數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文

1、 本科生畢業(yè)論文題 目： 行列式的計算方法及其在線性方程組中的應用姓 名： 韋 誠 學 號： 200802023046 系 別： 數(shù)學與計算機科學系 年 級: 2008級 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 指導教師： 楊筱珊 職稱： 副教授 指導教師： 陳 琳 職稱： 講 師 2012年 4月 20日 安順學院畢業(yè)論文任務書 數(shù)學與計算機科學 系 數(shù)學與應用數(shù)學 專業(yè) 2008 年級學生姓名 韋 誠 畢業(yè)論文題目：行列式的計算方法及其在線性方程組中的應用任務下達日期：2011年9月5日畢業(yè)論文寫作日期：2011年9月5日至2012年4月20學生簽字： 指導老師簽字： 摘 要高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)學生的一門

2、必修基礎課程。行列式的計算是高等代數(shù)中的重點、難點，特別是n階行列式的計算，學生在學習過程中，普遍存在很多困難，難于掌握。計算n階行列式的方法很多，但具體到一個題，要針對其特征，選取適當?shù)姆椒ㄇ蠼?。當看到一個貌似非常復雜的n階行列式時，仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)其實它們的元素在行或列的排列方式上都有某些規(guī)律。掌握住這些規(guī)律，選擇合適的計算方法，能使我們在極短的時間內(nèi)達到事半功倍的效果！本文首先介紹n階行列式的定義、性質(zhì)，再歸納總結(jié)行列式的各種計算方法、技巧及其在線性方程組中的初步應用。行列式是線性方程組理論的一個組成部分，是中學數(shù)學有關(guān)內(nèi)容的提高和推廣。它不僅是解線性方程組的重要工具，而且在其它一些學科

3、分支中也有廣泛的應用。關(guān)鍵詞：n階行列式 計算 方法 歸納線性方程組abst ract algebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. the determinants calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinants calculation , alway is students difficulty in the learning proce

4、ss, so ,it is difficult to master for ours . there are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. when you see a seemi

5、ngly so complex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! this p

6、aper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determ

7、inant is also the middle school mathematics content raise and promotion. it is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications. key words: n order determinant calculation method induce linear equations 目 錄引言 11 階行列式的定義 3

8、2 階行列式的性質(zhì) 33 計算階行列式的具體方法與技巧 4 3.1 利用行列式定義直接計算 4 3.2 利用行列式的性質(zhì)計算 5 3.3 化為三角形行列式 6 3.4 降階法 7 3.5 逆推公式法 8 3.6 利用范德蒙德行列式 9 3.7 加邊法（升階法） 9 3.8 數(shù)學歸納法10 3.9 拆開法114 行列式在線性方程組中的初步應用11 4.1 克拉默（gramer）法則12 4.2 克拉默（gramer）法則的應用12 4.2.1 用克拉默（gramer）法則解線性方程組13 4.2.2 克拉默法則及其推論在幾何上的應用14結(jié)論16參考文獻17致謝18引 言解方程是代數(shù)中一個基本問題

9、，特別是在中學中所學的代數(shù)中，解方程占有重要的地位.因此這個問題是讀者所熟悉的.比如說，如果我們知道了一段導線的電阻，它的兩端的電位差，那么通過這段導線的電流強度，就可以有關(guān)系式 求出來.這就是所謂解一元一次方程的問題.在中學所學代數(shù)中，我們解過一元、二元、三元以至四元一次方程組. 線性方程組的理論在數(shù)學中是基本的也是重要的內(nèi)容. 對于二元線性方程組 ，當時，次方程組有惟一解，即 ， .我們稱為二級行列式，用符號表示為 于是上述解可以用二級行列式敘述為：當二級行列式 時，該方程組有惟一解，即 對于三元線性方程組有相仿的結(jié)論.設有三元線性方程組 稱代數(shù)式為三級行列式，用符號表示為：.我們有：當三

10、級行列式 時，上述三元線性方程組有惟一解，解為 ，其中 ，在本論文中我們將把這個結(jié)果推廣到元線性方程組 的情形.為此，我們首先要給出階行列式的定義并討論它的性質(zhì)，這就是本論文的主要內(nèi)容.1 n階行列式的定義階行列式 等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積（1）的代數(shù)和，這里jjj是1,2,的一個排列，每一項（5）都按下列規(guī)則帶有符號：當jjj是偶排列時，（1）帶正號，當jjj是奇排列時，（1）帶有負號.這一定義可以寫成 = 這里表示對所有階排列求和. 定義表明，為了計算階行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積。把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標排成自然順序，然后由列指標所成的排列的

11、奇偶性來決定這一項的符號.由定義立即看出，階行列式是由!項組成的.2 階行列式的性質(zhì) 性質(zhì)（1） 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等； 性質(zhì)（2） 交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號； 性質(zhì)（3） 如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于零； 性質(zhì)（4） 把一個行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個數(shù)，等于數(shù)k乘這個行列式； 性質(zhì)（5） 一個行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊； 性質(zhì)（6） 如果一個行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么這行列式等于零； 性質(zhì)（7） 如果一個行列式有兩行（列）的對應元素成比例，那么這個行列式等于零； 性質(zhì)（8）

12、設行列式d的第i行的所有元素都可以表成兩項的和： d=那么d等于兩個行列式d與d的和，其中d的第i行的元素是，d的第i行的元素是，而d與d的其他各行都和d的一樣.同樣的性質(zhì)對于列來說也成立. 性質(zhì)（9） 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）的對應元素上，行列式的值不變. 在深刻理解了階行列式的定義及性質(zhì)后，我們自然會想到，給出一個貌似復雜的階行列式，怎樣在有限的時間內(nèi)準確地算出它的值呢？這是本論文的中心論點.階行列式的計算方法很多，除非零元素較少時可利用定義計算外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計算，特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方法，值得注意的是，同一個行列式，有時會

13、有不同的求解方法.下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明.3 計算階復雜行列式的具體方法與技巧3.1 利用行列式定義直接計算例1 計算行列式解 dn中不為零的項用一般形式表示為.該項列標排列的逆序數(shù)（n1 n21n）等于，故 3.2 利用行列式的性質(zhì)計算例2 一個n階行列式的元素滿足則稱dn為反對稱行列式，證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零.證明：方法1：設其為2n+1階行列式，每行提出（-1）后，d=d= -d,所以d=0.方法2： 由知，即，故行列式dn可表示為 又由行列式的性質(zhì) 當n為奇數(shù)時，得dn =dn，因而得dn = 0.3.3 化為三角形行列式若能把一個行列式經(jīng)過適當變換化為上三角形或下三

14、角形，其結(jié)果為行列式主對角線上元素的乘積乘以的逆序數(shù)次方.因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法.例3 計算n階行列式 解：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得對于形如的所謂三角行列式，可直接展開得到兩項遞推公式，然后采用如下一些方法求解.方法 如果較小，則直接遞推計算.方法 用第二數(shù)學歸納法：即驗證時結(jié)論成立，設時結(jié)論成立，若證明時結(jié)論也成立，則對任意自然數(shù)相應的結(jié)論成立.方法 將變形為，其中 ， 由韋達定理知和是一元二次方程的兩個根.確定和后，令，則利用遞推求出，再由遞推求出.方法 設.代入得.因此有（稱之為特征方程

15、），求出其根和（假設），則這里可通過取和來確定.例 求階行列式的值 解：按第行展開得，即.作特征方程，解得，則 當時，,代入式得；當時，,代入式得.聯(lián)立求解得，故3.4 降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開.例 計算n階行列式解 將dn按第1行展開.3.5 逆推公式法逆推公式法：對n階行列式d找出dn與dn1或dn與d, dn2之間的一種關(guān)系稱為逆推公式（其中dn, dn1, dn2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出dn的方法稱為遞推公式法.例

16、證明 證明：將dn按第1列展開得 由此得遞推公式：，利用此遞推公式可得3.6 利用范德蒙行列式例 計算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式3.7 加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例 計算n階行列式 d=(n階) 解： (n+1階)（箭形行列式） 3.8 數(shù)學歸納法例 計算n階行列式解：用數(shù)學歸納法. 當n = 2時 假設n = k時，有 則當n = k+1時，把dk+1按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)n，有3.9 拆開法把某一行（或列）的元素寫成

17、兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以利計算.例 計算行列式 解：上面介紹了計算n階行列式的常見方法，計算行列式時，我們應當針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法.學習中多練習，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計算方法.4 行列式在線性方程中的初步應用 在中學代數(shù)和解析幾何里，我們已經(jīng)遇到兩個未知量和三個未知量的線性方程組。但是許多從理論和實際問題里導出的線性方程組常常含有相當多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等。因此我們將更深入的討論含有任意個未知量任意個方程的線性方程組.線性方程組組的一般形式是： 其中代表未知量，(i=1,2,m;j=

18、1,2,n)代表未知量的系數(shù)，b,b,b代表常數(shù)項.我們將在復數(shù)域上討論線性方程組。這就是說，方程組中未知量的系數(shù)和常數(shù)項都認為是復數(shù)，并且以后談到數(shù)時，也總指的是復數(shù)（若是把復數(shù)域換為其他的任一數(shù)域，討論還是可以同樣進行）4.1 克拉默（cramer）法則如果線性方程組 （其中代表未知量，(i=1,2,;j=1,2,)代表未知量的系數(shù)，代表常數(shù)項.）的系數(shù)行列式d0，那么，這個方程組有解，并且解是唯一的?？梢员硎緸槠渲衐i是把d中的第i列換成常數(shù)項b1,b2,bn得到的階行列式.這個定理有三個結(jié)論,方程組(2)有解,解是唯一的,解由公式(3)給出.4.2 克拉默（cramer）法則的應用 克

19、拉默法則只是使用于方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等的特殊情形，當線性方程組的系數(shù)行列式不為零時，克拉默法則給出了該方程組的三個結(jié)論：（1）有解（解的存在性）；（2）有唯一解；（3）用行列式表示了方程組的不可取，但其理論上的作用必須重視.由克拉默法則得到“方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的齊次線性方程組有非零解時，其系數(shù)行列式等于零”的結(jié)論，其實它還是充分必要條件，以后將多次用到.4.2.1 用克拉默法則解非齊次線性方程組例 求解線性方程組 其中 解：方程組的系數(shù)行列式為階范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置由可知 故由克拉默法則法則知，方程組有惟一解.又有 從而方程組的解為 ,例 下列方程組中各不相同，求證下面方程組有惟一解

20、，并把它的解求出來. 解：其系數(shù)行列式為范德蒙德行列式，且由互不相同知，由克拉默法則法則知原方程有惟一解，且其解為 4.2.2 用克拉默法則及其推論在幾何上的應用 例 已知平面上兩點和，建立用行列式表示的過這兩點的直線方程. 解：設所求直線方程為，其中是所求直線上的任意一點.因為直線通過給定點和,故有 ， 與原直線方程聯(lián)立，可以得到以，為未知數(shù)的齊次線性方程組 因為過,點的直線存在，對任意動點該方程組對未知數(shù)，均有不全為零的解，即有非零解，故由克拉默法則的推論知其系數(shù)行列式的值為零.且其行列式的式子是關(guān)于，的一次方程，代表一條直線.又分別取，和，時，式成立，故它是過點和的直線方程.例 求空間的

21、四個平面 相交于一點的條件.解：四個平面相交于一點，即線性方程組 有惟一解，設為.將方程組改寫為 則這個元齊次方程組有非零解.由克拉默法則的推論：齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式等于零.有此可得空間的四個平面交于一點的條件是：這個齊次線性方程組的系數(shù)鉅陣行列式的值等于零. 結(jié)論 用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理計算行列式是本論文的重點之一.掌握行列式的計算方法和技巧是本論文的難點.除了利用行列式的性質(zhì)化為三角形式和按行（列）展開公式使行列式降階這些常用的方法外，要根據(jù)行列式的特點采用特殊方法，如遞推法、數(shù)學歸納法、加邊法（升階法）、拆開法，以及范德蒙德行列式的結(jié)論，等等.都是我們學習過

22、程中的重點、難點.要熟練的掌握這些方法，就得經(jīng)常親自動筆去計算很多典型的、具有代表性的題目.其實，行列式的計算在解線性方程組中也有不可忽視作用.在克拉默法則中，能快速的算出行列式的值，就能很有效高速的應用克拉默法則. 參考文獻【1】線性代數(shù).魏貴民等主編.高等教育出版社.2004年8月【2】線性代數(shù)解題方法.劉金山,吳明芬編著.華南理工大學出版社.2000年6月【3】線性代數(shù)復習指導.馬杰主編.機械工業(yè)出版社.2002年3月【4】高等代數(shù)第五版.張禾瑞著.高等教育出版社.1997年9月【5】高等代數(shù)考研教案第二版.徐仲,陸全等著.西北工業(yè)大學出版社 【6】高等代數(shù).同濟大學數(shù)學系編.高等教育出

23、版社 【7】考研數(shù)學名師講義.邵峰編.中國市場出版社 【8】線性代數(shù).同濟大學數(shù)學系編.高等教育出版社 【9】考研高等數(shù)學輔導教材.黃慶懷主編.高等教育出版社【10】高等代數(shù).樂茂華主編.南京大學出版社.2002.02 【11】霍元極主編.高等代數(shù).北京師范大學出版社.1988 【12】丘維聲主編.高等代數(shù)（上冊）.高等教育出版社.1996 【13】關(guān)治,陳精良.數(shù)學計算方法.北京清華大學出版社.1990 【14】鄧建中,劉之行.計算方法.西安交通大學出版社.2001 【15】張元達.線性代數(shù)原理.上海教育出版社.1980【16】蔣爾雄等.線性代數(shù).人民教育出版社.1978致 謝 感謝陳琳老師和楊筱珊教授，他們嚴謹細致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習