均值不等式的應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載均值不等式的應(yīng)用吳志娟考試要求：掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng) 用.教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生進(jìn)一步掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的相關(guān)知識(shí)，能利用均值定 理解決相關(guān)冋題；2通過(guò)對(duì)均值不等式的應(yīng)用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生 運(yùn)算能力和邏輯推理能力.3在學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的過(guò)程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極 探索的態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣，形成積極探索的研究態(tài)度.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：均值定理使用的條件既是教學(xué)重點(diǎn)又是教學(xué)的難點(diǎn).教學(xué)手段：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)教學(xué)方法；啟發(fā)式，談話式 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：均值不等式以及與之相

2、關(guān)的不等式內(nèi)容基本形式其他形式a2 +b2若 a,bR，貝U ab 蘭-2（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“二”）若 a,b R，貝q a2 +b2 X2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）.2 2若 a,b R，則（a*b）2 蘭 a *b 2 2（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“二”）若 a, b R*，貝U a + b 2J ab（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“二”）若 a,bR ，貝U ab 蘭-）l 2丿（當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取“二”）均值定理及重要變形若 a, b 匸 R，貝UAab2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”）若 ab = O，則-+- 2b a（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“二”）指出：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植

3、時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正 數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例2 若x,y是正數(shù)，則丄、2(1 +rd的最小值是A. 3B.7C. 4D.-解:x丄2y丄=x2x2 丄 y2丿.丄2 y2y 4yx 4x師：均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決 實(shí)際問(wèn)題方面有著廣泛的應(yīng)用.師：均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍，證明不等式、解決 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題方面有著廣泛的應(yīng)用，下面舉例說(shuō)明：二、應(yīng)用舉例：1、均值定理在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用：例1、若實(shí)數(shù)滿足a b =2

4、，則3a 3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且3a 3b定值，因此考慮利用均 值定理求最小值，解：3a和3b 都是正數(shù)，3a 3b 2 3a 3b = 2.3a b =6當(dāng)且僅當(dāng)3a =3b時(shí)等號(hào)成立，由a 5=2及3a =3b得a=b = 1即當(dāng)a = b =1時(shí)，3a 3b的最小值是6.2 1x = -4x2廠當(dāng)且僅當(dāng)丿x = y ，即x = y =時(shí)等號(hào)成立故選Co224y =13例3 .設(shè)Q x -，求函數(shù)y二4x(3 - 2x)的最大值。23解：0 x ： 21+2+1=4學(xué)習(xí)好資料歡迎下載= 4x(3-2x) =2 2x(3-2x)乞 23(3當(dāng)且僅當(dāng)2x=32

5、x,即x=3 b? i時(shí)等號(hào)成立。4l 2丿二均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例 4若 a b 1, P = lg a lg b,Q = gig a lg b), R = lg(-b)，則 P,Q, R 的 大小關(guān)系是_. _分析：a b 1 iga O,lg b 0Q =2 (lga lgb) . lga lgb = pa +b 1R = lg( ) lg ab lg ab = Q RQP2、求最值：三均值定理在求變量取值范圍中的應(yīng)用：例5.若正數(shù)a,b滿足aa b 3，則ab的取值范圍是 _.分析：因?yàn)閍,b是正數(shù)ab = a +b +3 X33，3ab a3b3 _81abI ab 0 ab

6、 _ 9當(dāng)且僅當(dāng)a =b =3即時(shí)等號(hào)成立。故ab的取值范圍是9 , +x)。點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式 U_=ab(a,bR )的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)2算能力；如何由已知不等式aa b 3( a,bR )出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵 是尋找到ab與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式 七上八ab (a,bR )，這樣 將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.三、課堂小結(jié)：1、 二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”，和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和 式”的“放縮功能” 2、 創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，(2x+3-2x292學(xué)習(xí)好資料歡迎下載而拆與湊的成因在于使等

7、號(hào)成立.3、注意均值定理成立的條件：“一正，二定，三取等”設(shè)計(jì)說(shuō)明：本節(jié)課是高考一輪復(fù)習(xí)中的一節(jié)課均值不等式的應(yīng)用，下面從五個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì)說(shuō)明：一.關(guān)于本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容的地位與作用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理（簡(jiǎn)稱不等式的平均值定理）及 重要不等式a2b2 _2ab是證明不等式、求某些函數(shù)的最大值、最小值的理論依 據(jù)，它們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛。二. 關(guān)于本課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的制定：鑒于本課時(shí)知識(shí)的特點(diǎn)和作用，我從以下三個(gè)方面制定了教學(xué)目標(biāo)：1為使學(xué)生能準(zhǔn)確掌握均值定理的內(nèi)容及不等式成立的條件，并能利用均 值定理解決求最值、比較大小、求變量的取值范圍等問(wèn)題，制定了教學(xué)目標(biāo)1;2數(shù)

8、學(xué)教育的基本目標(biāo)之一就是要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)生在學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、演繹 證明等思維過(guò)程，這些過(guò)程對(duì)于提高學(xué)生的一般科學(xué)素養(yǎng)， 形成和發(fā)展他們的數(shù) 學(xué)品質(zhì)，必將起著十分重要的作用，因而制定了教學(xué)目標(biāo)2;3為使學(xué)生養(yǎng)成求實(shí)、說(shuō)理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習(xí)慣，在教學(xué)過(guò)程 中，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極探索的態(tài)度，勤奮好學(xué)、勇于克服 困難和不斷進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，制定教學(xué)目標(biāo) 3。三. 關(guān)于教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)說(shuō)明：應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理求最大、最小值是教學(xué)重 點(diǎn)；數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用是本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)?！皩⒌湫蛦?wèn)題分類”的教學(xué)

9、結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、“教師適時(shí)引導(dǎo)和學(xué)生自主探究相 結(jié)合”的教學(xué)方式以及多媒體課件的合理使用的選擇，保證了重點(diǎn)內(nèi)容的突出?！皩?duì)知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)匿亯|，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”的教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)、教學(xué)方式的 選擇使得難點(diǎn)得以突破。四. 關(guān)于教學(xué)方式及教學(xué)手段的選擇：按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，教師要努力為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方 式創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成 獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。據(jù)此制定了以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景為平臺(tái)， 學(xué)生思維訓(xùn)練 為主線，師生、生生互動(dòng)為形式的啟發(fā)探索的教學(xué)方式。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師的身份始終是啟發(fā)者、鼓勵(lì)者和指導(dǎo)者。即要有對(duì) 正確認(rèn)識(shí)的贊賞，又要有對(duì)錯(cuò)誤

10、見(jiàn)解的包容及對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)， 教師在教學(xué)過(guò)程中 要對(duì)學(xué)生的見(jiàn)解延遲判斷，甚至完全交給學(xué)生評(píng)判。力求通過(guò)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、 探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。本節(jié)課采用“傳統(tǒng)板書與Powerpoint演示相結(jié)合”的教學(xué)手段。教學(xué)中合理使用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)：利用 PowerPoint制作幻燈片，增大課堂 學(xué)習(xí)好資料歡迎下載容量，提高課堂效率；分析與解析過(guò)程教師用粉筆板書， 符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)學(xué)生的整個(gè)思維過(guò)程，有利于知識(shí)的掌握與思維能力的提高。五. 關(guān)于教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)為了達(dá)到上述教學(xué)目標(biāo)，強(qiáng)化重點(diǎn)內(nèi)容并突破教學(xué)中的難點(diǎn)， 在課堂教學(xué)過(guò) 程中，我首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平

11、均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理及其變形 形式，強(qiáng)調(diào)定理的條件和利用定理求最值時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題， 然后按照均值定理在 求最值、比較大小、求變量的取值范圍三方面的應(yīng)用舉例說(shuō)明。 在解決問(wèn)題的過(guò) 程當(dāng)中，我讓學(xué)生自主探求，互相交流，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，同時(shí)教師參與 討論，并適當(dāng)加以引導(dǎo)，幫助學(xué)生激活先前知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，探尋問(wèn)題的解決辦法， 讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和互助交流的過(guò)程中獲得知識(shí)，培養(yǎng)能力。最后， 我讓學(xué)生自主小結(jié)本節(jié)課的知我讓學(xué)生通過(guò)自主研究， 互相交流，教師參與討論, 并適當(dāng)加以引導(dǎo)，幫助學(xué)生激活先前知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，探尋問(wèn)題本質(zhì)。最后，我引導(dǎo) 學(xué)生自主小結(jié)本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容，這樣設(shè)計(jì)小結(jié)使學(xué)生通過(guò)反思

12、，深化知識(shí)理解, 領(lǐng)悟思想方法，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載教學(xué)反思:本節(jié)均值不等式的應(yīng)用課是高考一輪復(fù)習(xí)課，通過(guò)教學(xué)大多數(shù)學(xué)生熟練 掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，能夠利用定理解決求最值、比 較大小、求取值范圍等相關(guān)問(wèn)題。在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，我感到比較成功之處 有兩個(gè)：1在課堂上，每一個(gè)學(xué)生都是課堂的主人，課程的推進(jìn)以學(xué)生的自我探究 為主，教師密切關(guān)注學(xué)生的思維動(dòng)向，適時(shí)伸出援手，進(jìn)行指導(dǎo)和幫助，這樣自 然而然地使教學(xué)內(nèi)容深入下去、 進(jìn)行下去。通過(guò)師生的共同探討，得到相應(yīng)的結(jié) 論，這些結(jié)論是一種過(guò)程體驗(yàn)的成果， 是師生共同努力與探究的結(jié)果，是師生情 感共歷的結(jié)晶。2我相信大多數(shù)學(xué)生都蘊(yùn)藏著巨大的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和積極性（因?yàn)閿?shù)學(xué) 本身具有結(jié)著無(wú)窮的魅力），在課堂上，我努力創(chuàng)設(shè)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的課堂 氛圍，讓學(xué)生愛(ài)上數(shù)