材料力學-彎曲應力1

1、第7章彎曲應力彎曲應力回顧與比較內力內力NFA應力應力xpMIFAyFQM?1、純彎曲 梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力純彎曲 梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力橫力彎曲7.1 梁彎曲時的正應力梁彎曲時的正應力1）純彎曲及橫力彎曲2）純彎曲時的現象b ) 縱向線彎曲成弧線并有伸縮, 只有一層纖維不發(fā)生伸縮。中性層:縱向纖維不發(fā)生伸縮的面.中性軸:中性層與橫截面的交線.a ) 橫向直線仍然保持為直線,繞 某軸轉動,仍然與縱向線垂直。 3）根據上述現象，可提出如下假設： a. 平面假設：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只平面假設：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉過一個角度，仍垂是轉過

2、一個角度，仍垂直于變形后梁的軸線。直于變形后梁的軸線。 b. 各縱向纖維間無正應力假設：梁由無數縱向纖維組成，各各縱向纖維間無正應力假設：梁由無數縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。 為了研究純彎曲梁橫截面上的正應力分布規(guī)律及計算，為了研究純彎曲梁橫截面上的正應力分布規(guī)律及計算，要綜合考慮變形的幾何關系，物理關系及靜力平衡關系。要綜合考慮變形的幾何關系，物理關系及靜力平衡關系。 dx1）變形幾何關系）變形幾何關系2、正應力推導正應力推導oo2）物理關系）物理關系胡克定理胡克定理EyEdxdxdxb bbb 1）變形幾何關系）變形幾何關系3）靜力

3、學條件）靜力學條件yE結論:中性軸通過形心,與形心軸重合.對z軸靜矩為零yEz1MEI結論: y、z軸為形心主軸慣性積為零正應力公式：正應力公式：變形幾何關系變形幾何關系物理關系物理關系yEyE靜力學關系靜力學關系Z1EIMZIMy為梁彎曲變形后的曲率為梁彎曲變形后的曲率1為曲率半徑為曲率半徑正應力分布正應力分布ZIMymaxmaxzMyImaxzMWzzmaxIWyminzMWmaxminMzyCxy- - 抗彎截面模量抗彎截面模量常見截面的常見截面的 Iz 和和Wz矩形截面矩形截面:空心矩形截面空心矩形截面:2zAIy dAzzmaxIWy3z12bhI 2z6bhW 3300z1212b

4、 hbhI 3300z0()/(/2)1212b hbhWh常見截面的常見截面的 Iz 和和Wz圓截面：圓截面：空心圓截面：空心圓截面：2zAIy dAzzmaxIWy4z64dI3z32dW44z(1)64DI34z(1)32DW常見型鋼截面：常見型鋼截面：見 P.264274 各類型鋼表各類型鋼表7.2 彎曲正應力強度計算1、橫力彎曲時的正應力1）橫力彎曲2）橫力彎曲正應力公式z( )M x yI 彈性力學精確分析表明，彈性力學精確分析表明，當跨度當跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之之比比 l / h 5 （細長梁）時，（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力純彎曲正應力公式對于橫力

5、彎曲近似成立，有：彎曲近似成立，有：適用范圍：適用范圍： （1）細長梁的純彎曲或橫力彎曲；（2）橫截面慣性積 Iyz = 0；（3）彈性變形階段2、梁彎曲的最大正應力任一橫截面上的最大正應力全梁的最大正應力1) 等直梁zIMymaxmaxzIyMmaxmaxmaxzWMmaxmaxmaxyIWzz3) 無水平對稱軸的梁max1,maxtzMyImax2,maxczMyI最大彎曲拉應力最大彎曲壓應力y2y1yz拉壓 2) 變截面梁:綜合考慮M 和 確定zIymax3、彎曲強度條件maxmaxzWMmax1,maxttzMyImax2,maxcczMyI（2）特殊截面且材料抗拉壓強度不等的構件：（

6、1）常用彎曲強度條件：BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1 1）C 截面上截面上K點正應力點正應力2 2）C 截面上截面上最大最大正應力正應力3 3）全梁全梁上上最大最大正應力正應力4 4）已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑 FQx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1) 求支反力求支反力90kNAyByFF3354z0.12 0.185.832 10 m1212bhI33CKK5z618060 10(30) 1025.832 1061.7 10 Pa61.7MPaMyI 解：解：例題例題 圖示矩

7、形截面梁，試確定：圖示矩形截面梁，試確定：BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FQx90kN90kN2) C 截面最大正應力C 截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩54z5.832 10 mImaxmaxz335618060 101025.832 1092.55 10 Pa92.55MPaCCMyIBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FQx90kN90kN3) 全梁最大正應力全梁最大正應力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM截面慣性矩截面慣性矩45m10832. 5zImax

8、maxmaxz335618067.5 101025.832 10104.17 10 Pa104.17MPaMyIMxm67.5kN8/2ql FQx90kN90kN4）C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩截面慣性矩54z5.832 10 mI95ZC3C200 105.832 1060 10194.4mEIMEIM1由由BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K例題例題 圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的許用

9、應力材料的許用應力.MPa60mm1601d1 1）計算簡圖）計算簡圖解：解： zIyMmaxmaxmax（a a）（b b）彎矩）彎矩 最大的截面最大的截面M（c c）抗彎截面系數）抗彎截面系數 最最 小的截面小的截面zW zWMmaxmax2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖FaFb3 3）分析危險截面分析危險截面B截面，截面，C右右截面需校核截面需校核4 4）強度校核）強度校核B截面：截面： max331662.5 267 320.163241.5 10 Pa41.5MPaBzBMFadW 6max33262.5 160 3246.4 10 Pa46.4MPa0.1332CzCMFbdWC截面：截

10、面：5 5）結論）結論: :滿足強度條件滿足強度條件FaFb分析分析, ,計算計算 。（1 1）確定危險截面）確定危險截面maxM（3 3）計算）計算 ，選擇工，選擇工 字鋼型號字鋼型號zW例題例題 某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重自重材料的許用應力材料的許用應力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F 起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。 zWMmaxmax（2 2）（4 4）選擇工字鋼型號）選擇工字鋼型號（3 3）根據）根據 zWMmaxmax計算計算 3max6633(6.

11、750) 109.54140 10962 10 m962cmzMW（1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖解：解：36c36c工字鋼工字鋼3cm962zW作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面 ccttmax,max,要同時滿足要同時滿足分析：分析： 非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置例題例題 T T型截面梁，截面尺寸如圖示；型截面梁，截面尺寸如圖示；試校核梁的強度。試校核梁的強度。 MPa,60,MPa30ct80 20120 208080 20 120 2052mmcy （-10）（-）（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的

12、慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI（1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：（4 4）B 截面校核截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖kN.m5 .2kN.m4（5 5）C 截面計算截面計算 ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,B 截面校核結果：截面校核結果： ttMPa2 .27max, ccMPa1

13、 .46max,kN.m5 .2kN.m4 C 截面要不要校核？截面要不要校核？ 結論：滿足強度條件結論：滿足強度條件 簡要分析危險位置？簡要分析危險位置？Mmax=Fa =12kNm2）選擇截面尺寸解出：h = 2b = 244mm由強度條件62maxmaxmaxbhMWMz及2bh例題 已知: F =10kN, a =1.2m, =10MPa，h:b =2；試確定:梁的截面尺寸。mmMb122233選用125250mm2 的矩形截面解:1）作彎曲圖，確定最大彎矩：FF3FABEChbaaaaDM 圖FaFa(+)(-)2Fa(-)(66222bdbMbhMWMzzzz03)(dddd223

14、2bdbbdbbWzd33b222232dbdh2bh * *例題 將直徑為d的圓木鋸成矩形截面梁，受力及尺寸如圖所示；試求下列兩種情形下h 與b 的比值。1）橫截面上的最大正應力盡可能?。?）曲率半徑盡可能大。 （正應力盡可能小）解：解：1） 正應力盡可能小MMzzzEIM112123223hhdbhIz0ddhIz2243dh222241dhdb3bh ，得 （曲率半徑盡可能大）2）曲率半徑盡可能大7.4 梁彎曲時的剪應力梁彎曲時的剪應力 a) 在有剪應力存在的情形下，彎曲正應在有剪應力存在的情形下，彎曲正應力公式依然適用；力公式依然適用；b) 剪應力方向與剪力的方向相同，并沿截剪應力方向

15、與剪力的方向相同，并沿截面寬度方向剪應力均勻分布面寬度方向剪應力均勻分布（對于狹長的矩（對于狹長的矩形截面適用）。形截面適用）。 在上述前提下，由平衡直接確定橫截面在上述前提下，由平衡直接確定橫截面上的剪應力，而無須應用上的剪應力，而無須應用“變形、物理及平衡變形、物理及平衡關系關系”推導。推導。1、矩形截面剪應力矩形截面剪應力lABF(+)(-)QF圖bh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1) 1) 沿沿 mm，nn 截面截開，截面截開， 取微段取微段dx。mmnndxmmnnQFQFMM+dMmmnn12kl圖M(+)mn12kl2) 2) 沿沿kl 截面截開，根據剪應力的互等定理：

16、截面截開，根據剪應力的互等定理： dx 很小，在很小，在 kl 面上面上 可認為均布。可認為均布。 1NF2NFQF120NQNFFF3) 列平衡方程，由列平衡方程，由 ：0 xF即即0)(2121AAdAbdxdA( )a而而,11zIMyzIydMM12)(代入得式代入得式( (a) )得：得：01111AzAzdAyIdMMbdxdAyIM11AzdAyIdMbdx*zSzzbISdxdM*QF*QzzF SbI式中：式中： Q 橫截面上剪力橫截面上剪力 需求剪應力處，水平線以下（或以上）部分需求剪應力處，水平線以下（或以上）部分 面積對面積對中性軸的靜矩。中性軸的靜矩。 *zS*A整個

17、橫截面對中性軸的慣性矩。整個橫截面對中性軸的慣性矩。 zIb 需求剪應力處橫截面寬度。需求剪應力處橫截面寬度。 *zzQSI b 在在 處，處， 在在 處，剪應力最大，即：處，剪應力最大，即： 2hy 0; 0y max3322QQbhA 最大剪應力是平均剪應力最大剪應力是平均剪應力 的的 1.5倍。倍。 QA 平平從上式可知，剪應力分布是沿從上式可知，剪應力分布是沿梁的高度按拋物線規(guī)律分布梁的高度按拋物線規(guī)律分布.2233(4)2Qhybh 2、工字形工字形截面梁的彎曲剪應力截面梁的彎曲剪應力翼緣翼緣1）腹板）腹板*( )QzzF SyI)(yz腹板腹板式中式中: (y)：截面上距中性軸：截

18、面上距中性軸 y 處的剪應力處的剪應力 ： y 處橫線一側的部分面積對中性軸的靜矩處橫線一側的部分面積對中性軸的靜矩*zS ：整個截面對中性軸的慣性矩：整個截面對中性軸的慣性矩zI ：y 處的寬度處的寬度 y 腹板上的剪應力呈拋物線變化，腹板部分的腹板上的剪應力呈拋物線變化，腹板部分的剪應力合力占總剪力的剪應力合力占總剪力的9597%。,maxmaxQzzF SI,max(/)QzzFIS2）最大剪應力）最大剪應力3、其它形狀其它形狀截面梁的最大剪應力截面梁的最大剪應力1）圓截面）圓截面max43QFA2) 圓環(huán)截面圓環(huán)截面zyQFmaxmax2QFA21K環(huán)形圓形工字形矩形 截面系數3423

19、3）各種截面的最大剪應力 統(tǒng)一表達式：mKmax4、剪應力強度條件剪應力強度條件,maxmaxmax() QzzF SI在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：1 1）對于細長梁的彎曲變形，正應力）對于細長梁的彎曲變形，正應力的強度條件是主要的，剪應力的強度的強度條件是主要的，剪應力的強度條件是次要的。但對于較粗短的梁，條件是次要的。但對于較粗短的梁，當集中力較大時，截面上的剪力較大當集中力較大時，截面上的剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁及膠合而彎矩較小，或是薄壁截面梁及膠合梁等等時，則需同時校核正應力強度梁等等時，則需同時校核正應力強度及剪應力強度。及剪

20、應力強度。在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：例題 圖示梁，已知:F、 l 、b 、h；求:1） max= ? 2） max:max = ?2）計算最大剪應力FABl/2l/2C2FFmaxQ4FlMmaxmaxmax3324QFFAbhhb(-)(+)FQ圖2F2F解: 1）作剪力圖和彎矩圖，確定最大剪力和最大彎矩：(+)M圖4Fl4）比值22zmaxmaxbh2Fl36bh4FlWM3）計算最大正應力l2hFl3bh2bh4F32maxmax%10101522maxmaxhhlh示例：l = 5h4FlMmaxmax34FbhFABl/2l/2Chb

21、(-)(+)FQ圖2F2F(+)M圖4Fl例題例題 懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為1m。膠合面的許可剪。膠合面的許可剪應力為應力為0.34MPa，木材的，木材的= 10 MPa，=1MPa，求其許可，求其許可載荷。載荷。 21maxmax6bhlFWMz1) 1) 畫梁的剪力圖畫梁的剪力圖 和彎矩圖和彎矩圖2) 2) 按正應力強度條件按正應力強度條件 計算許可載荷計算許可載荷 QF FM Fl 27291101003.75kNbhFl max23/23/2QFAFbh3) 3) 按剪應力強度條件計算許可載荷按剪應力強度條件計算許可載荷

22、 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解： 2*33g343312QZgzhFbF SFbhI bbhb4）按膠合面強度條件計算許可載荷按膠合面強度條件計算許可載荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhF 5 5）梁的許可載荷為）梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzQF F解：1)計算支反力，作剪力圖和彎矩圖2）根據最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表，選用22a工字鋼試選擇適用的工字鋼型號例題* * 簡支梁AB如圖示。l =2m，a=0.2m；梁上