集合知識講解

1、集合及集合的表示 【學習目標】1.了解集合的含義，會使用符號“”“”表示元素與集合之間的關(guān)系2.能選擇自然語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用3.理解集合的特征性質(zhì)，會用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如常用數(shù)集、解集和一些基本圖形的集合等【要點梳理】集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學的一個重要的基礎(chǔ)，一方面，許多重要的數(shù)學分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.要點一、集合的有關(guān)概念1集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的

2、東西是否屬于這個總體.2一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，一些元素組成的總體叫集合(set)，也簡稱集.3關(guān)于集合的元素的特征(1)確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.(2)互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.(3)無序性：集合中的元素的次序無先后之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合.4元素與集合的關(guān)系：(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于(belong to)A，記作aA

3、(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(not belong to)A，記作5集合的分類(1)空集：不含有任何元素的集合稱為空集(empty set)，記作：.(2)有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.(3)無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.6常用數(shù)集及其表示非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實數(shù)集，記作R要點二、集合的表示方法我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合.1. 自然語言法：用文字敘述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶數(shù)構(gòu)成的集合.2. 列舉

4、法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi).如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；3.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號 內(nèi).具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.4.圖示法：圖示法主要包括Venn圖、數(shù)軸上的區(qū)間等.為了形象直觀，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合，這種表示集合的方法稱為韋恩（Venn）圖法. 如下圖，就表示集合.1，2，3，4【典型例題】類型一：集合的概念及元素的性質(zhì)例1.下列各組對象哪些能構(gòu)成一個集合？(1)著名的數(shù)

5、學家；(2)比較小的正整數(shù)的全體；(3)某校2011年在校的所有高個子同學；(4)不超過20的非負數(shù)；(5)方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解；（6）的近似值的全體.答案：(4)、（5）解析：從集合元素的“確定”、“互異”、“無序”三種特性判斷.“著名的數(shù)學家”、“比較小的正整數(shù)”、“高個子同學”對象不確定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可構(gòu)成集合，故答案是(4)、（5）.點評：(1)判斷指定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個明確標準，對于任何一個對象，都能確定它是不是給定集合的元素，同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.(2)“有限集”和“無限集”是通過

6、集合里面元素的個數(shù)來定義的，集合里面元素的個數(shù)很多，但不一定是無限集.舉一反三：【變式1】判斷下列語句能否確定一個集合？如果能表示一個集合，指出它是有限集還是無限集.(1)你所在的班，體重超過75kg的學生的全體；(2)舉辦2008年奧運會的城市；(3)高一數(shù)學課本中的所有難題；(4)在2011年3月11日日本地震海嘯中遇難的人的全體；(5)大于0且小于1的所有的實數(shù). 答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。解析：緊扣“集合”、“有限集”、“無限集”的定義解決問題.(1)你所在的班，體重超過75kg的學生是確定的，不同的，能組成一個集合，且為有限集；(2)

7、舉辦2008年奧運會的城市也能組成一個集合，為有限集；(3)不能構(gòu)成集合.“難題”的概念是模糊的，不確定的，無明確標準，對于一道數(shù)學題是否是“難題”無法客觀判斷.(4) 在2011年3月11日日本地震海嘯中遇難的人是確定的，不同的，因而能構(gòu)成集合，是有限集.(5) 大于0且小于1的所有的實數(shù)也是確定的，互異的，因此這樣的實數(shù)能構(gòu)成一個集合，是無限集.例2集合由形如的數(shù)構(gòu)成的，判斷是不是集合中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，.由題中集合可知均有，即.點評：（1）解答本題首先要理解與的含義，然后要弄清所給集合是由一些怎樣的數(shù)構(gòu)成的，能否化成此形式，進而去判斷是不是集合中的元素.（2）判斷一個

8、元素是不是某個集合的元素，就是判斷這個元素是否具有這個集合的元素的共同特征.此類題，主要看能否將所給對象的表達式轉(zhuǎn)化為集合中元素所具有的形式.舉一反三：【變式1】設(shè)(1)若aZ，則是否有aS？(2)對S中任意兩個元素x1，x2，則x1+x2，x1x2，是否屬于集合S？答案：aS 是解析：(1)若aZ，則有aS，即n=0時，xZ，aS；(2)x1，x2S，則m1，n1，m2，n2Z，m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Zx1x2S.類型二：元素與集合的關(guān)系例3.用符號“”或“”填空(1)(2)(3)解析：給定一個對象a，它與一個給定的集合A之間的關(guān)系為，或者，二者必居其一.解答這類問題的關(guān)

9、鍵是：弄清a的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，然后才能下結(jié)論.對于第(1)題，可以通過使用計算器，比較各數(shù)值的大小，也可以先將各數(shù)值轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)一致的數(shù)，再比較大??；對于第(2)題，不妨分別令x=3，x=5，解方程；對于第(3)題，要明確各個集合的本質(zhì)屬性.(1) (2)令，則令，則(3) (-1，1)是一個有序?qū)崝?shù)對，且符合關(guān)系y=x2，點評：第(1)題充分體現(xiàn)了“化異為同”的數(shù)學思想.另外，“見根號就平方”也是一種常用的解題思路和方法，應(yīng)注意把握.第(2)題關(guān)鍵是明確集合這個“口袋”中是裝了些x呢？還是裝了些n呢？要特別注意描述法表示的集合，是由符號“”左邊的元素組成的，符號“”右邊的部分表示x具有的性

10、質(zhì).第(3)題要分清兩個集合的區(qū)別.集合這個“口袋”是由y構(gòu)成的，并且是由所有的大于或等于0的實數(shù)組成的；而集合是由拋物線上的所有點構(gòu)成的，是一個點集.舉一反三：【變式1】 用符號“”或“”填空（1）若,則 ；-2 .（2）若則 ；-2 .答案：（1）， （2），類型三：集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用例4.定義集合運算：.設(shè)集合，則集合的所有元素之和為A. 0 B. 6 C. 12 D. 18答案： D解析：，當時， ，于是的所有元素之和為0+6+12=18.點評：這類試題通過給出新的數(shù)學概念或新的運算方法，在新的情境下完成某種推理證明是集合命題的一個新方向.常見的有定義新概念、新公式、新運算和新法則等

11、類型.舉一反三：【變式1】定義集合運算：，設(shè)，則集合的所有元素之和為（ ）A. 0 B. 2 C. 3 D. 6答案：D解析：，且，z的取值有：0，2，4故，集合的所有元素之和為：0+2+4=6.例5. 設(shè)集合=x|，當集合為單元素集時，求實數(shù)的值.答案：0，1解析：由集合中只含有一個元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并沒有注明是一個二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：當a=0時，可得是一次方程，故滿足題意.當a0時，則為一個二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個相等的根，即為判別式為0時的a的值，可求得為a=1.故a的取值為0，1.例6.已知集合，若，求實數(shù)的值及集

12、合.答案：，.解析：（1）若則.所以，與集合中元素的互異性矛盾，則應(yīng)舍去.（2）若，則或，當時，滿足題意；當時，與集合中元素的互異性矛盾，則應(yīng)舍去.（3）若，則或，由上分析知與均應(yīng)舍去.綜上，集合.點評：本題中由于1和集合中元素的對應(yīng)關(guān)系不明確，故要分類討論.此類問題在解答時，既要應(yīng)用元素的確定性、互異性解題，又要利用它們檢驗解的正確與否，特別是互異性，最容易忽視，必須在學習中引起足夠的重視.舉一反三：【變式1】已知集合，求實數(shù)的值答案： 解析：當，即時，與集合的概念矛盾，故舍去當即時，不滿足題意舍去，故.類型四：集合的表示方法例7試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)方程的所有實數(shù)根組成

13、的集合；(2)由大于15小于25的所有整數(shù)組成的集合.答案：（1）；（2）。解析：(1)設(shè)方程的實數(shù)根為x，并且滿足條件因此，用描述法表示為；方程有兩個實數(shù)根因此，用列舉法表示為.(2)設(shè)大于15小于25的整數(shù)為x，它滿足條件，且15x1 x|x1；(4)(x，y)|-2x2 (x，y)|-1x2【答案】 (1)= (2) (3) (4) 【總結(jié)升華】區(qū)分元素與集合間的關(guān)系 ，集合與集合間的關(guān)系.例2. 寫出集合a，b，c的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為a，b，c，含有2個元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3個元素的子集為a，b，c，即含有3個元素的集合

14、共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集.【總結(jié)升華】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數(shù)的多少來分別寫出.當元素個數(shù)相同時，應(yīng)依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身.舉一反三：【變式1】已知，則這樣的集合有 個.【答案】7個【變式2】同

15、時滿足：；，則的非空集合有（ ）A. 16個 B. 15個 C. 7個 D. 6個【答案】C 【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選C.【變式3】已知集合A=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，求實數(shù)a的取值.【答案】 a=-1， a=或a=0【解析】， a2A， 則有：（1）a2=1a=1，當a=1時與元素的互異性不符，a=-1；（2）a2=3a=（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，則a=0綜上：a=-1， a=或a=0.注意：根據(jù)集合元素的互異性，需分類討論.例3. 設(shè)M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，則M與N滿

16、足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B【解析】當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對應(yīng)的整數(shù)，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對應(yīng)的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B.例4已知若M=N，則= A200 B200 C100 D0【思路點撥】解答本題應(yīng)從集合元素的三大特征入手，本題應(yīng)側(cè)重考慮集合中元素的互異性【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由00，|x|，y可知若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了M中元素

17、互異性，所以x0.若xy=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破壞了N中元素的互異性，故xy0若，則x=y，M，N可寫為M=x，x2，0，N=0，|x|，x由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上討論知不成立若|x|=1即x=1當x=1時，M中元素|x|與x相同，破壞了M中元素互異性，故 x1當x=-1時，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合題意，綜上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口因此，集合元

18、素的特征是分析解決某些集合問題的切入點舉一反三：【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=( )【答案】2【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：當b=1時，a=-1，當時，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)綜上：a=-1，b=1，b-a=2.類型二：集合的運算例5. （1）已知集合M=y|y=x2-4x+3，xR，N=y|y=-x2+2x+8，xR，則MN等于( )A. B. R C. -1，9 D. y|-1y9（2）設(shè)集合M=3，a，N=x|x2-2x0，xZ，MN=1，則MN為( )A. 1，2，a B. 1，2，3，a C. 1，2，3 D. 1，3【思路點撥】（1）先把集合M、N進行化簡，在利用數(shù)軸進行相應(yīng)的集合運算（2）先把集合N化簡，然后再利用集合中元素的互異性解題【答案】（1）D （2）D【解析】（1）集合M、N均表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值范圍，故可知：M=y|y-1，N=y|y9，所以MN=y|-1y9，選D.（2）由N=x|x2-2x0，xZ可得：N=x|0xa.（1）若AB，求實數(shù) a的取值范圍；（2）若ABA，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若AB且ABA，求實數(shù)a