高考排列組合-拔高難度-講義(1)

1、排列組合一、排列1.排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列（其中被取的對象叫做元素）2.排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示3.排列數(shù)公式：，并且4.全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列5.的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示規(guī)定：二、組合1.組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合2.組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元

2、素的組合數(shù)，用符號表示3.組合數(shù)公式：，并且組合數(shù)的兩個性質(zhì)：；（規(guī)定）三、排列組合一些常用方法1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2.分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏3.排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法4.捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列5.插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素

3、插空6.插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有7.分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8.錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題四、實際問題的解題策略1.排列與組合應用題三種解決途徑：元素分析法：以元素為主，

4、應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)注意：求解時應注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是 分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答2.具體的解題策略有：對特殊元素進行優(yōu)先安排；理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏；對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復；對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；順序

5、固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型 典型例題一選擇題（共2小題）1（2018合肥三模）如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有（）A24B48C96D120【解答】解：第一類：若A，D相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有一種涂法，共有432=24種，第二類，若A，D不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當B和D相同時，C有1種涂法，當B和D不同時，B，C只有一種

6、涂法，共有432（1+1）=48種，根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有24+48=72種，故選：C2（2018大荔縣模擬）如圖所示的五個區(qū)域中，要求在每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A64B72C84D96【解答】解：分兩種情況：（1）A、C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B、D有1種，有432=24種；（2）A、C同色，先涂A有4種，E有3種，E有2種，B、D各有2種，有4322=48種共有72種，故選：B二解答題（共16小題）3（2018春金鳳區(qū)校級期末）有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下

7、列條件的選法數(shù)：（1）有女生但人數(shù)必須少于男生；（2）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學科代表；（用數(shù)字回答）【解答】解：（1）先取后排，女生1人男生4人，女生2人男生3人，共有C31C54+C32C53，再把從中選出5人擔任5門不同學科的科代表有A55，故共有（C31C54+C32C53）A55=5400種，（2）先安排這一名男生，再從剩下的7人中選4人安排剩下的4門學科，共有C41A74=3360種4（2018春歷下區(qū)校級期中）某學習小組有3個男生和4個女生共7人：（1）將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？（2）將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？（

8、3）從中選出2名男生和2名女生分別承擔4種不同的任務，有多少種選派方法？（4）現(xiàn)有7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：，將3個男生全排列，有A33種排法，排好后有4個空位，將4名女生全排列，安排到4個空位中，有A44種排法，則一共有A33A44=144種排法；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：，男生甲在最右邊，有A66=720，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有A51A51A55=3000，則有720+30003720種排法；（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，有C3

9、2C42種選取方法，將選出的4人全排列，承擔4種不同的任務，有A44種情況，則有C32C42A44=432種不同的安排方法；（4）根據(jù)題意，7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，還有3個空座位，分2步進行分析：，將4名女生全排列，有A44種情況，排好后有5個空位，將3個空座位分成2、1的2組，在5個空位中任選2個，安排2組空座位，有A52種情況，則有A44A52=480種排法5（2017春林芝地區(qū)期末）4個男生，3個女生站成一排（必須寫出算式再算出結(jié)果才得分）（）3個女生必須排在一起，有多少種不同的排法？（）任何兩個女生彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（）甲乙二人之間恰好有三個人，有多少種不同

10、的排法？【解答】解：（）先排3個女生作為一個元素與其余的4個元素做全排列有A33A55=720種（）男生排好后，5個空再插女生有A44A53=1440種（）甲、乙先排好后，再從其余的5人中選出3人排在甲、乙之間，把排好的5個元素與最好的2個元素全排列，分步有A22A53A33=720種6（2017春金臺區(qū)期末）有5個男生和3個女生，從中選取5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：（1）有女生但人數(shù)必須少于男生（2）某女生一定要擔任語文科代表（3）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學科代表（4）某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數(shù)學科代表【解答】解：（1）先

11、取后排，有C53C32+C54C31種，后排有A55種，共有（C53C32+C54C31）A55=5400種（3分）（2）除去該女生后先取后排：C74A44=840種.（6分）（3）先取后排，但先安排該男生：C74C41A44=3360種.（9分）（4）先從除去該男生該女生的6人中選3人有C63種，再安排該男生有C31種，其余3人全排有A33種，共C63C31A33=360種（12分）7（2017春平安縣校級期中）五個人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)：（用數(shù)字作答）（1）甲、乙兩人相鄰； （2）甲、乙兩人不相鄰；（3）甲不在排頭，并且乙不在排尾；（4）甲在乙前，并且乙在丙前【解答】解：

12、（1）把甲、乙看成一個人來排有A44種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為A44A22=48種，（2）排除甲乙之外的3人，形成4個空，再把甲乙插入空位有A33A42=72，（3）甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：A552A44+A33=78種，（4）因為甲、乙、丙共有3！種順序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數(shù)為：A553！=20種，8（2017春南岸區(qū)校級期中）現(xiàn)由某校高二年級四個班學生34人，其中一、二、三、四班分別為7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組（1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？（3）推選二人做

13、中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，四個班共34人，要求從34人中，選其中一人為負責人，即有C341=34種選法；（2）根據(jù)題意，分析可得：從一班選一名組長，有7種情況，從二班選一名組長，有8種情況，從三班選一名組長，有9種情況，從四班選一名組長，有10種情況，所以每班選一名組長，共有不同的選法N=78910=5040（種）（3）根據(jù)題意，分六種情況討論，從一、二班學生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有79種不同的選法，從一、四班學生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班

14、學生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有910種不同的選法，所以共有不同的選法N=78+79+710+89+810+910=431（種）9（2017春諸暨市校級期中）7人站成一排，求滿足下列條件的不同站法：（1）甲、乙兩人相鄰；（2）甲、乙之間隔著2人；（3）若7人順序不變，再加入3個人，要求保持原先7人順序不變；（4）甲、乙、丙3人中從左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（5）若甲、乙兩人去坐標號為1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人兩邊都有空位的坐法【解答】解：（1）（捆綁法），把甲乙二人捆綁在一起，再和其他5人全排列，故有A22A66=1440種，

15、（2）（捆綁法），先從5人選2人放著甲乙二人之間，并捆綁在一起，再和其他3人全排列，故有A52A22A44=960種，（3）（插空法），原先7人排列形成8個空，先插入1人，再從形成的9個空再插入1人，再從10個空中插入1人，故有C81C91C101=720種，（4）（分步計數(shù)法），從7人中任取3人，如a，b，c，則改變原位置站法有2種，b，c，a和c，a，b，固有C732=70種，（5）（定序法），先全排列，再除以順序數(shù)，故有A77A33=840種，10（2017春廣東期中）用0，1，2，3，4，5，6這七個數(shù)字：（1）能組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)？（2）能組成多少個無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)

16、的五位數(shù)？（3）能組成多少個無重復數(shù)字且比31560大的五位數(shù)？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分3步進行分析：、個位從1，3，5選擇一個，有C31種選法，、千位數(shù)字不可選0，從剩下的5個中選一個，有C51種選法，、在剩下的5個數(shù)字中選出2個，安排在百位、十位數(shù)字，有A52種選法，則C31C51A52=300個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)；（2）分2種情況討論：、個位數(shù)上的數(shù)字是0，在其余的4個數(shù)字中任選4個，安排在前4個數(shù)位，有A64種情況，則此時的五位數(shù)有A64個；、個位數(shù)上的數(shù)字是5，首位數(shù)字不可選0，從剩下的5個中選一個，有C51種選法，在剩下的5個數(shù)字中選出3個，安排在中間3個數(shù)位，有C51A5

17、3種情況，則此時符合條件的五位數(shù)有C51A53個故滿足條件的五位數(shù)的個數(shù)共有A64+C51A53=660個；（3）符合要求的比31560大的五位數(shù)可分為四類：第一類：形如4，5，6，共C31A64個；第二類：形如32，34，35，36共有C41A53個；第三類：形如316，共有A42個；第四類：形如3156，共有2個；由分類加法計數(shù)原理知，無重復數(shù)字且比31560大的四位數(shù)共有：C31A64+C41A53+A42+2=1334個11（2017春吉林期中）有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)：（1）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？（2）恰有2個盒不放球，共有幾種放法？【解答】解：

18、（1）根據(jù)題意，分三步進行分析：第一步，從4個小球中取兩個小球，有C42種方法；第二步，將取出的兩個小球放入一個盒內(nèi)，有C41種方法；第三步，在剩下的三個盒子中選兩個放剩下的兩個小球，有A32種方法；由分步計數(shù)原理，共有C42C41A32=144種放法（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：第一類，一個盒子放3個小球，一個盒子放1個小球，兩個盒子不放小球有C41C43C31=48種方法；第二類，有兩個盒子各放2個小球，另兩個盒子不放小球有C42C42=36種方法；由分類計數(shù)原理，共有48+36=84種放法12（2017秋鄱陽縣校級期中）現(xiàn)有10個教師其中男教師6名，女教師4名；（1）現(xiàn)要從中選2名去參

19、加會議，有多少種不同的選法？（2）現(xiàn)要從中選出男教師、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，要求從10人中任選2人，則不同的選取方法有C102=45種，（2）根據(jù)題意，分2步分析：、先在6名男教師中任選2人，有C62=15種取法，、再在4名女教師中任選2人，有C42=6種取法，則不同的選取方法有156=90種13（2017春集寧區(qū)校級期中）袋中裝有大小相同的4個紅球和6個白球，從中取出4個球（1）若取出的球必須是兩種顏色，則有多少種不同的取法？（2）若取出的紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)，則有多少種不同的取法？（3）取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若取4球的總

20、分不低于5分，則有多少種不同的取法？【解答】（12分）（每小問4分）解：（1）分三類：3紅1白，2紅2白，1紅3白這三類，由分類加法計數(shù)原理有：C43C61+C42C62+C41C63=194（種）（2）分三類：4紅，3紅1白，2紅2白，由分類加法計數(shù)原理共有：C44+C43C61+C42C62=115（種）（3）由題意知，取4球的總分不低于5，只要取出的4個球中至少一個紅球即可因此共有取法：C41C63+C42C62+C43C61+C44=195（種）14（2017春玉田縣期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同學，求：（1）5位同學站成一排，甲、戊不在兩端有多少種不同的排法？（2）5位同學站成一排

21、，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？（3）將5位同學分配到三個班，每班至少一人，共有多少種不同的分配方法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：、甲、戊不在兩端，在中間的三個位置任選2個，安排甲、戊2人，有A32=6種排法，、將乙、丙、丁三人安排在剩下的三個位置，有A33=6種排法，則甲、戊不在兩端有A32A33=36種排法；（2）分3步進行分析：、將甲乙看成一個整體，考慮甲乙之間的順序，有A22=2種情況，、將這個整體與戊2人全排列，有A22=2種順序，排好后，有3個空位，、在3個空位中任選2個，安排丙丁，有A32=6種情況，則共有226=24種不同的排列方法；（3）

22、分2步進行分析：、將5個同學分成3組，若分成1、1、3的三組，有C51C41C33A22=10種分法，若分成1、2、2的三組，有C51C42C22A22=15種分法，則一共有10+15=25種分組方法；、將分好的三組對應三個班，有A33=6種情況，則一共有256=150種不同的分配方法15（2017春大豐市校級期中）現(xiàn)有2位男生和3位女生共5位同學站成一排（用數(shù)字作答）（1）若2位男生相鄰且3位女生相鄰，則共有多少種不同的排法？（2）若男女相間，則共有多少種不同的排法？（3）若男生甲不站兩端，女生乙不站最中間，則共有多少種不同的排法？【解答】解：（1）利用捆綁法，可得共有A22A22A33=2

23、4種不同的排法；（2）利用插空法，可得共有A22A33=12種不同的排法；（3）利用間接法，可得共有A553A44+C21A33=60種不同的排法16（2017春新市區(qū)校級月考）現(xiàn)有4名男生、3名女生站成一排照相（結(jié)果用數(shù)字表示）（1）女生甲不在排頭，女生乙不在排尾，有多少種不同的站法？（2）女生不相鄰，有多少種不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：、女生甲排在隊尾，女生乙有6個位置可選，剩下的5人全排列，安排在其他5個位置，有A55種情況，此時有6A55=720種站法；女生甲排不在隊尾，女生甲有5個位置可選，女生乙不在排尾，女生乙有5個位置可選，剩下的5人全排列，安排在其他5個位置，有A55種情況，此時有55A55=3000種站法；則一共有720+3000=3720（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：、將4名男生全排列，有A44=24種順序，排好后包括兩端，有5個空位，、在5個空位中任選3個，安排3名女生，有A53=60種情況，則此時有2460=1440種站法；（3）根據(jù)題意，將7人全排列，有A77=5040種順序，女生甲在女生乙的右方與女生甲在女生乙的左方的數(shù)目相同，則女生甲要在女生乙的右方的排法有12A77=2520種情況17（2017春江西月考）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法種