空間與軸對(duì)稱問(wèn)題有限元分析

1、空間及軸對(duì)稱問(wèn)題有限元空間及軸對(duì)稱問(wèn)題有限元概述概述空間問(wèn)題空間問(wèn)題( (四面體四面體、六面體類六面體類) )軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載非軸對(duì)稱荷載概概 述述 三個(gè)方向尺寸屬于同一數(shù)量級(jí)，所受荷載或形三個(gè)方向尺寸屬于同一數(shù)量級(jí)，所受荷載或形體復(fù)雜，不可能像上一章那樣簡(jiǎn)化成體復(fù)雜，不可能像上一章那樣簡(jiǎn)化成平面問(wèn)題平面問(wèn)題處處理，這時(shí)必須按空間問(wèn)題求解。理，這時(shí)必須按空間問(wèn)題求解。 與平面分析不同，空間有限元分析有如下兩個(gè)與平面分析不同，空間有限元分析有如下兩個(gè)困難：困難：1 1）對(duì)空間物體進(jìn)行離散化時(shí)不像平面問(wèn)題那樣）對(duì)空間物體進(jìn)行離散化時(shí)不像平面問(wèn)題那樣直觀，人工進(jìn)行

2、離散時(shí)很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤；直觀，人工進(jìn)行離散時(shí)很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤；2 2）未知量的數(shù)量劇增。）未知量的數(shù)量劇增。 建立網(wǎng)格自動(dòng)生成前建立網(wǎng)格自動(dòng)生成前處理程序處理程序 采用高階單元來(lái)提采用高階單元來(lái)提高單元精度高單元精度 平面圖形繞面內(nèi)一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空間物體，平面圖形繞面內(nèi)一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空間物體，稱為軸對(duì)稱物體，是一類特殊的空間問(wèn)題。稱為軸對(duì)稱物體，是一類特殊的空間問(wèn)題?？臻g問(wèn)題空間問(wèn)題 1 1 常應(yīng)變四面體單元形函數(shù)常應(yīng)變四面體單元形函數(shù) 與平面三角形單元相對(duì)應(yīng)，四面與平面三角形單元相對(duì)應(yīng)，四面體單元內(nèi)任一點(diǎn)可用體單元內(nèi)任一點(diǎn)可用“體積坐標(biāo)體積坐標(biāo)”來(lái)表示。來(lái)表示。各子四面體各子四面體體積體積

3、與三角形單元一樣，體積坐標(biāo)為與三角形單元一樣，體積坐標(biāo)為ti =vi /v ,三個(gè)是三個(gè)是獨(dú)立的，它有獨(dú)立的，它有“本本1，它，它0，總和，總和1”的性質(zhì)。的性質(zhì)。p123四面體四面體總體積總體積 ( (右旋右旋體積正體積正) )111222333444111161xyzxyzvxyzxyz1234p234p124p1342224441333111161xyzxyzvxyzxyz1113332444111161xyzxyzvxyzxyz1114443222111161xyzxyzvxyzxyz1112224333111161xyzxyzvxyzxyzp 剩下來(lái)的工作基本和三角形常應(yīng)剩下來(lái)的工作

4、基本和三角形常應(yīng)變單元類似。變單元類似。作業(yè)：自學(xué)單元列式內(nèi)容。作業(yè)：自學(xué)單元列式內(nèi)容。空間問(wèn)題空間問(wèn)題 2 2 十結(jié)點(diǎn)（二次）四面體單元形函數(shù)十結(jié)點(diǎn)（二次）四面體單元形函數(shù) 類似于平面六結(jié)點(diǎn)二次三角形單元，類似于平面六結(jié)點(diǎn)二次三角形單元，采用試湊法建立結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。采用試湊法建立結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。t1t2t3o12345678n1=a785234=a(t1-1/2)t1 為使為使n1滿足本點(diǎn)為滿足本點(diǎn)為1，可得，可得a=2，代回后得代回后得n1 =t1 (2t1-1) 余者類似，也可余者類似，也可按如下通式按如下通式得到：得到：ipjiij=jiii4ist ,t ,t ,tn =st ,t ,

5、t ,t12341123式中式中p為形函數(shù)階次，分子為不通過(guò)為形函數(shù)階次，分子為不通過(guò)i點(diǎn)的平面方程點(diǎn)的平面方程左端項(xiàng)，分母中括號(hào)內(nèi)為左端項(xiàng)，分母中括號(hào)內(nèi)為i點(diǎn)體積坐標(biāo)。點(diǎn)體積坐標(biāo)。請(qǐng)大家請(qǐng)大家自行驗(yàn)自行驗(yàn)證！證！空間問(wèn)題空間問(wèn)題 3 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法形成四面體的對(duì)角線劃分方法 先劃分成六面體再分為四面體先劃分成六面體再分為四面體1243568714671246143748761 1）六面體劃分為）六面體劃分為5 5個(gè)四面體個(gè)四面體a a5 5型型14671467間連間連6 6根對(duì)角根對(duì)角線線 1567空間問(wèn)題空間問(wèn)題 3 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法形成四面體的對(duì)角線劃分方法

6、 1 1）六面體劃分為）六面體劃分為5 5個(gè)四面體個(gè)四面體1243568712352568243835872358b b5 5型型23582358間間連連6 6根對(duì)根對(duì)角線角線 相鄰六面體相鄰六面體必須一個(gè)為必須一個(gè)為a5另一個(gè)另一個(gè)為為b5共同點(diǎn)共同點(diǎn)相對(duì)面對(duì)角線相對(duì)面對(duì)角線相互空間交叉相互空間交叉空間問(wèn)題空間問(wèn)題 3 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687124356435687連連47、76、636874、5673、4763連連23、25、632351、3562、3642a a6

7、6型型以折面以折面35643564分分空間問(wèn)題空間問(wèn)題 3 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687連連35、52、633562、5673、2351連連47、46、633764、6874、3642a a6 6型型以折面以折面23762376分分243687123567兩種兩種a6劃分劃分結(jié)果完全相同結(jié)果完全相同空間問(wèn)題空間問(wèn)題 3 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687連連23、35

8、、452453、4753、2351連連45、46、674562、5674、6874b b6 6型型以折面以折面24752475分分245687124357空間問(wèn)題空間問(wèn)題 3 3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法形成四面體的對(duì)角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687連連47、76、544753、5674、6874連連32、25、542351、4352、4562b b6 6型型以折面以折面34653465分分124356435687兩種兩種b6劃分劃分結(jié)果也完全相同結(jié)果也完全相同作業(yè)：作業(yè)：p.95給出了由六面體給出了由六面體8個(gè)角個(gè)角點(diǎn)點(diǎn)

9、號(hào)，按式點(diǎn)點(diǎn)號(hào)，按式(4.1.25)求求a6和和a5型型四面體結(jié)點(diǎn)號(hào)的方法。請(qǐng)考慮四面體結(jié)點(diǎn)號(hào)的方法。請(qǐng)考慮b6和和b5型的計(jì)算公式。型的計(jì)算公式?？臻g問(wèn)題空間問(wèn)題 4 4 六面體類單元的形函數(shù)六面體類單元的形函數(shù) 1 1）八結(jié)點(diǎn)單元）八結(jié)點(diǎn)單元12345678類似平面問(wèn)題矩形線性單元，由試類似平面問(wèn)題矩形線性單元，由試湊法可建立形函數(shù)如下：湊法可建立形函數(shù)如下：in0000001 1=1+=1+1+1+1+1+ 8 82 2）二十結(jié)點(diǎn)單元）二十結(jié)點(diǎn)單元和平面問(wèn)題一樣，基于和平面問(wèn)題一樣，基于試湊法，可以根據(jù)上述試湊法，可以根據(jù)上述八八結(jié)點(diǎn)低階單元形函數(shù)結(jié)點(diǎn)低階單元形函數(shù)構(gòu)造各頂點(diǎn)形函數(shù)。構(gòu)造

10、各頂點(diǎn)形函數(shù)。123456789101112141720作業(yè)：作業(yè)：32結(jié)點(diǎn)三次單元結(jié)點(diǎn)三次單元空間問(wèn)題空間問(wèn)題 5 5 五面體類單元的形函數(shù)五面體類單元的形函數(shù) 1 1）試湊法建立六結(jié)點(diǎn)形函數(shù)）試湊法建立六結(jié)點(diǎn)形函數(shù)用于與六面體單元聯(lián)合，解決邊界用于與六面體單元聯(lián)合，解決邊界形狀不規(guī)則物體的分析。形狀不規(guī)則物體的分析。11(1,2,3)2inlii課堂練習(xí)：建立課堂練習(xí)：建立15結(jié)點(diǎn)五面體單元形函數(shù)。結(jié)點(diǎn)五面體單元形函數(shù)。2 2）三維等參元列式）三維等參元列式 基本思想和平面問(wèn)題一樣，具基本思想和平面問(wèn)題一樣，具體列式參看體列式參看p.101p.104。l1l2312645112inli+3

11、軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題 工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及作用的荷載都對(duì)稱于某一固定軸作用的荷載都對(duì)稱于某一固定軸( (可視為子午面內(nèi)平可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果) )，其力學(xué)分析稱為軸對(duì)，其力學(xué)分析稱為軸對(duì)稱問(wèn)題。典型例子為煙囪、儲(chǔ)液罐等受恒載作用。稱問(wèn)題。典型例子為煙囪、儲(chǔ)液罐等受恒載作用。1 1 離散化離散化 由于由于可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果轉(zhuǎn)一周的結(jié)果，2 2 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變 對(duì)軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行分析一般取柱對(duì)軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行分析一般取柱坐標(biāo)系，對(duì)稱軸為

12、坐標(biāo)系，對(duì)稱軸為z軸，徑向?yàn)檩S，徑向?yàn)閞 軸，環(huán)向?yàn)檩S，環(huán)向?yàn)檩S。軸。 因此軸對(duì)稱問(wèn)題分析可在子午面內(nèi)因此軸對(duì)稱問(wèn)題分析可在子午面內(nèi)劃分單元，實(shí)際是取子午面內(nèi)圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所劃分單元，實(shí)際是取子午面內(nèi)圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得得“圓環(huán)形單元圓環(huán)形單元”對(duì)物體進(jìn)行離散。對(duì)物體進(jìn)行離散。 因此可用的單元因此可用的單元與平面問(wèn)題一樣。與平面問(wèn)題一樣。軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題 在柱坐標(biāo)下軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程為在柱坐標(biāo)下軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程為根據(jù)具體單元根據(jù)具體單元, ,代入所建立的位移模式代入所建立的位移模式, ,即可得應(yīng)變矩即可得應(yīng)變矩陣陣b。0010rzrzurrwuzzwurruwzrzr 軸向位移軸向

13、位移徑向位移徑向位移 教材上教材上有推導(dǎo)有推導(dǎo)的示意的示意圖，參圖，參考彈性考彈性力學(xué)。力學(xué)。由于算子中有由于算子中有1/r，所以三角形環(huán)單元所以三角形環(huán)單元b不再是常不再是常數(shù)矩陣。數(shù)矩陣。軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題 根據(jù)具體單元，即可得應(yīng)變、應(yīng)力矩陣等。根據(jù)具體單元，即可得應(yīng)變、應(yīng)力矩陣等。ed10101-1-1-1-10101-1-1-1-= =1+1-21+1-210101-21-22 1-2 1- d = 0式中式中對(duì)稱對(duì)稱對(duì)線彈性問(wèn)題，在上述應(yīng)變分量條件下，物理方程為對(duì)線彈性問(wèn)題，在上述應(yīng)變分量條件下，物理方程為 以三角形環(huán)單元為例，其位移模式為以三角形環(huán)單元為例，其位移模式為12223

14、2(1,2,3)eeiinnnnl idiiin軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題 根據(jù)軸對(duì)稱問(wèn)題的算子矩陣，單元應(yīng)變矩陣為根據(jù)軸對(duì)稱問(wèn)題的算子矩陣，單元應(yīng)變矩陣為t123tt00100200eeeiiiiiiiiiiinnnbgcrrzbcbnnzrbbb ba n123t1111211212(1)(1)(1 2 )/( , ),/(1),(1 2 )/2/(1)rzrzeeeiiiiiiiiiiiiiiiiibagabagabga ceaccaca bgarbc z rg r zaadbsssss應(yīng)力矩陣：應(yīng)力矩陣： 由于應(yīng)變矩陣的特點(diǎn)，應(yīng)力分量中除剪應(yīng)力為由于應(yīng)變矩陣的特點(diǎn)，應(yīng)力分量中除剪應(yīng)力為常量外

15、，其余三項(xiàng)正應(yīng)力均不再是常數(shù)。常量外，其余三項(xiàng)正應(yīng)力均不再是常數(shù)。軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題 由于由于b b 中含有坐標(biāo)變量，因此積分運(yùn)算較平面中含有坐標(biāo)變量，因此積分運(yùn)算較平面問(wèn)題復(fù)雜，精確積分參見(jiàn)問(wèn)題復(fù)雜，精確積分參見(jiàn)zienkiewicz (finite zienkiewicz (finite element method, 5th edelement method, 5th ed，2000)2000)。 教材上對(duì)三角形環(huán)單元具體介紹了教材上對(duì)三角形環(huán)單元具體介紹了ke和和fee的有的有關(guān)計(jì)算過(guò)程。請(qǐng)自學(xué)相關(guān)內(nèi)容。關(guān)計(jì)算過(guò)程。請(qǐng)自學(xué)相關(guān)內(nèi)容。t2dekr ab db 單元?jiǎng)偠染仃嚾钥砂凑掌矫鎲?wèn)

16、題的方法建立，但單元?jiǎng)偠染仃嚾钥砂凑掌矫鎲?wèn)題的方法建立，但需注意體積積分應(yīng)在整個(gè)環(huán)上進(jìn)行。需注意體積積分應(yīng)在整個(gè)環(huán)上進(jìn)行。 實(shí)踐證明采用近似積分也能達(dá)到一定的精度，實(shí)踐證明采用近似積分也能達(dá)到一定的精度，具體對(duì)于三角形環(huán)單元用形心處坐標(biāo)代替應(yīng)變矩陣具體對(duì)于三角形環(huán)單元用形心處坐標(biāo)代替應(yīng)變矩陣中的坐標(biāo)變量。中的坐標(biāo)變量。如何進(jìn)一步改進(jìn)積分精度？如何進(jìn)一步改進(jìn)積分精度？軸對(duì)稱問(wèn)題等參元分析軸對(duì)稱問(wèn)題等參元分析 教材上教材上p.111p.111具體給出了單剛和等效荷載結(jié)果具體給出了單剛和等效荷載結(jié)果。t12;uwnne12dnnii單元位移場(chǎng)：?jiǎn)卧灰茍?chǎng)：?jiǎn)卧枋觯簡(jiǎn)卧枋觯簍t1122;erzrz

17、rzernrriiiiiiiiiiiinnrzrzjrznnrz11112221223;iiiiiiinnnnnhjjhjjhn ri圓柱坐標(biāo)系下圓柱坐標(biāo)系下雅可比矩陣：雅可比矩陣：t132210;(1,2,)00ihhhihhe12ebbbb應(yīng)變矩陣：應(yīng)變矩陣： 如果軸對(duì)稱體上作用的非軸對(duì)稱荷載，如煙囪上作如果軸對(duì)稱體上作用的非軸對(duì)稱荷載，如煙囪上作用的風(fēng)荷載及地震荷載等，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變用的風(fēng)荷載及地震荷載等，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力將不再是軸對(duì)稱的，需按照空間問(wèn)題求解。和應(yīng)力將不再是軸對(duì)稱的，需按照空間問(wèn)題求解。軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載此時(shí)求解費(fèi)用將大大增加，如

18、何進(jìn)行簡(jiǎn)化？此時(shí)求解費(fèi)用將大大增加，如何進(jìn)行簡(jiǎn)化？ 采用半解析有限元方法，將此類問(wèn)題化為若干采用半解析有限元方法，將此類問(wèn)題化為若干軸對(duì)稱問(wèn)題疊加進(jìn)行求解。此處將軸對(duì)稱體上作用軸對(duì)稱問(wèn)題疊加進(jìn)行求解。此處將軸對(duì)稱體上作用的一般荷載的一般荷載p p( (r,zr,z, ,) )沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，并沿沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，并沿方向展開(kāi)成付氏級(jí)數(shù)：方向展開(kāi)成付氏級(jí)數(shù)：011011011( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )sin( , )cosnniiiinniiiinniiiir r z

19、r r zr r zir r ziz r zzr zz r ziz r zit r zt r zt r zit r zi軸對(duì)稱軸對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱反對(duì)稱扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載非軸對(duì)稱荷載的分解：非軸對(duì)稱荷載的分解： r0、z0 與與無(wú)關(guān)，是無(wú)關(guān)，是軸對(duì)稱荷載；軸對(duì)稱荷載；t0 與與無(wú)關(guān)、沿?zé)o關(guān)、沿 方向，是方向，是扭轉(zhuǎn)荷載；扭轉(zhuǎn)荷載；ri(r,z)cosi等是關(guān)于等是關(guān)于=0平面的對(duì)稱荷載；平面的對(duì)稱荷載；ri(r,z)sini等是關(guān)于等是關(guān)于=0平面的反對(duì)稱荷載；平面的反對(duì)稱荷載；對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱反對(duì)稱軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載將位移作類似的分解

20、：將位移作類似的分解： u0、w0 軸對(duì)稱位移；軸對(duì)稱位移；v0 扭轉(zhuǎn)位移；扭轉(zhuǎn)位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是關(guān)于是關(guān)于=0平面對(duì)稱的位移；平面對(duì)稱的位移；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是關(guān)于是關(guān)于=0平平面反對(duì)稱的位移。面反對(duì)稱的位移。011011011( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )sin( , )cosnniiiinniiiinniiiiu r zu r zu r ziu r ziw r zw r zw r ziw r ziv r zv r zv r ziv r zi軸對(duì)稱軸對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱反對(duì)稱扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱荷載 對(duì)稱荷載作用下的計(jì)算：對(duì)稱荷載作用下的計(jì)算： 對(duì)稱荷載引起的位移是對(duì)稱的：對(duì)稱荷載引起的位移是對(duì)稱的：111t11111( , )coscos00( , )cos(0cos0)( , )sin00sinijinnmiijjiijiijnniimmmiiiuuu r ziiww r ziinwvv r ziivnnuvnnie ei33iuii n sym11tttt11coscos00( , , )cos