理想白噪聲和帶限白噪聲的產(chǎn)生與分析

1、理想白噪聲和帶限白噪聲的產(chǎn)生與分析摘要 利用Matlab仿真分析產(chǎn)生的高斯白噪聲和均勻白噪聲通過低通濾波器和帶通濾波器后的時域及頻域波形，以便更好地理解白噪聲。背景 在實際應(yīng)用中，通信設(shè)備的各種電子器件、傳輸線、天線等都會產(chǎn)生噪聲，伴隨著信號的產(chǎn)生、傳輸和處理的全過程。噪聲也是一種隨機(jī)過程，而白噪聲具有均勻功率譜密度，在數(shù)學(xué)處理上具有方便、簡單的優(yōu)點。電子設(shè)備中的起伏過程如電阻熱噪聲、散彈噪聲等，在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密度，可以當(dāng)做白噪聲處理，因而研究白噪聲的特性顯得非常重要。實驗特點與原理 （1）隨機(jī)信號的分析方法 在信號系統(tǒng)中，把信號分為確知信號與隨機(jī)信號兩類。在工程技術(shù)中，

2、一般用概率密度、均值、均方值、方差、自相關(guān)函數(shù)、頻譜、功率譜密度等描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。均值均值Ex(t)()表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值。基于隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性，可用時間間隔T內(nèi)的幅值平均值表示： 均值表達(dá)了信號變化的中心趨勢，或稱之為直流分量。 均方值均方值Ex2(t)()，或稱為平均功率：均方值表達(dá)了信號的強(qiáng)度，其正平方根值，又稱為有效值，也是信號的平均能量的一種表達(dá)。方差 定義： 可以證明，=+。其中：描述了信號的波動量； 描述了信號的靜態(tài)量。 自相關(guān)函數(shù)信號的相關(guān)性是指客觀事物變化量之間的相依關(guān)系。對于平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t)和y(t)在兩個不同時刻t和t+的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用相

3、關(guān)函數(shù)表示。在離散情況下，信號x(n)和y(n)的相關(guān)函數(shù)定義為： ,t=0,1，2,N-1隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)表示波形自身不同時刻的相似程度。與波形分析、頻譜分析相比，它具有能夠在強(qiáng)噪聲干擾情況下準(zhǔn)確地識別信號周期的特點。頻譜信號頻譜分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號，從另一個角度來了解信號的特征。時域信號x(t)的傅氏變換為：功率譜密度隨機(jī)信號的功率譜密度是隨機(jī)信號的各個樣本在單位頻帶內(nèi)的頻譜分量消耗在一歐姆電阻上的平均功率的統(tǒng)計均值，是從頻域描述隨機(jī)信號的平均統(tǒng)計參量，表示x(t)的平均功率在頻域上的分布。它只反映隨機(jī)信號的振幅信息，而沒有反映相位信息。隨機(jī)過程的功率譜

4、密度為： （2）白噪聲 理想白噪聲均值為零而功率譜密度為非零常數(shù)，即的平穩(wěn)隨機(jī)過程稱為白噪聲。利用維納辛欽公式，不難得到白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為若一個具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度在某一個有限頻率范圍內(nèi)均勻分布，而在此范圍外為零，則稱這個過程為帶限白噪聲。帶限白噪聲又可分為低通型的和帶通型的。低通型帶限白噪聲的功率譜密度滿足自相關(guān)函數(shù)為帶通型帶限白噪聲的功率譜密度滿足自相關(guān)函數(shù)為（3）Matlab相關(guān)函數(shù)rand(m,n) 產(chǎn)生m行n列的均勻分布randn(m,n) 產(chǎn)生m行n列的高斯分布c,lags =xcorr(x,maxlags,option) 自相關(guān)函數(shù)，option選擇unbia

5、sed無偏估計，時域區(qū)間-maxlags:maxlags ，序列長度2*maxlags+1Pxx,f = periodogram(x,window,nfft,fs) 功率譜密度，偶數(shù)點時，Pxx長度(nfft/2 + 1)，w范圍0,pif,xi = ksdensity(x) 一維概率密度fft(X) 傅里葉變換n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 巴特沃斯濾波器，Wp為通帶邊界頻率,Ws為阻帶邊界頻率,Rp通帶最大衰減,Rs為阻帶最小衰減，n為階數(shù)，Wn為歸一化頻率z,p,k = buttap(n) 巴特沃斯模擬低通濾波器模型h,w = freqz(hd,n) 離散時域

6、濾波器的頻率響應(yīng)，h、w長度為n，w范圍0,pifilter(b,a,X) 濾波器b,a=ellip(n, Rp, Rs, Wn，option) 橢圓濾波器實驗設(shè)計與實現(xiàn)（1）用 Matlab編寫和仿真程序。系統(tǒng)框圖如圖所示： （2）輸入信號x(t)：x(t)分別為高斯白噪聲信號和均勻白噪聲信號，測試白噪聲的均值、均方值、方差，自相關(guān)函數(shù)、概率密度、頻譜及功率譜密度并繪圖，分析實驗結(jié)果。（3）設(shè)計一個低通濾波器和一個帶通濾波器。 要求低通濾波器的通帶為0KHz-2KHz、通帶衰減小于 1db、阻帶衰減大于 35db。帶通濾波器的通帶為10KHz-20KHz、通帶衰減小于1db、阻帶衰減大于35

7、db。（4）分別計算高斯白噪聲、均勻白噪聲經(jīng)低通濾波、帶通濾波器后的均值、均方值、方差、概率密度、自相關(guān)函數(shù)、頻譜及功率譜密度，并加以分析。（5） 所有結(jié)果均用圖示法來表示。仿真程序：h1.m%高斯白噪聲通過低通濾波器Fs=10000;Ns=1024; x=randn(Ns,1);%產(chǎn)生高斯白噪聲 t=0:Ns-1; figure(1) plot(t,x); grid on title(高斯白噪聲波形) xlabel(t) x_mean=mean(x) %均值 figure(2)plot（t,x_mean）grid onx_std=std(x) ; %標(biāo)準(zhǔn)差 x_var=x_std.2 %方差

8、 x_msv=x_var+x_mean.2 %均方值 figure(3)plot（t,x_mean）grid on%計算高斯白噪聲的相關(guān)函數(shù) x_c,lags=xcorr(x,200,unbiased);%相關(guān)函數(shù) figure(2) plot(lags,x_c);%畫出相關(guān)函數(shù)的圖形 title(白噪聲的自相關(guān)函數(shù)) grid on % 利用periodogram函數(shù)計算功率譜 nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); k=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(x_c); Pxx,f=periodogram(x_c,wind

9、ow,nfft,Fs); x_Px=Pxx(index+1); figure(3) plot(k,x_Px); grid on title(白噪聲的功率譜) Xlabel(Frequency/Hz) %求高斯白噪聲的一維概率密度 x_pdf,x1=ksdensity(x); figure(4) plot(x1,x_pdf);%畫出高斯白噪聲的一維概率密度 grid on title(白噪聲的一維概率密度) %求高斯白噪聲的頻譜 f=(0:Ns-1)/Ns*Fs; X=fft(x);%對高斯白噪聲進(jìn)行傅里葉變換 mag=abs(X); %取信號X的幅度 figure(5) plot(f(1:Ns

10、/2),mag(1:Ns/2);%畫出白噪聲的頻譜 grid on title(白噪聲頻譜); xlabel(Frequency/Hz); % 利用雙極性Z變換設(shè)計0-2kHz低通濾波器 fp=2000;fs=2200; rp=0.5;rs=50; wp=2*pi*fp/Fs; ws=2*pi*fs/Fs; wap=tan(wp/2); was=tan(ws/2); Fs=1; N,Wn=buttord(wap,was,rp,rs,s);%估計所需濾波器的階數(shù) z,p,k=buttap(N); bp,ap=zp2tf(z,p,k); bs,as=lp2lp(bp,ap,wap); bz,az=

11、bilinear(bs,as,Fs/2); H,w=freqz(bz,az,512,Fs*10000);%計算數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) figure(6) plot(w,abs(H);%低通濾波器的頻譜 title(0-2kHz的低通濾波器的頻譜) xlabel(Frequency/Hz) ylabel(Mag of frequency response) grid on %白噪聲通過濾波器以及通過后y相關(guān)參數(shù) y=filter(bz,az,x);%白噪聲通過濾波器 y_mean=mean(y) %y的均值 y_std=std(y); %標(biāo)準(zhǔn)差 y_var=y_std.2 %方差 y_msv=y_

12、var+y_mean.2 y_pdf,y1=ksdensity(y); figure(7) plot(y1,y_pdf);%y的一維概率密度 grid on title(y的一維概率密度函數(shù)圖像); y_c,lags1=xcorr(y,200,unbiased);%計算y的相關(guān)函數(shù) figure(8) plot(lags1,y_c);%畫出y的相關(guān)函數(shù)的圖形 axis(-50,50, -0.1,0.5 ); title(y的自相關(guān)函數(shù)) grid on %計算y的頻譜 Y=fft(y);%對y進(jìn)行傅里葉變換 magY=abs(Y); figure(9) plot(f(1:Ns/2),magY(

13、1:Ns/2);%畫出y的頻譜 grid on title(白噪聲通過低通濾波器的頻譜); xlabel(Frequency/Hz); %y的功率譜 nfft=1024;Fs=10000; index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(y_c); Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs); y_Py=Pyy(index+1); figure(10) plot(ky,y_Py); grid on title(白噪聲通過低通濾波器后的功率譜) xlabel(Frequency/

14、Hz) 仿真波形： h2.m%高斯白噪聲通過帶通濾波器Fs=100000;Ns=1024; x=randn(Ns,1);%產(chǎn)生白噪聲 t=0:Ns-1; figure(1) plot(t,x); grid on title(高斯白噪聲波形) xlabel(t) x_mean=mean(x) %均值 x_std=std(x) ; %標(biāo)準(zhǔn)差 x_var=x_std.2 %方差 x_msv=x_var+x_mean.2 %均方值 %計算高斯白噪聲的相關(guān)函數(shù)% x_c,lags=xcorr(x,200,unbiased);%相關(guān)函數(shù) figure(2) plot(lags,x_c);%畫出相關(guān)函數(shù)的圖

15、形 title(白噪聲的自相關(guān)函數(shù)) grid on % 利用periodogram函數(shù)計算功率譜% nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); k=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(x_c); Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs); x_Px=Pxx(index+1); figure(3) plot(k,x_Px); grid on title(白噪聲的功率譜) Xlabel(Frequency/Hz) %求白噪聲的一維概率密度 x_pdf,x1=ksdensity(x); figur

16、e(4) plot(x1,x_pdf);%畫出白噪聲的一維概率密度 grid on title(白噪聲的一維概率密度) %求高斯白噪聲的頻譜 f=(0:Ns-1)/Ns*Fs; X=fft(x);%對白噪聲進(jìn)行傅里葉變換 mag=abs(X); %取信號X的幅度 figure(5) plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2);%畫出白噪聲的頻譜 grid on title(白噪聲頻譜); xlabel(Frequency/Hz); %產(chǎn)生一個十階IIR帶通濾波器 %通帶為10KHz-20KHz，并得到其幅頻響應(yīng) Fs=100000 b,a=ellip(10,0.5,50,10000,

17、20000*2/Fs); H,w=freqz(b,a,512); figure(6) plot(w*Fs/(2*pi),abs(H); title(帶通濾波幅頻響應(yīng)); set(gcf,color,white) xlabel(Frequency Hz); ylabel(Mag of frequency response); grid on %白噪聲通過帶通濾波器以及通過后y相關(guān)參數(shù) y=filter(b,a,x);%白噪聲通過帶通濾波器 y_mean=mean(y) %y的均值 y_std=std(y); %標(biāo)準(zhǔn)差 y_var=y_std.2 %方差 y_msv=y_var+y_mean.2

18、y_pdf,y1=ksdensity(y); figure(7) plot(y1,y_pdf);%y的一維概率密度 grid on title(y的一維概率密度函數(shù)圖像); y_c,lags1=xcorr(y,200,unbiased);%計算y的相關(guān)函數(shù) figure(8) plot(lags1,y_c);%畫出y的相關(guān)函數(shù)的圖形 title(y的自相關(guān)函數(shù)) grid on %計算y的頻譜 Y=fft(y);%對y進(jìn)行傅里葉變換 magY=abs(Y); figure(9) plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2);%畫出y的頻譜 grid on title(白噪聲通過帶通濾波器的頻譜); xlabel(Frequency/Hz); %y的功率譜 nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(y_c); Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs); y_Py=Pyy(index+1); figure(10) plot(ky,y_Py); grid on title(白噪聲通過帶通濾波器后的功率譜) Xlabel(Frequency/Hz)仿真波形： 結(jié)果分析：(1)