直線與橢圓位置關(guān)系

1、復(fù)習(xí)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種，如何判定？復(fù)習(xí)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種，如何判定？ 法1（幾何法）：比較dOA與r的大?。环?（代數(shù)法）：代入判斷 直線與圓的位置關(guān)系有幾種，如何判定？直線與圓的位置關(guān)系有幾種，如何判定？法1（幾何法）：比較dO-l與r的大??；法2（代數(shù)法-）：聯(lián)立后看符號 1 1：如何判斷點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系？：如何判斷點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系？2 2：利用直線與橢圓的位置關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)。：利用直線與橢圓的位置關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)。本節(jié)課的重點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)： 點(diǎn)點(diǎn) P(xP(x0 0,y,y0 0) )與橢圓與橢圓 的位置關(guān)系及判斷：的位置關(guān)系及判斷：1.點(diǎn)在橢圓外

2、點(diǎn)在橢圓外2.點(diǎn)在橢圓上點(diǎn)在橢圓上3.點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)在橢圓內(nèi)22221(0)xyabab1220220byax1220220byax1220220byax例例1：已知直線：已知直線l：x+y-3=0，橢圓，橢圓 判斷直線判斷直線l與橢圓與橢圓C的位置關(guān)系。的位置關(guān)系。22:14xCy已知直線已知直線l：y=mx-m ，橢圓，橢圓 判斷直線判斷直線l與橢圓與橢圓C的位置關(guān)系。的位置關(guān)系。22:14xCy已知直線已知直線l：y=x+m ，橢圓，橢圓 判斷直線判斷直線l與橢圓與橢圓C的位置關(guān)系。的位置關(guān)系。22:14xCy1 1、公共點(diǎn)問題：、公共點(diǎn)問題：判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的方法有：判斷直線與橢

3、圓的位置關(guān)系的方法有：幾何法：直接作圖；幾何法：直接作圖；代數(shù)法：代數(shù)法：直線直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0 與橢圓與橢圓 的位置關(guān)系的位置關(guān)系 ： 102222byaxCByAx yoF1F2x yoF1F2x yoF1F2x12222byax3.相離相離: 方程組無公共解方程組無公共解.2.相切相切: 方程組只有一組公共解方程組只有一組公共解.1.相交相交: 方程組有兩組公共解方程組有兩組公共解.等價(jià)于：等價(jià)于：00/2/cxbxa(代數(shù)法代數(shù)法)直線與橢圓聯(lián)立得直線與橢圓聯(lián)立得練習(xí)練習(xí)1：已知直線：已知直線y=mx-2與橢圓與橢圓 總有公共點(diǎn)，求總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍。的取

4、值范圍。2214xy練習(xí)練習(xí)2：已知直線：已知直線ykx1與橢圓與橢圓 總有公共點(diǎn)，求總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍。的取值范圍。1522myx2 2、弦長問題：、弦長問題：例例2：已知直線：已知直線xy10與橢圓與橢圓 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)A、B，求弦長，求弦長|AB|。 141622yx小結(jié)：小結(jié)： 若直線若直線l:y=kx+b與橢圓相交于與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，設(shè)設(shè) 則則弦長弦長|AB|:1122( ,), (,)A x yB xy221221)()(|yyxxAB),(2211bkxybkxy2212221)()(|xxkxxAB2212)(1xxk2122124)(1xxxxk-設(shè)而不

5、求設(shè)而不求思路思路1 1：直接求出直接求出x1, y1, x2,y2 思路思路2 2：只要求出只要求出x1, x2思路思路3 3：直接求出直接求出x1+x2、x1x2 例題例題3：若直線：若直線y=x+m與橢圓與橢圓 相交于相交于2214xyA、B兩點(diǎn)，求弦長兩點(diǎn)，求弦長|AB|的取值范圍。的取值范圍。例題例題4：已知直線：已知直線l：4x-5y+40=0及橢圓及橢圓C： 221259xy橢圓橢圓C上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)，使點(diǎn)P到直線到直線l的距的距離最??？若存在，請求出最小距離。離最?。咳舸嬖?，請求出最小距離。3 3、最值問題、最值問題 . 036)42(4)21 (16)41

6、 (222kxkkxk4)41 (2)21 (1620221kkkxxxM.21k解得，得由1936)4(222yxxky)4(2xky存在，設(shè)解：由題意知直線斜率082)4(212:yxxy即所以所求直線方程為經(jīng)檢驗(yàn)，符合經(jīng)檢驗(yàn)，符合0.241936. 522方程在直線）平分，求此弦所，（被點(diǎn)的弦已知橢圓例MAByx4 4、弦的中點(diǎn)問題、弦的中點(diǎn)問題 .241936. 522方程在直線）平分，求此弦所，（被點(diǎn)的弦已知橢圓例MAByx另解：，則，設(shè))()(2211yxByxA193619362224222221212121yxyxyyxx09)(36)(4321212121yyyyxxxx得：

7、由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk082)4(212:yxxy即所以所求直線方程為變式：本題改為變式：本題改為M M（2,42,4），問），問“是否存在被是否存在被M M平分的弦，平分的弦， 若存在，求弦方程若存在，求弦方程”。該怎么解？。該怎么解？設(shè)點(diǎn)作差法設(shè)點(diǎn)作差法：作用：可解決作用：可解決弦的中點(diǎn)弦的中點(diǎn)和和弦的斜率弦的斜率和和橢圓系數(shù)橢圓系數(shù)之間的之間的關(guān)系。關(guān)系。前提條件：直線與橢圓相交。前提條件：直線與橢圓相交。解決方案：驗(yàn)。解決方案：驗(yàn)。求橢圓方程。，且于與橢圓交直線已知橢圓方程為例,1, 14:62222OBOABAxybybxAxyOB),

8、(),(2211yxByxA解：設(shè)得：則由OBOA 15852.22yx橢圓方程為5 5、垂直問題、垂直問題 0,22121yyxxOBOA：法1, 112211xyxykkOBOA：法練習(xí)練習(xí)3：已知橢圓：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，軸上，離心率離心率 ，橢圓，橢圓C與直線與直線x+y+1=023e相交于相交于P、Q兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，若三角形若三角形OPQ為直角為直角三角形，三角形，求橢圓求橢圓C的方程。的方程。練習(xí)練習(xí)4：已知橢圓：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，軸上，離心率離心率 ，橢圓，橢圓C與直線與直線x+y+1=023e相交于相交于

9、P、Q兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，以線段以線段PQ為直徑的圓為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)，求橢圓求橢圓C的方程。的方程。（3 3）弦中點(diǎn)問題）弦中點(diǎn)問題（4 4）與垂直有關(guān)的問題）與垂直有關(guān)的問題解解1:(1:(整體整體) )設(shè)而不求；解設(shè)而不求；解2 2:(:(個(gè)體個(gè)體) )設(shè)點(diǎn)作差法設(shè)點(diǎn)作差法02121yyxx小結(jié)小結(jié): :直線與橢圓：直線與橢圓：（2 2）弦長問題）弦長問題（1 1）直線與橢圓位置關(guān)系）直線與橢圓位置關(guān)系( (即公共點(diǎn)個(gè)數(shù)）即公共點(diǎn)個(gè)數(shù)）2122124)(1xxxxkAB基本解題步驟：基本解題步驟：聯(lián)立聯(lián)立; ; 消元消元; ; 二次項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)系數(shù)+ +; ; 韋達(dá)韋達(dá); ; 化簡，代

10、公式化簡，代公式求橢圓方程。，且于與橢圓交直線已知橢圓方程為例,1, 14:62222OBOABAxybybxAxyOB),(),(2211yxByxA解：設(shè)02121yyxxOBOA得：則由222441byxxy由2224) 1(4bxx0448522bxx整理得：54458022121bxxxx由韋達(dá)定理得) 1)(1(2121xxyy12121xxxx5412b054154422bb852 b1585222yx橢圓方程為02121yyxx弦所在的直線方程。）求被橢圓截得的最長（的范圍；點(diǎn)時(shí)，求）當(dāng)直線與橢圓有公共（，及直線：已知橢圓例2114722mmxyyxxyO121代入橢圓將解：m

11、xy) 1 (01)(422mxx012522mmxx直線與橢圓有公共點(diǎn)，0) 1(20422mm2525m點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓有公共所以當(dāng)2525m4 4、最值問題、最值問題 代入橢圓將mxy)2(012522mmxx由弦長公式得：5) 1(20411|1|2222mmakAB245522m5102|0maxABm時(shí)，當(dāng)xy 此時(shí)，直線方程為xyO121弦所在的直線方程。）求被橢圓截得的最長（的范圍；點(diǎn)時(shí)，求）當(dāng)直線與橢圓有公共（，及直線：已知橢圓例2114722mmxyyx4 4、最值問題、最值問題 .125144)(822的取值范圍求上的點(diǎn)，是橢圓，：已知例yxuyxyxP yoF1F2x代

12、入橢圓方程：將解xuy2125)(14422xux0125252)2511441(22uxux0) 125)(2511441(4)252(022uu得：由13 u1313yx4 4、最值問題、最值問題 練習(xí)練習(xí)1：已知過橢圓：已知過橢圓 的右焦點(diǎn)且斜率為的右焦點(diǎn)且斜率為 1的直線的直線l與橢圓相交于點(diǎn)與橢圓相交于點(diǎn)A、B，求弦長，求弦長|AB| 。141622yx等于橢圓等于橢圓C的短軸長，求的短軸長，求 的值。的值。已知橢圓已知橢圓 ，直線，直線22:14xCy:,l yxmPQ且直線且直線 與橢圓與橢圓C相交于相交于P、Q兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若lm練習(xí)練習(xí)2：例題例題5：過橢圓：過橢圓 內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)作一條弦作一條弦AB，221164xy使得弦使得弦AB被點(diǎn)