第1章離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)

1、12l案例案例1:1:數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在3D3D數(shù)字光處理高清電視數(shù)字光處理高清電視(HDTV)(HDTV)系統(tǒng)中的應(yīng)用。系統(tǒng)中的應(yīng)用。34在在物理上物理上是指定義在離散時(shí)間上的信號(hào)樣值的集合，是指定義在離散時(shí)間上的信號(hào)樣值的集合，樣樣值集合可以是本來(lái)就存在的，也可以由模擬信號(hào)通過(guò)采值集合可以是本來(lái)就存在的，也可以由模擬信號(hào)通過(guò)采樣得來(lái)的或者是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的。樣得來(lái)的或者是用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的。在在數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上可用時(shí)間序列可用時(shí)間序列 來(lái)表示。來(lái)表示。 其中其中 代表代表序列的第序列的第 個(gè)樣點(diǎn)的樣值，個(gè)樣點(diǎn)的樣值， 代表時(shí)間的序號(hào)，代表時(shí)間的序號(hào)， 的可取的可取值范圍為值范圍為

2、的整數(shù)。的整數(shù)。許多時(shí)候?yàn)榱朔奖?，直接用許多時(shí)候?yàn)榱朔奖?，直接?來(lái)代表序列全體來(lái)代表序列全體 。講課中，離散時(shí)間信號(hào)與序列將不予區(qū)分。講課中，離散時(shí)間信號(hào)與序列將不予區(qū)分。)( nx)(nxnnnn)(nx)( nx5x(n)代表第代表第n個(gè)序列值，個(gè)序列值， 在數(shù)值上等于信號(hào)的采樣值在數(shù)值上等于信號(hào)的采樣值x(n)只在只在n為整數(shù)時(shí)才有意義為整數(shù)時(shí)才有意義( )ax t( )()at nTax tx nTn ()ax nT.(),(0),( ),(2 ),.aaaaxTxx TxT序列：序列：對(duì)模擬信號(hào)對(duì)模擬信號(hào) 進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén)，得到得到 n取整數(shù)。

3、對(duì)于不同的取整數(shù)。對(duì)于不同的n值，值， 是一個(gè)有序的數(shù)字序列：是一個(gè)有序的數(shù)字序列： 該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信號(hào)。實(shí)際信號(hào)處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯號(hào)。實(shí)際信號(hào)處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯器中，此時(shí)器中，此時(shí)nT代表的是前后順序。為簡(jiǎn)化，不寫(xiě)采樣間隔，代表的是前后順序。為簡(jiǎn)化，不寫(xiě)采樣間隔，形成形成x(n)信號(hào)，稱(chēng)為信號(hào)，稱(chēng)為序列序列。6 值值其其他他nnnnx,042,1)(1值其他nnnnx, 042, 1)(15, 4, 3, 2, 1, 0, 1 7圖中橫坐標(biāo)圖中橫坐標(biāo)n n表示離散的時(shí)間坐標(biāo)，且僅在表示離散的時(shí)間坐標(biāo)，且僅在n n為整為整

4、數(shù)時(shí)才有意義；縱坐標(biāo)代表信號(hào)樣點(diǎn)的值。數(shù)時(shí)才有意義；縱坐標(biāo)代表信號(hào)樣點(diǎn)的值。89 兩序列同序號(hào)兩序列同序號(hào)(n)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加，即：的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加，即：)()()(21nxnxnx 10)()()(21nxnxnx 11( )( )nky nx k121314對(duì)對(duì)x(nx(n) )以以n=0n=0為起點(diǎn)，每隔為起點(diǎn)，每隔m-1m-1個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)點(diǎn)。即：個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)點(diǎn)。即：)()(mnxny 對(duì)對(duì)x(n)以以n=0為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)相鄰樣點(diǎn)之間插入每?jī)蓚€(gè)相鄰樣點(diǎn)之間插入m-1m-1序列值。即：序列值。即： 其其他他02,0)/()(mmnmnxny( )( )()( )at nT

5、at mnTx nx tx mnx t1516( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()mx m h nm4）相加：17n-2, y(n)=018n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )kx nk h knmkmnk令 則 ( )

6、 ()( )( )kh k x nkh nx n22 nnxE2)(23 0, 00, 1)(nnn mnmnmn, 0, 1)( mn-201mn1-11-2 -1012 nn24)()0()()(nxnnx )()()()(mnmxmnnx )()()(nxnnx )()()(mnxmnnx 250, 00, 1)(nnnu.0123nu(n)1)2() 1()()()() 1()()()(0nnnmnnununununm 與 的關(guān)系)(n)(nu26 0,00),()()(nnnxnunx nmmxnunx)()()(27 nNnnRN其其他他0101)(0 123n)(4nR14 值值

7、其其他他窗窗截截取?。簄NnnxnRnxmnnRNnununRNNmNN, 010),()()()()()()()(10 28)()(nuanxn 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)收收斂斂時(shí)時(shí),1,1 aa29)()()(0nuenxnj ，式中，式中0為數(shù)字域頻率為數(shù)字域頻率)(sincos)()()()()(00)(0nunjenenueenuenxnuenxnnnjnjnjo 30j nn3x(n)=0.9 e例：31)sin()(0nAnx( )( )sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：數(shù)字域頻率：模擬域頻率T：采樣周期sf ：采樣頻率( )sin()ax tAt 模擬正弦信號(hào)：模擬正弦

8、信號(hào)：數(shù)字域頻率是模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化頻率數(shù)字域頻率是模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化頻率32)(nx)()(NnxnxnNN)(nx周期為周期為4的序列示意圖：的序列示意圖：33)sin()(0nAnx),(2,200必須為整數(shù)必須為整數(shù)即即當(dāng)當(dāng)kNkNkN )()(Nnxnx 有有sin)(sin)(000 NnANnANnx則則)(sin)sin(00 NnAnA即即340202023500221( )kx n1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，取，即是周期為的周期序列02sin()8448nN0如， ， 該序列是周期為 的周期序列Nk02 360022( )PPQQkQNPx nP2）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，表

9、示成， 、 為互為素?cái)?shù)的整數(shù)取，則，即是周期為 的周期序列04425sin()5525n0如， ， ， 該序列是周期為 的周期序列3702( )kNx n3）當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，取任何整數(shù) 都不能使 為正整數(shù)，不是周期序列0112sin()844n0如， ， 該序列不是周期序列38()()666()n NnNjjx nNee 解：( )( )()26x nx nx nNNkNk若為周期序列，則必須滿(mǎn)足，即滿(mǎn)足，且 ， 為整數(shù)例：判斷()6( )njx ne是否是周期序列12kNk而不論 取什么整數(shù)，都是一個(gè)無(wú)理數(shù)( )x n不是周期序列例：判斷是否是周期序列()()666()n NnNjjx nNe

10、e 解：例：判斷是否是周期序列39 mmmnnxmnmxnnxnx)()()()()()()( 40例如對(duì)序列例如對(duì)序列)()(1010mnanxmm用單位采樣序列的加權(quán)可表示為：用單位采樣序列的加權(quán)可表示為：0)(nanx1010nn為其他為其他41l線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)l時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)l線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)l離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性42離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 記為：431 1221122( )( )( )( )T a x na x na y na y n1212 (

11、 )( )( )( )T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a為常數(shù)11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 441112( ) ( )( )sin()97y nT x nx nn解：設(shè)2222( )( )( )sin()97y nT x nx nn12122 ( )( ) ( )( )sin()97T x nx nx nx nn1222( )sin()( )sin()9797x nnx nn112( )( )sin()97T ax nax nn1( )ay na， 為常數(shù)該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)2( )( )sin()97y nx

12、 nn判斷例統(tǒng)：系是否線性12( )( )y ny n滿(mǎn)足可加性滿(mǎn)足比例性( )( )y nax nb, a b為常數(shù)是非線性系統(tǒng)。是非線性系統(tǒng)。111( ) ( )( )y nT x nax nb證：設(shè)222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx na x nx nb12( )( )y ny n該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)12( )( )ax nax nb不滿(mǎn)足可加性*線性系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加原理的線性系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加原理的直接結(jié)果直接結(jié)果：零輸入產(chǎn)生零輸出。：零輸入產(chǎn)生零輸出。線性系統(tǒng)x(n)y0(n)y(n)( )( )y nax nb47Tx(n)( )

13、 ()()y nT x nmy nmm對(duì)移不變系統(tǒng)，若則 ， 為任意整數(shù)2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm該系統(tǒng)不是移不變系統(tǒng)例：試判斷2( )( )sin()97y nx nn是否是移不變系統(tǒng)50( )n( ) ( )h nTnT ( )n( )h n51( )( ) ()mx nx mnm任意輸入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系統(tǒng)輸出：( ) ()mx m Tnm，線性( ) ()mx m h nm， 移不變性( )( )x nh n52LSIh(n)x(n)y(n)( )(

14、)( )y nx nh n53( )( )* ( )y nx nh n解：( ) ()mx m h nm( )( )01nh na u na( )( )()x nu nu nNLSI：某系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為：輸入序列為例：求系統(tǒng)輸出。0nN當(dāng)時(shí)0( )( ) ()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0( )0ny n當(dāng)時(shí)nN當(dāng)時(shí)( )( ) ()my nx m h nm11001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001( )0111nnNnnay nanNaaanNa56h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )(

15、 )( )y nx nh nh nx n57h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )*( )*( )( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )( )* ( )y nx nh n581212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)59系統(tǒng)的系統(tǒng)的因果性因果性表明了系統(tǒng)的表明了系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性物理可實(shí)現(xiàn)性。如果系統(tǒng)的輸出與將來(lái)

16、的輸入有關(guān)，該系統(tǒng)為如果系統(tǒng)的輸出與將來(lái)的輸入有關(guān)，該系統(tǒng)為非因果非因果系統(tǒng)系統(tǒng)，是物理不可實(shí)現(xiàn)的。，是物理不可實(shí)現(xiàn)的。nnnn00)(nnh60( )() ()my nx m h nm000()() ()nmy nx m h nm0()y n( )x m0mn61( )0h n 1( )() ()() ()nmmny nx m h nmx m h nm6263系統(tǒng)對(duì)于任何有界輸入，輸出也是有界的。系統(tǒng)對(duì)于任何有界輸入，輸出也是有界的。稱(chēng)這種穩(wěn)定性為稱(chēng)這種穩(wěn)定性為有界輸入有界輸入有界輸出有界輸出( (BIBO)BIBO)穩(wěn)定性穩(wěn)定性。nnh)(64( )() ()()()()( )mmmky

17、nx m h nmx mh nmMh nmMh kMP 證明證明 先證明充分性。若先證明充分性。若輸入序列輸入序列x(n)有界，即有界，即 , M為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，則則 輸出輸出y(n)有界。有界。( )x nM( )nh n 1, ()01, ()0hnhnx(n)= 令n=0 ( )( ) ()(0)( ) (0)()( )mmmmy nx m h nmyx m hmhmh m所以假設(shè)不成立。所以所以假設(shè)不成立。所以 是穩(wěn)定的必要條件。是穩(wěn)定的必要條件。( )nh n ( )nh n ( )nh n 66)()(nuanhn ( ) ( )( )nh nh n u nh n 68Ni

18、Mjjijnxbinya00)()(或NiiMjjinyajnxbny10)()()( 系數(shù)系數(shù)ai(iai(i=1=1、2 2、N)N)， bjbj(j j=1,=1,M),M)均為常數(shù)。均為常數(shù)。 差分方程的階數(shù)指方程中差分方程的階數(shù)指方程中y(n-iy(n-i) )的最高階與最低階之的最高階與最低階之差。差。 線性指方程中僅有線性指方程中僅有x(n-jx(n-j) )和和y(n-iy(n-i) )的一次冪項(xiàng)，不含的一次冪項(xiàng)，不含它們的相乘項(xiàng)。它們的相乘項(xiàng)。69一是從差分方程表達(dá)式比較容易得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；一是從差分方程表達(dá)式比較容易得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；二是便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。二是便于求解系

19、統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。 70已知系統(tǒng)的輸入序列，通過(guò)求解差分方程可以求出已知系統(tǒng)的輸入序列，通過(guò)求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的輸出序列。求解差分方程的基本方法基本方法有以下三種：有以下三種： (1)經(jīng)典解法。齊次解特解經(jīng)典解法。齊次解特解 (2)遞推解法。迭代法，卷積和計(jì)算法遞推解法。迭代法，卷積和計(jì)算法 (3)變換域方法。變換域方法。Z變換法變換法 71例例1.1.常系數(shù)線性差分方程常系數(shù)線性差分方程 y(n)-3y(n-1) =2x(n)。試求其。試求其初始條件初始條件y(-1)=0和和y(0)=0時(shí)的單位采樣響應(yīng)時(shí)的單位采樣響應(yīng)h(n)。解：解：根據(jù)系統(tǒng)單位采樣響應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)單位采樣

20、響應(yīng)h(nh(n) )的定義的定義, ,當(dāng)激勵(lì)當(dāng)激勵(lì)x(n)=(n), ,則則y(n)=y(n)=h(nh(n) )。 nnyny213（1）邊界條件為）邊界條件為y(-1)=0,必定有必定有y(n)=0,n0,則上式可變?yōu)閯t上式可變?yōu)?720(0)3(1)20223yy13223)1 (2)0(3)1 (yy23263)2(2) 1 (3)2(yy332183)3(2)2(3)3(yy( )3 (1)2(1)23ny ny nn由遞推關(guān)系，得由遞推關(guān)系，得 2 30ny nn ，（）即得系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)即得系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng) ，是因果系統(tǒng)。，是因果系統(tǒng)。( )2 3 ( )nh nu n

21、732311nnyny92)32(31121312yy333232272)92(312313yy 443232812)272(313314yy ），（132nnyn由遞推關(guān)系，得由遞推關(guān)系，得0, 0)(nny利用已得出的結(jié)果利用已得出的結(jié)果 322031020311yy則75( )( )aax tx t ( )( )( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt當(dāng)76l采樣前后信號(hào)頻譜的變化；采樣前后信號(hào)頻譜的變化；l什么條件下，可以從采樣信號(hào)不失真地恢復(fù)出什么條件下，可以從采樣信號(hào)不失真地恢復(fù)出原信號(hào)？原信號(hào)？77 ( )( )( )() ()aaamx tx ts

22、 tx mTtmT0()aXj求理想抽樣的頻譜( )( )()Tms tttmT理想抽樣輸出：理想抽樣輸出：2() ( )()()S jDTFT s tksTkkssk 1()( )()* ()2aaaXjDTFT x tXjS j 1()askXjjkT()( )( )j taaaXjFT x tx t edt 1()()2aXjkssk 21( )( )sjktssTkkstAfeTTt 其中: 為級(jí)數(shù)的基頻，為采樣頻率222211( )()ssTTjktjktkTTTmAt edttmT edtTT系數(shù): 1()( )sjktTkjDTFTtDTFT eT 其頻譜：S122()()ssk

23、kkkTT 2211( )sTjktTt edtTT1( )sjktks teT()11ssjktjktj tkkeedtedtTT l抽樣信號(hào)的頻譜是模擬信號(hào)頻譜以抽樣頻率為周期進(jìn)抽樣信號(hào)的頻譜是模擬信號(hào)頻譜以抽樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓而成行周期延拓而成l頻譜幅度是原信號(hào)頻譜幅度的頻譜幅度是原信號(hào)頻譜幅度的1/T倍倍l若信號(hào)的最高頻率若信號(hào)的最高頻率 22shs ， 為折疊頻率則延拓分量產(chǎn)生頻譜則延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊混疊1()()aaskXjXjjkT 81要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則抽要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則抽樣頻率必須大于或等于兩倍信號(hào)譜的最高頻率樣頻率必須大于或

24、等于兩倍信號(hào)譜的最高頻率22shshff 即82利用低通濾波器還原滿(mǎn)足奈奎斯特抽樣定理的利用低通濾波器還原滿(mǎn)足奈奎斯特抽樣定理的抽樣信號(hào)。抽樣信號(hào)。2()02ssTH j s/2-s/2T 0H(j)Hj()aXj()aYj理想低通濾波器理想低通濾波器:()()()()aaaYjXjH jXj ( )( )aax tx t1( )()2j th tH jed( )( )( ) ()aaay tx txh tdsin()()()amtmTTx mTtmTT22sin()sin()222sssj tsttTTedttT 輸出：討論sin()()()tmTTh tmTtmTT內(nèi)插函數(shù)：（1 1）在采樣點(diǎn)）在采樣點(diǎn) 上，信號(hào)值不變，即：上，信號(hào)