北師大版高中數(shù)學必修2第二章《幾何初步》圓的一般方程

1、1高中數(shù)學必修高中數(shù)學必修2第二第二章解析幾何初步章解析幾何初步法門高中姚連省制作法門高中姚連省制作2點到直線距離公式點到直線距離公式xyP0 (x0,y0)O:0lAxByCSR0022|AxByCdABQd 3圓的標準方程圓的標準方程xyOCM( (x, ,y) )222)()(rbyax圓心圓心C( (a, ,b),),半徑半徑r若圓心為若圓心為O（0，0），），則圓的方程為則圓的方程為：222ryx標準方程標準方程4圓心圓心 (2, 4) ，半徑，半徑 求圓心和半徑圓圓 (x1)2+ (y1)2=9圓圓 (x2)2+ (y+4)2=2.2 2圓圓 (x+1)2+ (y+2)2=m2圓心

2、圓心 (1, 1) ，半徑，半徑3圓心圓心 (1, 2) ，半徑，半徑|m|5圓的一般方程圓的一般方程22(3)(4)6xy2268190 xyxy展開得展開得220 xyDxEyF任何一個圓的方程都是二元二次方程任何一個圓的方程都是二元二次方程反之是否成立？反之是否成立？6圓的一般方程圓的一般方程22(1)2410 xyxy 配方得配方得220 xyDxEyF不一定是圓不一定是圓22(1)(2)4xy以（以（1，-2）為圓心，以）為圓心，以2為半徑的圓為半徑的圓22(2)2460 xyxy22(1)(2)1xy 配方得配方得不是圓不是圓7練習練習v判斷下列方程是不是表示圓判斷下列方程是不是表

3、示圓22(1)4640 xyxy22(2)(3)9xy以（以（2，3）為圓心，以）為圓心，以3為半徑的為半徑的圓圓22(2)46130 xyxy22(2)(3)0 xy表示表示點點（2，3）2,3xy22(3)46150 xyxy22(2)(3)2xy 不不表示任何圖形表示任何圖形8展開圓的標準方程展開圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）可見任何圓的方程都可以寫成（可見任何圓的方程都可以寫成（1）式，）式，)2(44)2()212222FEDEyDx）配方得（將（不妨設：不妨設：D2a、E2b、

4、Fa2+b2-r29圓的一般方程圓的一般方程220 xyDxEyF22224224DEDEFxy（1）當）當 時，時，2240DEF表示表示圓圓，,2ED圓心 -22242DEFr（2）當）當 時，時，2240DEF表示表示點點,2ED-2（3）當）當 時，時，2240DEF不不表示任何圖形表示任何圖形10(x-a)2+(y-b)2=r222224)()224DEDEFxy（兩種方程的字母間的關系：兩種方程的字母間的關系：形式特點：形式特點：（1）x2和和y2的系數(shù)相同，不等于的系數(shù)相同，不等于0（2）沒有）沒有xy這樣的項。這樣的項。112222222(1)xy0 _(2)xy2x4y60_

5、(3)xy2axb0_(2)( 1, 2),11.圓 心 為半 徑 為的 圓練習練習1:下列方程各表示什么圖形下列方程各表示什么圖形?原點(0,0)22),0(3.(,0),0a baaba b當不同時為 時，圓心為半徑為的圓 當同時為 時，表示一個點。122222222(1)60,(2)20,(3)22 330 xyxxybyxyaxaya練習練習2 ：將下列各圓方程化為標準方程，將下列各圓方程化為標準方程，并求圓的半徑和圓心坐標并求圓的半徑和圓心坐標.（1）圓心（-3，0），半徑3.（2）圓心（0，b），半徑|b|.(3)(,3),| .aaa圓 心半 徑13 若已知條件涉及圓心和半徑若已

6、知條件涉及圓心和半徑, 我們一般采用圓的標準方程較簡單我們一般采用圓的標準方程較簡單.(5, 1),(8, 3)A求過點圓心為的圓的方程，并化一般方程。22166600 xyxy故圓的一般方程為練習：練習：222)3()8(ryx設圓的方程為,13) 1, 5(2r代入得把點13)3()8(22yx14 若已知三點求圓的方程若已知三點求圓的方程,我們常采用圓的我們常采用圓的 一般方程用一般方程用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求解求解. .)8 , 0(),0 , 6(),0 , 0(的圓的方程求過三點CBA08622yxyx練習：練習：022FEyDxyx設圓的方程為把點把點A，B，C的坐標代入得方程組

7、的坐標代入得方程組0F0662FD0882FE6,80 .DEF ，所求圓的方程為：所求圓的方程為：15小結小結220 xyDxEyF22224224DEDEFxy（1）當）當 時，時，2240DEF表示表示圓圓，,2ED圓心 -22242DEFr（2）當）當 時，時，2240DEF表示表示點點,2ED-2（3）當）當 時，時，2240DEF不不表示任何圖形表示任何圖形16例例2. 已知一曲線是與定點已知一曲線是與定點O(0,0)，A(3,0)距離的比是距離的比是21求此曲線的軌跡方程，并畫出曲線求此曲線的軌跡方程，并畫出曲線 的點的軌跡，的點的軌跡， 解：在給定的坐標系里，設點解：在給定的坐

8、標系里，設點M(x,y)是曲線上的任意一點，是曲線上的任意一點，也就是點也就是點M屬于集合屬于集合21| AMOMM由兩點間的距離公式，得由兩點間的距離公式，得21)3(2222 yxyx化簡得化簡得x2+y2+2x 30這就是所求的曲線方程這就是所求的曲線方程把方程把方程的左邊配方，得的左邊配方，得(x+1)2+y24所以方程所以方程的曲線是以的曲線是以C( 1，0)為圓心，為圓心，2為半徑的圓為半徑的圓xyMAOC17 .O.yx（-1，0）A(3,0)M例例2：已知一曲線是與兩個定點：已知一曲線是與兩個定點O(0，0)，A(3，0)距離的比為距離的比為 的點的軌跡，求此曲的點的軌跡，求此

9、曲線的方程，并畫出曲線。線的方程，并畫出曲線。1218簡單的思考與應用簡單的思考與應用(1)已知圓已知圓 的圓心坐標為的圓心坐標為(-2,3),半徑為半徑為4,則則D,E,F分別等于分別等于 是圓的方程的充要條件是是圓的方程的充要條件是(3)圓圓 與與 軸相切軸相切,則這個圓截則這個圓截軸所得的弦長是軸所得的弦長是022FEyDxyx3 , 6, 4)(A3 , 6 , 4)(B3, 6 , 4)(C3, 6, 4)(D)( D0222ayaxyx21)(aA21)(aB21)(aC21)(aD010822Fyxyxxy6)(A5)(B4)(C3)(D)( D)( A19(4)點點 是圓是圓

10、的一條弦的中點的一條弦的中點,則這條弦所在的直線方程是則這條弦所在的直線方程是)5 , 3(A0808422yxyx08 yx20例題例題. 自點自點A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光線求光線l 所在直線的方程所在直線的方程. B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 入射光線及反射光線與入射光線及反射光線與 x軸軸夾角夾角相等相等.(2)點點P關于關于x軸的軸的對稱點對稱點Q在在 反射光線所在的直線反射光線所在的直線l 上上.(3)圓心圓心C

11、到到l 的距離等于的距離等于 圓的半徑圓的半徑.答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4y-3=021例：求過三點例：求過三點A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圓的方程的圓的方程圓心：兩條弦的中垂線的交點圓心：兩條弦的中垂線的交點半徑：圓心到圓上一點半徑：圓心到圓上一點xyOEA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )幾何方法幾何方法方法一：22方法二：待定系數(shù)法方法二：待定系數(shù)法待定系數(shù)法待定系數(shù)法解：設所求圓的方程為解：設所求圓的方程為：222)()(rbyax因為因為A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上都在圓上22

12、2222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy 所求圓的方程為所求圓的方程為23方法三：待定系數(shù)法方法三：待定系數(shù)法解：設所求圓的方程為解：設所求圓的方程為：因為因為A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上都在圓上22222251507( 1)7028280DEFDEFDEF 4612DEF 22(2)(3)25xy即所求圓的方程為所求圓的方程為220 xyDxEyF2246120 xyxy24小結：求圓的方程小結：求圓的方程幾何方法幾何方法 求圓心坐標求圓心坐標 （兩條直線的交點兩條直線的交點）（常用弦的（常用弦的中垂線中垂線