泰勒公式的應(yīng)用 畢業(yè)設(shè)計(論文)

1、畢業(yè)設(shè)計(論文)課 題 名 稱 泰勒公式的應(yīng)用 學(xué) 生 姓 名 學(xué) 號 系、年級專業(yè) 理學(xué)與信息科學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指 導(dǎo) 教 師 職 稱 教 授 2009年 5 月 日泰勒公式的應(yīng)用 【摘要】 泰勒公式是我們大學(xué)數(shù)學(xué)分析中的一個很重要且應(yīng)用比較廣泛的一個公式，在近似計算上有獨(dú)特的優(yōu)勢，利用它可以將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，并能滿足很高的精確要求。除此之外，泰勒公式在應(yīng)用于求極限，判斷級數(shù)的斂散性和多種不等式的證明中，這對深刻體會泰勒公式的重要作用，拓寬我們的解題思維，提高分析與解決問題的能力以及綜合運(yùn)用知識的能力有著巨大的指導(dǎo)作用 ?！娟P(guān)鍵詞】 泰勒公式; 極限; 近似計算; 斂散性; t

2、he application of taylor formula abstract taylor formula is one of more important formula and has broader applications to mathematical analysis and study in the university, in the approximate calculation it has unique advantages, it can be transformed non-linear problem into a linear problem, and me

3、et the requirements of high precision. in addition, taylor formula applies to solve the limitation , judge the convergence and divergence of series and prove a variety of inequality and so on.it is an important guide for us to have a better understanding of tayor formulagreat functions, to exploit o

4、ur ways to thinking problems, to improve our ability in analyzing and solving problems and multi-use knowledge. key wordstaylor formula; limitation; approximate calculation; convergent-divergent discriminution; 目 錄中文摘要.2英文摘要.3一.泰勒公式的引入.5泰勒公式.6二.泰勒公式的應(yīng)用. 71.求極限. .72.在定積分不等式中的運(yùn)用. 73.在代數(shù)不等式中的運(yùn)用. 84.在導(dǎo)函

5、數(shù)不等式中的運(yùn)用. .95.判斷斂散性. 116.求近似計算. 117.函數(shù)的麥克勞林展開式. 12三.結(jié)束語. 13致謝詞. 14參考文獻(xiàn). 15 一.泰勒公式的引入通過導(dǎo)數(shù)作近似計算： 而事實(shí)上由微分給出的近似計算得 在的定義域中的任意點(diǎn)。1.當(dāng)取=0，有與函數(shù)在點(diǎn)不僅函數(shù)值相等，且一階導(dǎo)數(shù)也相等，我們稱是在點(diǎn)的一階近似。2.為了提高精確度 設(shè)來近似替代，且滿足 這時 就說是在點(diǎn)的二階近似。再來確定的系數(shù)，對分別求一階，二階導(dǎo)數(shù)，有用代入，得即 從而得到二次近似式它比一次近似更精確。把上面的步驟繼續(xù)下去，可得更高階的近似。n階的近似式從而引出泰勒公式：定理 若在點(diǎn)有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那

6、么這個公式叫做在處的泰勒公式，式中叫做拉格朗日余項(xiàng)。推廣：若在點(diǎn)有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么也叫在處的泰勒公式，一般的在處的泰勒公式叫做麥克勞林公式。根據(jù)定義可以推出一些常見函數(shù)的麥克勞林公式：（應(yīng)記?。?二泰勒公式的應(yīng)用1.求極限例1：的極限。解：因?yàn)榉帜甘牵史肿拥奶├展街腥。?所以有：=2. 在定積分不等式中的運(yùn)用例2：設(shè)在單調(diào)增加，且，證明： 分析：（1）由于右邊出現(xiàn)了和，提示我們選擇分別展開； （2） 由于，所以最多只能展開到含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為止。 證明：存在，在點(diǎn)的泰勒展開式是： 因?yàn)?，所?（1）把分別代入（1）并相加得： （2） 對（2）兩邊同時在定積分得即故3.在代數(shù)不等式中的

7、運(yùn)用 例3：設(shè)若則有 證明：1)易證當(dāng)為正整數(shù)時，有2）證當(dāng)時的充分性，由泰勒公式知 （1）不妨設(shè)令 為了保證級數(shù)的收斂，先考慮的情形，將分別代入（1）得 (2)這里由（2）得 （3）由知，當(dāng)時， （4）由（3）和（4）及1）可知,當(dāng)=0，只需證 若結(jié)論顯然成立；若時，則有有文獻(xiàn)知， （5）令代入（5）即得結(jié)果。4.在導(dǎo)函數(shù)不等式中的運(yùn)用 例4：設(shè)函數(shù)在具有二階導(dǎo)數(shù)，且試證: 分析：題設(shè)告訴我們函數(shù)有二階導(dǎo)數(shù)，提示我們嘗試使用泰勒公式。將欲證式與一階泰勒公式相比較知：沒有一階，零階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。我們進(jìn)一步分析可知：由于連續(xù)，因此最小值必在點(diǎn)取得，該點(diǎn)必是極值點(diǎn)，有。于是在極值點(diǎn)將函數(shù)展開，分別取0和

8、1，問題就得證。 證明：設(shè)在處取得最小值，即，則，將在處展成帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式： =分別取得：即有：和由此推出：當(dāng)當(dāng)。從而有：。例5：設(shè)證：設(shè)有所以即，例6：設(shè)，證：存在，將和分別代入上式得上面兩式相減得：于是 由于是的任意一點(diǎn)，因此有 利用泰勒公式證明不等式，主要有兩步：1.首先構(gòu)造一個函數(shù)，選一個展開點(diǎn)，然后寫出在點(diǎn)的帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式；怎么選點(diǎn)？通常是考慮一個區(qū)間的端點(diǎn)分點(diǎn)但是區(qū)間中的任意點(diǎn)也是分析函數(shù)性質(zhì)不可或缺的點(diǎn)。運(yùn)用泰勒公式時，就是將導(dǎo)數(shù)信息相對比較充分的點(diǎn)選做展開中心。如果區(qū)間中的任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)信息比較充分，則任意點(diǎn)也可以作為展開中心。2.根據(jù)所給最高階導(dǎo)數(shù)的大

9、小，函數(shù)的界或三角形不等式對進(jìn)行放縮。如在附近有二階可導(dǎo)，由泰勒公式得出：5. 判斷斂散性例7：討論無窮積分的斂散性 解： =選取因?yàn)?，而，所以由無窮積分?jǐn)可⑿耘袆e定理得知是收斂的。6. 計算近似值例8：求定積分 解：可以看出原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以考慮泰勒公式展開，就能方便的求出其近似解。所以因?yàn)槠渲校`差。7.求函數(shù)的麥克勞林展開式例9: 求在處的麥克勞林展開式 解：首先做分解 再轉(zhuǎn)化成： = 從上述實(shí)例可以看出，泰勒公式在微積分的各個方面都有重要的應(yīng)用。深入探討泰勒公式的應(yīng)用，用簡單的例子說明其應(yīng)用的方法，并在學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用，對我們理解和掌握抽象的泰勒公式內(nèi)容起到事倍功半的作用。但是運(yùn)用

10、泰勒公式時需注意：（1）一般將函數(shù)展開成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階即可；（2）恰當(dāng)?shù)倪x擇等式兩邊的與。只要在解題訓(xùn)練中注意分析研究題設(shè)條件極其形成特點(diǎn)，并注意歸納總結(jié)，就能比較好的運(yùn)用泰勒公式。 .三結(jié)束語 泰勒公式是我們大學(xué)一個重要的公式，運(yùn)用比較廣泛，在微分和積分中，在導(dǎo)數(shù)中，在不等式的證明中，都有重要的應(yīng)用。如果能夠熟練的運(yùn)用泰勒公式，不但拓寬我們的解題思維，提高分析與解決問題的能力以及綜合運(yùn)用知識的能力，而且也能夠提高學(xué)習(xí)效率，達(dá)到事倍功半的效果。 深入探討泰勒公式，對泰勒公式的進(jìn)一步研究，能夠讓我們理解泰勒公式的出處，推導(dǎo)方法，以及以后的靈活運(yùn)用。同時也能引起我們對數(shù)學(xué)專業(yè)的愛好，數(shù)學(xué)是一門

11、神秘的科目，是一個巨大的資源站。我們應(yīng)以嚴(yán)謹(jǐn)求真的態(tài)度，謙虛的心態(tài)去勘探開采，在發(fā)現(xiàn)開采的同時，也要把它應(yīng)用在學(xué)習(xí)實(shí)踐中。 致 謝四年的大學(xué)學(xué)習(xí)與生活即將結(jié)束，在這個充滿快樂與充實(shí)的日子里，我在各個方面都得到很大的提高，這全賴于許多老師和同學(xué)們的關(guān)心與幫助，至此論文完成之際，首先要感謝我的導(dǎo)師 老師，本課題從選題到最后的修改工作以及研究工作都是在 老師的精心指導(dǎo)和不懈的支持下完成的。他淵博的學(xué)識，對問題實(shí)質(zhì)的洞察入微以及嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)精神和學(xué)術(shù)上的高標(biāo)準(zhǔn)要求，都使我受益匪淺。徐老師創(chuàng)造的寬松的研究環(huán)境，也為我論文撰寫工作創(chuàng)造了有利的條件。感謝邵陽學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)、老師的關(guān)心、幫助和支

12、持。感謝2005級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的所有同學(xué)。四年大學(xué)生涯的相處使得我們彼此建立了深厚的友誼，謝謝你們給我在生活和學(xué)習(xí)上的無私幫助。感謝我的家人，沒有你們的理解和支持，就沒有我的一切。感謝這幾年給我?guī)椭乃腥?。讓我懷著一顆感恩的心，去迎接人生中新的挑戰(zhàn)。參考文獻(xiàn)：【1】同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（2版）.北京：高等代數(shù)出版社，2000.【2】孫本旺，汪浩.數(shù)學(xué)分析中的典型例題和方法.長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1992.【3】華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下）.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2001.【4】劉一鳴，周家云，解際太.數(shù)學(xué)分析（上冊）.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，1993.【5】張禾瑞，郝炳新