AHP層次分析法

1、AHP 法:3）員工素質評價體系謝富紀-企業(yè)知識型員工的系統(tǒng)管理與評價（4）苴他：其他：單層指標模型:STEP,: CRmax(n-1)RI0.1AHP層次分析法楊少梅層次分析法在員工績效評價中的應用（1）連郁AHP法的員工素質考核評估系統(tǒng)（2）張爽基于知識型企業(yè)員工的知識創(chuàng)新能力模糊評價體系決策樹法：和征 基于數(shù)據(jù)挖掘技術的員工績效考核系統(tǒng)研究（5）趙慧卷企業(yè)知識型員工價值評估體系的統(tǒng)計分析（6） 邢偉-企業(yè)中高層管理人員員工評價模型研究（7）王彤-以任務為核心的知識型員工能力分析模式的研究（8） 丁雷知識型員工任務評價信息系統(tǒng)的指標模型（9）楊少梅 層次分析法在員工績效評價中的應用文章層次

2、結構（指標模型）STER：W=gi,Bm i=1,2，|，n。_ n _STEP：W=Wi/ Wii 1nSTER:甸(AW)i/nWi 12.員工素質考核評估系統(tǒng)知識T閻短識內優(yōu)能力lC)t0.23lilt力)直鱉龍力工沮0門 J畫舎籬加GW可 畀慶堆麻力()(025)爾究堰力HOtfiJtn.is) HW#6*(D,)(OJ5)L實踐能力-知識世觸打矍正能力(吐；2謝 衍識帆副賽力汕顯】知識埔血判斷的廉力IM94MHC力(叫:.卻找存龍如EJWnMCEJlu)-自 ftUAtt A(F,J(0 3J自找用行與監(jiān)施魁力 事少。而另外5:1 ，可表示為事少 離家近。依循邏輯，可推理而得：錢多

3、離家近。再看看7:1， 可表示為錢多 離家近，這與上述的推理是一致的，其意味 著經過上述程序所計算出來的Wx Wy和Wz權數(shù)値是一致的，并沒有矛盾。但是有些情況是會出現(xiàn)不一致的矛盾現(xiàn)象（待會兒將舉例說明之）。因之，在計算每一組權數(shù)時，也需要檢驗其一致性。其計 算步驟如下：總和 31/2121/513等於 等於(1.476)(4.2)Step-2:計算最大Eigen值，其公式為：各行總和與各列PV相乘之和。于是可算出：入 max = (1.476 * 0.643) + (4.2 * 0.283) + (13 * 0.074)=3.097Step-3: 計算一致性指標(Consistency In

4、dex)，簡稱CI，其公式 為：CI =(入 max - n ) / (n - 1)其中的n值就是選擇準則的個數(shù)，例如上圖的n值為3。所以可算出：CI = (3.097- 3) / (3-1) = 0.048Step-4: 計算一致性比率(Consistency Ratio)，簡稱CR其公式 為：CR = CI / RI其中的RI代表隨機一致性指標 (Random Consistency Index) 值， 如下表所示：n12345678910RI000.580.91.12 1.241.321.411.451.49例如，上圖的n值為3,經查表可得到 CI值為0.58。所以可算出：CR = 0.

5、048 / 0.58 = 0.083Step-5:判斷一致性：如果 CR值小于0.1時，表示具有相當?shù)囊?致性，所以上述例子是具有一致性的。反之，如果CR值大于0.1時，表示呈現(xiàn)顯著的不一致性。例如，將上述例子更改為：則計算出來的 CR值是：2.639，遠大于0.1，呈現(xiàn)出明顯的 不一致性。因為錢多 事少 離家近很明顯與錢多 0.1時，AHP不再 適用，這時，只能回頭考慮，變更遞階層次結構，或對判斷 矩陣A重新賦值。由此得層次分析法AHP勺步驟如下。結論：1.給了 A后求max及相應特征向量；2.將特征向量“規(guī)一”后，即得排序向量；3.排序向量是否可信，須進行一致性檢驗，若檢驗難過 則可信；否

6、則重新檢驗A。 2 AHP的基本步驟1.目標層2.準則層3.方案層用AHP解決問題，有四個步驟:1.建立問題的遞階層次結構；2.構造兩兩比較判斷矩陣；3.由判斷矩陣計算被比較元素相對權重；4.計算各層元素組合權重，并進行一致性檢驗。下面通過一個應用實例說明AHP的每個步驟的實施。AHP決策方法應用實例例：某鬧市區(qū)一商場附近交通擁擠。目標 G改善該街區(qū)交通 環(huán)境。有三種方案可供選擇：A1 :修天橋或修高架橋；A2 : 修地道；A3 :商場搬遷。選擇方案的準則有5個：Ci :通車能力；C2 :方便市民；C3:改造費用；C4 :安全性；C5 :市容美觀。試用AHP方法決策決策步驟:一、建立遞階層次結

7、構:元素的準則 二、構造兩兩比較判斷矩陣遞階層次結構中，每一層的每一個元素均是下一層中每個A (aij ) n n在單準則下分別構造，即在 G下對d c2 C3 C4 C5，構造A；分別在s c2 c3 c4 c5下對A A2 A構造A在單一準則下，如何具體構造兩兩比較判斷矩陣A 呢？即如何具體確定比值aj呢？在AHP中采用1 - 9比例標度法。2.1關于1 - 9比例標度n個元素Ui,U2, ,Un，兩兩比較其重要性共要比較 垃次。第2i個元素Ui與第j個元素Uj重要性之比為aij。問題是如何得 出aj的值。AHP采用1 - 9比例標度來確定aj ;這是AHP的特 點，也是優(yōu)點。本來，n個元

8、素比較n-1次，即可確定順序， 為什么要比較 血衛(wèi)次呢？這是由事物的復雜性和決策人的2局限性決定的，事實證明，n個元素按重要性只有兩兩比較， 才能揭示重要性的內在規(guī)律，僅僅比較n-1次是決然不行的，因為只比較n-1次，其中若有一次失誤，則排序就將遭 到破壞。而兩兩比較可減少失誤。1-9比例標度表aj 1 表示Ui與Uj重量相同，或重要性相同；aj 3 表示Ui比Uj稍重；aij 5 表示Ui比Uj明顯重；aj 7 表示Ui比Uj強烈重；a.j 9 表示u比Uj極端重；數(shù)2、4、6、8則為上述判斷的中值。兩兩比較兩個元素的重要性，總是在某種準則(準則層比較是以總目標G為準則，方案層比較，分別以準

9、則層中各元 素為準則)下進行的。至于為什么取1 - 9比例標度，而不取 別的，是因為人們直覺最多只能判斷出9個等級的差異，再細的差異，人的直覺是分辨不出來的，而兩兩比較判斷矩陣 是領域專家靠感覺去分辨和構造的。從理論上講，用1 - 15比例標度也未嘗不可，只是人的直覺分辨不出。對n個物體， 兩兩比較其重要性得判斷矩陣A (a)nn，顯然a滿足：c1aij 0 , aij, 3ii 1aji共計*n(n 1)個判斷，所以A是正的互反矩陣，且對角線上元素為1,這樣的n階矩陣可表示為上三角或下三角矩陣。但A的元素aij通常不具有傳遞性，即aij a jk aik這是由事物的復雜性和人的認識的局限性造

10、成的。如果aij a jk a ik成立，則稱A是一致性矩陣。從判斷矩陣A出發(fā)到導出元 素在某種準則C下按重要性大小的排序，矩陣 A的一致性起 著至關重要的作用。按著1 - 9比例標度的上述說明，具體構造應用舉例的六個準則下的兩兩比較判斷矩陣分別為:通方費安市車 便 用 全 容C1C2C3C4c 5通車135Ci方便C2C353天橋A地道C4容11/C；553Ci天橋115Ai方便c2A2搬遷 111安全C4天橋147A1地道21 1A2A2遷 111遷311市容C5A1max1.以Ci作準則的判斷矩陣為:1151151/5 1/51因階數(shù)低，可直接求出最大特征根。由致的，知max =3,其它

11、的特征根均為0。下面來驗證|A E|111/5111/5111/5111/5151/51A3三、計算單一準則下各元素的相對權重對給出的共6個正互反矩陣，分別求(1)與max對應的特征向量并歸一化得排序相對權重向量。每個矩陣求max后，都要進行一致性檢驗。例如:這一點:ai2a23311/31/5311/2|AE|11/31/5100(0)2max準則C2下的6a13311/2(2)()(2)2(2 )330A,顯然11/31/551/3不滿足一致性，如311/2)(21 21/2 11/102 130)2(2丄303 22(2130由于A出現(xiàn)一個小的擾動而不滿足一致性,此時不能再有max再進m

12、ax=3，而是max3,這是，通常用迭代算法求解出行一致性檢驗。3.1 補充：求最大特征根的迭代算法步驟1:對A (aj)nn，設初值向量為:量。時，則停止，否則繼續(xù)。其中，Wk是向量Wk的第i個分步驟4:計算max1 n Wk n I 1 W(k 1)|由此求出最大特征根以備作一致性檢驗用。在此,關于用迭代法求max的思路max設W是“歸一化”了的，由Perro n定理知與max對應的Wo步驟2:計算Wk AWki (k 1,2,)迭代過程中，每一個Wk1均是“歸一化”了的步驟3:對預先設定的閥值0，計算使maxWkiW(k 1)|歸一化后的Wk便是排序向量。1. 由 AWmaxW特征向量歸

13、一化后是帷一的，所以，令z111Wo-,-n n nAWk 1 Wk k 1,2,每迭代一次得Wk，將Wk歸一化后作為下一次迭代初值,直到maxWkiW(k 1)為止，則Wk就是帷一的歸一化后的特征向量。由 Wk AWk !maxWk !Wkimax W（k i）i1 n WkkH故max n i i W（k i）i結合上述具體例子，進行 AHP的第四步四、計算各層元素的組合權重1.設第一層元素相對于總目標的排序權重向量為：a1 （a；,a；, ,am）T（本例中 m=5）第2層在第一層j元素準則下的排序向量為：b2 曲於，時）（j 1,2, ,m）（本例中 n=3）令 B2 （bb；, ,b

14、；） （ n=5）則第2層n（n=3）個元素相對于總目標的組合權重向量為：a2 B2 a1在本例中為：最后得到的*,*,* T就是方案A BC在總目標G下的排序向量。2.對于遞階層次組合判斷的一致性檢驗我們要逐層計算C.I.，若得到第一層的計算結果為:C.1.1 ，R.1.1 ， C.R.1C .R.2C .R.IC.1.2R.I.2aij gi gj (1 i, jaij體U1,U2,Un按重量大小的排序，從AW，由特征根法求取，并進行則第二層的相應指標為:C.2 C.I；,C.I；, ,C.I.m a1R.I.2R.1.2,R.I.；, ,Ra1本例中m=5,則上面C.I.2和R.I.2分

15、別是第一層第i個準則下判斷矩陣的一致性指標和平均隨機一致性指標。當 C.R.20.1 時認為遞階層次在2層水平上整個判斷有滿意的一致性。請按本文給的例題，補齊AHP的四個求解步驟。最后求出 方案A、B C在總目標G下的權重排序，以此作為本單元的 考核。 3 層次分析模型AHM與無結構決策的層次分析法 AHP相近的一種層次分析模型是 AHM(An alytic Hierarachi ncal Model)層次分析法AHP是一個重量模型兀素U1,U2, ,un為n個物體，其重量g1,g2, ,gn不知，只知其兩兩 比較的比值由比例標度測度矩陣A求導出標度w(W1,W2, ,Wn)T ,則W給出物致

16、性檢驗，一致性檢驗是特征根法要求的。下面給出一種球賽模型: 球塞模型：元素z, ,un為n個球隊，每兩隊進行一場比賽共賽抽1場, 每場比賽為1分，u和Uj（i j）比賽得分分別為j和j。準則c為得 分，在準則C下對元素ui,u2, ,un按得分多少排序。ij與ji滿足：f ij , ji 彳 ij ji 1 i jI ii （表明一個隊無法與自己比賽）在實際問題中，j可取到,1上的一切實數(shù)。ij稱作Ui和Uj（i j）的相對測度ij n n為兩兩比賽判斷矩陣。如果ijji，則稱Ui比U j強，記為Ui U j，含意是兩者比賽完后Ui得分ij比Uj得分ji多，即Ui勝了；若判斷矩陣（ij）滿足：

17、當Ui Uj ,Uj Uk時，有Ui Uk,則稱判斷矩陣ij nn具有一致性。注意：Ui Uj , Uj Uk，而Uk Ui在此并不罕見，即甲勝乙、乙勝丙， 而丙勝甲的連環(huán)套是常有的。一致性矩陣的含意是：全部比賽未出現(xiàn) “連環(huán)套”的情況，允許甲大勝乙，乙大勝丙，而甲僅僅小勝丙的情 況出現(xiàn)。此時重量模型的一致性不被滿足， 但是球賽的一致性卻可以 被滿足，故球賽型比重量模型的兩兩比較判斷矩陣的一致性要求要低 很多。nUi的總得分fiij，顯然j 1fin(n 1) 總共比賽丄n(ni 1221）場共得2n（n 1）分Ccc T勺 WcWU1 , WU2 , WUnc2nWUiijn(n 1) j

18、1（在得分準則下）稱Wc為相對權向量，以上討論可由下表給出:準則cU1U2UnWcU111121 nc叫U221222ncWn2Unn1n2nncW “從ij nn逐行檢驗就可知是否具有一致性。由于兩兩比較測度判斷矩陣j nn的一致性是Ui Uj ；兩兩比較比ij自身中觀察檢驗，通常有下述定理:例標度判斷矩陣aj nn的一致性要求aj ajk aik，顯然在AHP的判斷矩陣的一致性要求高，通常的判斷矩陣的一致性不被滿足； 而AHM的判 斷矩陣的一致性要求很低，只要甲比乙強、乙比丙強，則甲比丙強， 至于強多少沒有具體要求，所以一致性要求低，在AHP中一致性不被 滿足時，對應到 AHM時一致性卻經

19、?？梢员粷M足，并且一致性可從定理(一致性判定定理)若1, x 0.5 g(x)0, x 0.5Ii j g( j) 1 , 1 j n則比較判斷矩陣j nn具有一致性的必要充分條件是：對任何 i , 為Ii非空時g( ik) g jk o (1 k n)(1)j ii符號解釋：ii非空是指對給定的i，至少有一個j使j 0.5，即 i比j強，所以，ii非空是指i不是最小者。證明：必要性，若一致性成立，即Ui Uj ,Uj Uk，則Ui Uk成立。 因此Ui Uk知ik 0.5 g( ik) 1，所以(1)成立。充分性：若h非空是，g ( ik) g jk 0(1 k n)，試證當j iiUi U

20、j , Uj Uk是，有Ui Uk。證：因為I i非空，j Ii知，Ui Uj，又因為Uj Uk知I j非空，且jk 0.5，知g jk 1 g( ik) 1，所以j IiUi Uk，證畢。應用中不必用此定理，對(Uij )進行逐行檢驗即可驗證。注：比賽模型有兩類：一類如田徑、游泳、跳水、體操運動員 的成績可以單獨測量出來；另一類如擊劍、拳擊、球賽，只有通過兩 隊比賽才能定出來。重量模型、球賽模型反映了這兩類不同的比賽。模型不同，處理方法不同：AHP用特征根法，AHM則不用。用特征 根法則要求判斷矩陣A aj nn的一致性被允許條件下，由比較測度矩 陣A轉化換后求出導出測度 w,才是重要性排序

21、權向量。AHM中的比較判斷矩陣(0)通常是難以求出的，但可由 AHP中的比較判斷矩陣A (aj)中導出：轉模公式為：k2kj1aijk2k 1aijk1111k1aijk或ij2k 1aijk0.5aij1 ij0.5aij1 ij0aij1 ij0aij1 iJ當1時，相當于兩隊比賽，一隊勝得1分，另一隊敗ji0得0分，當取定，如2如上右式。k=9，j0.9474，這相當于全勝，極端強；k=2,ij0.8，微強;k=3,ij0.857，稍強；k=5,ij0.909，明顯強；k=6,ij0.923，特別強；通常情況下2比較合適。有了上述定理（或從（0）中直接）檢驗 致性，就可以應用 AHM實際

22、上當（ij）致性成立，就可用ccc TWcW（1）, W（2）,W（n）來按分量大小對Ui排序；綜合得分率最高者認為名次在前。事實 上，當判斷矩陣 不滿足一致性時，仍然可以計算各隊的得分率，并 按得分率對各隊排序也是可以的，故一致性檢驗是非本質的。AHM層次決策例仍用“AHP的例子，某鬧市區(qū)一商場附近交通擁擠。目標 G為 改善該街區(qū)交通環(huán)境。有三種方案可供選擇：A:修天橋或修高架橋； A :修地道；A3:商場搬遷。選擇方案的準則有5個：G :通車能力； c2 :方便市民；C3 :改造費用；c4 :安全性；C5 :市容美觀。兩兩比 較的比例標度判斷矩陣如前。問題：選擇哪種方案？2 、單一準則下的

23、相對權向量轉換公式:2k2k1aijk112k1aijk0.5aij1 ij0aij1 ij通方費安-市G車便用全容CC2C3C4rC50 0 0 0Ci方便C2費用C301430 0 001583530023600123002C；4天橋A1地0520費用C3天橋Al安全C4天0橋0Al道道A2A2殳00搬L00遷遷00八3A30市容（；5天橋Ai道道A2A2殳遷八30000搬L遷A3000A2八3比如計算準則C2 (方便市民)按下面方法準則CUiU2UnW(C)n2nUi11121 n1ii 1n(n1) j 11jn2nU221222n2ii 1n(n1) j 12jn2nUnn1n2 nnnii 1n(n1) j 1njC2A1A2A3W(C2)A100.8570.9091.7660.5887A20.14300.80.9430.3143A30.0910.200.2910.0970同理得準則G C1 , C2, C3 , c4, c5下排序權重，上述比較矩陣顯 然滿足一致性條件。3、計算各方案對目標的合成權重WGA (WC1,WC2, ,wC5)WG即:0.3530