求得初始條件 。)0()(jy)0()(jy02021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析20【例例】如圖所示，如圖所示，t

19、0 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng) 。)(te)0( Cv)(tvC+Rvc(0)e(t)vc(t)+deeRCvetvttRCCRCtC)(1)0()(0)(1)(1)(1)(teRCtvRCtvdtdCC兩端乘以兩端乘以 ：兩端求積分：兩端求積分：)(1)(teeRCtvedtdRCtCRCtRCtedeeRCvtvetRCCCRCt)(1)0()(0得得微分方程微分方程僅與激勵(lì)有關(guān)僅與激勵(lì)有關(guān)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)僅與起始儲(chǔ)能有僅與起始儲(chǔ)能有關(guān)關(guān)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析33完全響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)完全響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng) 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀

20、態(tài)響應(yīng) 通解特解通解特解 暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)教材例教材例2-82021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析34 一一 由單位沖激信號(hào)由單位沖激信號(hào)(t)(t)所引起的零所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，用激響應(yīng)，用h(t)h(t)表示。表示。 二二 由單位沖激信號(hào)由單位沖激信號(hào)u(t)所引起的零狀所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，用響應(yīng)，用g(t)表示。表示。2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析35:2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析362021/7/9信

21、號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析37uuu2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析38 教材例教材例2-92-9、2-102-10 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)h(t)反映的是系統(tǒng)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，而與系統(tǒng)的外部激勵(lì)無(wú)關(guān)。但數(shù)有關(guān)，而與系統(tǒng)的外部激勵(lì)無(wú)關(guān)。但系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)h(t)可以由沖激信號(hào)可以由沖激信號(hào)(t)(t)作用于系統(tǒng)而求得。作用于系統(tǒng)而求得。2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析39 在信號(hào)分析與系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要將在信號(hào)分析與系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要將信號(hào)分解為基本信

22、號(hào)的形式。這樣，對(duì)信號(hào)信號(hào)分解為基本信號(hào)的形式。這樣，對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷?duì)基本信號(hào)的分析，從與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷?duì)基本信號(hào)的分析，從而將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，且可以使信號(hào)與系統(tǒng)而將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，且可以使信號(hào)與系統(tǒng)分析的物理過(guò)程更加清晰。信號(hào)分解為沖激分析的物理過(guò)程更加清晰。信號(hào)分解為沖激信號(hào)序列就是其中的一個(gè)實(shí)例。信號(hào)序列就是其中的一個(gè)實(shí)例。 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析40 設(shè)設(shè)f1(t)和和f2(t)是定義在是定義在(-，)區(qū)間上的區(qū)間上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，我們將積分兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，我們將積分 dtff)()(21定義為定義為f1(t)和和f2(t)的卷積的卷積 (C

23、onvolution)， 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 dtfftftf)()()()(2121積分的結(jié)果為另一個(gè)新的時(shí)間信號(hào)。積分的結(jié)果為另一個(gè)新的時(shí)間信號(hào)。一、卷積的定義一、卷積的定義2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析41二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng)二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng) 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y yf f(t)(t)時(shí)，時(shí)，將任意信號(hào)將任意信號(hào)f(t)f(t)分解為沖激函數(shù)序列，分解為沖激函數(shù)序列，然后令每一沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)并然后令每一沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)并求其沖激響應(yīng)，最后利用求其沖激響應(yīng)，最后利用LTILTI系統(tǒng)特性，系統(tǒng)特性，將這些響應(yīng)疊加即可解得

24、系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)將這些響應(yīng)疊加即可解得系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)f(t)f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)y yf f(t)(t)。這個(gè)疊加的過(guò)程表。這個(gè)疊加的過(guò)程表現(xiàn)為求現(xiàn)為求。2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析4200( )( )()()()()()()()()()()( )lim() ()( ) ()( )lim() ()kkkfkth ttkh tkf ktkf kh tkf ktkf kh tkf tf ktkf ttdytf kh tk ( ) ()f t h td 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y yf f(t)(t)為輸入激勵(lì)為輸入激勵(lì)f(t)f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h

25、(t)h(t)的卷積積分的卷積積分: :( )( )()( )( )fytf t h tdf th t2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析43 對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)符號(hào)，如方波、三對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)符號(hào)，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來(lái)計(jì)算。而且，熟角波等，可以利用圖解方式來(lái)計(jì)算。而且，熟練掌握?qǐng)D解卷積的方法，對(duì)理解卷積的運(yùn)算過(guò)練掌握?qǐng)D解卷積的方法，對(duì)理解卷積的運(yùn)算過(guò)程是有幫助的。程是有幫助的。 三、卷積圖解法三、卷積圖解法2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析44 1.卷積積分的代數(shù)性質(zhì)卷積積分的代數(shù)性質(zhì) 卷積積分是一種線性運(yùn)算，它具有以下基卷積積分是一種線性運(yùn)算

26、，它具有以下基本特征。本特征。 1) 交換律交換律( )( )( )( )( )()( )()f th th tf tfh tdfh td四、卷積積分的性質(zhì)四、卷積積分的性質(zhì)2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析45系統(tǒng)級(jí)聯(lián)滿足交換律系統(tǒng)級(jí)聯(lián)滿足交換律h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)(t)(t)h(t) h1(t) h2(t)*h(t) h2(t) h1(t)*2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析462) 分配律分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) 兩個(gè)信號(hào)兩個(gè)信號(hào)f1(t)與與f2(t)疊加后通過(guò)某系統(tǒng)疊加后通過(guò)

27、某系統(tǒng)h(t)將等于兩個(gè)信號(hào)分別通過(guò)此系統(tǒng)將等于兩個(gè)信號(hào)分別通過(guò)此系統(tǒng)h(t)后再疊加。后再疊加。 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析47卷積分配律示意圖卷積分配律示意圖h(t)h(t)h(t)f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)y(t)y(t)2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析48 3)結(jié)合律結(jié)合律 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) )(1th)(2th)(*)(*)()(21ththtetr)(te2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析492. 2. 奇異信號(hào)的卷積特性奇異信號(hào)的卷積特性 信號(hào)信號(hào)f f( (t t)

28、)與沖激信號(hào)與沖激信號(hào)( (t t) )的卷積等于的卷積等于f f( (t t) )本身，本身，即：即： )()()(tfttf0)(tf或或2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析50(2) 信號(hào)信號(hào)f(t)與沖激偶與沖激偶(t)的卷積等于的卷積等于f(t)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))()(0)()()()()()()(*)(0tftfdtftfdtftft證：證：即沖激偶即沖激偶( (t t) )是微分器！是微分器！2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析51(3) 信號(hào)信號(hào)f(t)與階躍信號(hào)與階躍信號(hào)u(t)的卷積等于信號(hào)的卷積等于信號(hào)f(t)的積分的積分證：證：即即u(u(t t

29、) )是積分器！是積分器！)()()()()(*)()1(tfdfdtuftftut)()(*)()(*)()1(tftftututf2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析52 3. 卷積積分的微分和積分卷積積分的微分和積分注意注意: (3)式使用的條件是被求導(dǎo)的函數(shù)在式使用的條件是被求導(dǎo)的函數(shù)在 處為零值，處為零值，被積分的函數(shù)在被積分的函數(shù)在 區(qū)間上區(qū)間上的積分值為零。的積分值為零。t),(3. 3. 卷積的微分積分特性卷積的微分積分特性2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析53uuuuuu(t)u(t)u(t)u2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析54 4

30、. 卷積的時(shí)移卷積的時(shí)移2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析55由卷積時(shí)移性質(zhì)還可進(jìn)一步得到如下推論：由卷積時(shí)移性質(zhì)還可進(jìn)一步得到如下推論： 若若f1(t)*f2(t)=y(t)，則，則 )(2121221121)()()()()(tttttftftttyttfttf式中，式中，t1和和t2為實(shí)常數(shù)。為實(shí)常數(shù)。 特別地，特別地， )()()(00ttftttf即即 是延時(shí)器！是延時(shí)器！)(0tt 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析56 例：已知某線性非時(shí)變例：已知某線性非時(shí)變(LTI)(LTI)系統(tǒng)如圖所示。圖中系統(tǒng)如圖所示。圖中h h1 1(t)=u(t),h(t)

31、=u(t),h2 2(t)=(t-1),h(t)=(t-1),h3 3(t)=e(t)=e-3(t-2)-3(t-2)u(t-2)u(t-2)，試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)h(t)。 解：當(dāng)多個(gè)子系統(tǒng)通過(guò)級(jí)聯(lián)，并聯(lián)組成一個(gè)大系統(tǒng)時(shí)，大系解：當(dāng)多個(gè)子系統(tǒng)通過(guò)級(jí)聯(lián)，并聯(lián)組成一個(gè)大系統(tǒng)時(shí)，大系統(tǒng)的沖激響應(yīng)統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)h(t)可以直接通過(guò)各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)計(jì)算可以直接通過(guò)各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)計(jì)算得到。得到。h1(t)h2(t)h3(t)f (t)y(t)系 統(tǒng)2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析57 h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t) =h(t)*(t-

32、1)+e-3(t-2)u(t-2) =u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) h1(t)h2(t)h3(t)f (t)y(t)系 統(tǒng) 從圖可見，子系統(tǒng)從圖可見，子系統(tǒng)h h1 1(t)(t)與與h h2 2(t)(t)是級(jí)聯(lián)關(guān)是級(jí)聯(lián)關(guān)系，而系，而h h3 3(t)(t)支路與支路與h h1 1(t)(t)及及h h2 2(t)(t)組成的支路是組成的支路是并聯(lián)關(guān)系，因此并聯(lián)關(guān)系，因此2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析58例：已知例：已知f1(t)=e-3t u(t)，f2(t)=e-5t u(t)，試計(jì)算兩，試計(jì)算兩信號(hào)的卷積信號(hào)的卷積f1(t)*f2(t)。 解：解：121

33、235()35()3535( )( )( )()( )()1()21()( )2ttttttf tf tff tdeueu tdeedeeeeu t上下限錯(cuò)誤！上下限錯(cuò)誤！缺少缺少u(t)！2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析59 例：已知信號(hào)例：已知信號(hào)f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)與與 f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，試計(jì)算，試計(jì)算f1(t)*f2(t)。 解解:根據(jù)卷積積分的定義，可得 12123(1)5(2)3(1)5(2)3(3)5(3)3(3)5(3)( )( )( )()(1)(2)1()21()(3)2ttttttf tf tff tdeueu

34、tdeedeeeeu t 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析60規(guī)定規(guī)定1： p稱為微分算子，稱為微分算子， 的含義是的含義是 。規(guī)定規(guī)定2： 如：如：dtdp)(tpfdttdf)(0,ndtdpnnn)()(444tfdtdtfp微分算子與微分方程微分算子與微分方程2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析61規(guī)定規(guī)定3： 稱為積分算子，稱為積分算子， 的含義是的含義是 。tdtp)(1)(1tfptdttf)(p12021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析62規(guī)定規(guī)定4：設(shè)：設(shè) 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 的含義是：的含義是：0111)(apapapapDnnnnia

35、)()(tfpD)()()()()()(011110111tfatfdtdatfdtdatfdtdatfapapapannnnnnnnnn2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析63規(guī)定規(guī)定5：設(shè)：設(shè) 和和 是是 的正冪多項(xiàng)式，的正冪多項(xiàng)式， 則方程則方程 所代表的方程是所代表的方程是 算子方程：含微分算子的方程。算子方程：含微分算子的方程。)()()()(tfpDpNty)(pD)(pNp)()()()(tfpNtypD2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析64 若若 稱為稱為 對(duì)對(duì) 的的。它代表系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，或系統(tǒng)將輸它代表系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，或系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)移為

36、輸出的作用，又稱入轉(zhuǎn)移為輸出的作用，又稱 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的。)()()(pDpNpH)( pH)(ty)(tf)( pH2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析65舉例舉例1： 對(duì)應(yīng)的方程為對(duì)應(yīng)的方程為 或或 42)(2PppH)()2()()4(2tfptyp)(2)()(4)(tftftyty 2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析66性質(zhì)性質(zhì)1：以：以 的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的算子式可的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的算子式可以像代數(shù)多項(xiàng)式一樣進(jìn)行相乘和因式分解。以像代數(shù)多項(xiàng)式一樣進(jìn)行相乘和因式分解。如：如：又如：又如： p)() 65()() 2)(3(2tfpptfpp)() 2)(2()() 4(2tfpptfp2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析67性質(zhì)性質(zhì)2：設(shè)：設(shè) 和和 都是都是 的正冪多項(xiàng)的正冪多項(xiàng)式，則：式，則：)()()()()()(tfpApBtfpBpA)(pA)(pBp2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析68性質(zhì)性質(zhì)3：算子方程兩邊的公共因子不能隨便：算子方程兩邊的公共因子不能隨便 消去。消去。 如若如若 則則 不一定成立！不一定成立！)()(tpftpy( )( )y tft2021/7/9信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析69 元件名稱電路符號(hào)