聯(lián)結詞在兩直線平行應用的思考(20210316201733)

1、聯(lián)結詞在兩直線平行應用的思考 【摘 要】隨著新課程的推行，對于教材的地位與作 用的理解更加深入和到位，對于課本或者是一些參考書中所 提的一些相關的知識應用和推廣有了更加廣闊和深刻的認 識，本文是筆者對于兩直線平行的充要條件提出的一些個人 的認識和看法。 【關鍵詞】或；充要條件；等價性；探究 在高中數(shù)學必修 2 第三章直線與方程中，我們學習 了直角坐標系下兩直線位置關系的判定方法。課本利用兩直 線的傾斜角關系得出兩直線平行或垂直之間相應的斜率關 系，但對于兩直線重合無法直接給出判斷。直到學習了直線 的方程，從直線的方程給出了明確的常見判斷方式：一種利 用斜截式并考慮斜率不存在情況；另一種則是利用

2、一般式探 究出未知數(shù) x、 y 的系數(shù)之間相應的關系，常見于試卷的考 題和相應的一些參考書中。但是大部分的教輔資料給出的等 價性結論多少存在不足，沒有很好地說明兩直線平行或垂直 的完整性。 一、問題的提出和分析 我們知道，當兩直線都是斜截式時，兩直線平行的充要 條件是：兩直線斜率相等，且在 y 軸上的截距不相等。即 已知直線11 : y=k1x+b1 , 12 : y=k2x+b2貝U 11 II 12的充要條件 是：k仁k2且bizb2。當然這只是一般情況，還應考慮斜率 不存在情況，即 x=c1， x=c2， ci工c2。 一般來說直線方程之間可以互相轉化，所以在解題時每 次都要直線方程的形

3、式化為斜截式，這不但增加了解題的難 度而且也容易出錯（遺落斜率不存在情況） 。那么能否給出 相應的等價性結論呢？ 在討論平行的位置關系時， 有些教學資料書 （教輔材料） 上給出了這樣的結論： 若直線 11 : A1x+B1y+C1=0 , 12 : A2x+B2y+C2 =0，貝 11I 12 的充要條件是 A1B2-A2B1=0 ，且 A1C2-A2C1 工 0 （I）。 也有些資料書上給出的結論是： A1B2-A2B1=0 ，且 B1C2-B2C1 工 0 （H）。 那么這兩個結論是否能夠很好地解決直線的平行問題 呢？如果用上面結論（I）或（H）解題的過程會相對簡單 明了。那么用上面兩個結

4、論中的任一個去解題，對各種題型 能否充分的反饋出正確求解嗎？下面先看用不同方法探究 兩個例子的求解： 探究 1.已知直線 11 : x+ay+6=0 ， 12:（ a-2） x+3y+2a=0 求 11 I 12 的充要條件。 解：方法一： （用斜截式中的結論，討論斜率） 當 a=0 時，直線 l1 的斜率不存在， 兩直線為 l1 ：x+6=0 ， l2： -2x+3y=0 ，顯然不符合題意。 當 az 0 時，貝y 11: ay=-x-6 , 12 : 3y=- (a-2) x-2a / 11 II 12。 解得 a=-1。 方法二:應用結論( I ) A1B2-A2B1=0 ，且 A1C2

5、-A2C1 z 0。 / 11 II 12 3-a (a-2) =0 且 2a-6 (a-2)工 0。 即a2-2a-3=0且-4a+12工0. a=-1與方法一相符。 方法三:應用結論( II) A1B2-A2B1=0 ，且 B1C2-B2C1 z 0。 v 11 II 12 3-a (a-2) =0 且 2a2-18工 0 a=-1 與方法一 相符。 通過上述解答方法二、三與方法一得到的答案一致，而 且方法二、三簡單很多，學生只要記住公式直接代入公式求 解，而且避免了討論斜率問題對于本題來說應用結論會簡潔 一點。 探究 2:已知直線 11:(a2-1) x+ay-1=0， 12:(a-1)

6、 x+ (a2+a) y+2=0，若 11 II 12，求 a 的值。 解:方法一: (用斜截式中的結論，討論斜率) 。 當 a=0 時，貝y 11 : -x-1=0 , 12 : -x+2=0 可得 11 II 12。 當 a2+a=0 時可得 a=0 或 a=-1 ， a=0 與前面一樣符合題 意，當 a=-1 時，貝y 11 : y+1=0 , 12 :-2x+2=0 可得 11 不平 行 l2 不符合題意。 當az 0且az -1時，由11 II 12得解得a=1或a=-2。 綜合以上可知，當a=0或a=1或a=-2時，11 II 12。 方法二：應用結論（ I）A1B2-A2B1=0

7、 ，且 A1C2-A2C1 z 0。 / 11 II 12 所以（ a2-1）（a2+a）-a（a-1）=0 且 2（a2-1）-（a-1） z 0。 解得 a=0 或 a=-2 與方法一比較少了 a=1 的解 方法三：應用結論（ II）A1B2-A2B1=0 ，且 B1C2-B2C1 z 0。 / 11 II 12 所以（ a2-1）（a2+a）-a（a-1）=0 且 2a-（a2+a）z 0。 解得 a=1 或 a=-2 與方法一比較少了 a=0 的解 從上述解答中， 方法一與方法二、 方法三的答案不相同， 我們不妨把這些值代入檢驗，可以發(fā)現(xiàn)只有方法一的答案是 全面的，方法二少了 a=1

8、的解剛好是的相應的 A1=0 ， A2=0 的情況，方法三少了 a=0 的解剛好了是的相應的 B1=0， B2=0 的情況?？梢娫谝话闶街杏伤鼈兊南禂?shù)關系給出的判斷條件 不是充要條件。因此，在教育教學過程中，老師如果沒有明 確闡述（對比）直線方程中系數(shù)之間的正確關系，在學生學 習中會引起懷疑與不確定性，在解題與應用中產生混亂導致 判斷錯誤。 結合探究 1 和探究 2我們發(fā)現(xiàn)之所以會出現(xiàn)兩種不同的 結果，關鍵點在于探究 1 中兩直線 l1：x+ay+6=0，l2：（a-2） x+3y+2a=0 的系數(shù)中不會出項 A1=0 ，A2=0 和 B1=0 ， B2=0 的情況；而探究 2 中兩直線 l1

9、：（a2-1）x+ay-1=0，l2：（a-1） x+ （ a2+a） y+2=0 的系數(shù)中會出現(xiàn) A1=0 ，A2=0 和 B1=0， B2=0 的情況，因此導致了兩結論的不完整。 類似的 我們還可以自己構造一些直線11 , 12的方程，由11 II 12求相 應的參數(shù)。 如：（1 ）已知直線 11 ：x+（m-1 ）y+6=0 ， 12：（m-2） x+3my+2m=0，且 11 II 12，求 m 的值。 （2）已知直線 11 ：x+m2y+6=0 ， 12：3x+3my+2m=0 ， 且11 II 12，求m的值。 上面的（ 1）（2）我們很容易看出（ 1）與探究 1 的問題 一樣兩個

10、結論應用上去得到的答案一樣；而（2）因為存在 m2=0， 3m=0 的情況所以得到的答案不完整。 通過以上幾個例子我們不難發(fā)現(xiàn)只要我們再增加考慮 A1=0 , A2=0 （結論I）和B仁0, B2=0 （結論II）的情況即 可以得出正確的答案。 二、反思求解 那么前面結論（I）（H）表示的式子是兩直線平行的 什么條件呢？ 我們可以看出只是必要條件，忽視了A1=0 ，A2=0 或 B1=0， B2=0 的情況不具備充分性。 那么兩直線11 II 12的充要條件到底是什么呢？ 結合上述的解答我們不難發(fā)現(xiàn)，如果我們把探究 2 中的 方法二、三中 a 的范圍取并集，其所得范圍和方法一所得 a 的范圍是

11、一致的，也就是條件(I)(H)的并集。結論I 忽視了 A仁0, A2=0,結論II忽視了 B仁0, B2=0的，只要 把兩個結論綜合起來也就是取并集所得到的結論剛好是兩 直線平行的充要條件。 三、提出結論 所以從上述的探究中我們可以得出這樣的結論： 若直線 11 : A1x+B1y+C1=0 , 12 : A2x+B2y+C2 =0，則 l1 I l2 的充要條件是： “ A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1 工 0” 或 “ A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1 工 0” 但是這里要注意這個“或”的意義，是取它們兩個條件 下的并，而不是像我們平時所說的兩者取其一即可。 其實也可以如下敘述：直線 11 I 12 的充要條件是： A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1 及 B1C2-B2C1 中至少有一個 不為零，同樣這里我們要注意理解的是“至少” ，它包含的 意思一樣。 通過上述的問題我們不難發(fā)現(xiàn)邏輯聯(lián)結詞的重要性，特 別是“且”與“或”的應用，數(shù)學上的“或”可以理