經(jīng)典的傅里葉變換(上)

1、傅里葉變換（上） 孔 孔 出品 一、什么是頻域 從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身 高、汽車(chē)的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀 察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為， 世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。但如 果我告訴你，用另一種方法來(lái)觀察世界的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒 不變的，你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了？我沒(méi)有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做 頻域。 先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng)，但意義上再貼切不過(guò)的例子： 在你的理解中，一段音樂(lè)是什么呢？ 這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相 信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō)，音樂(lè)更直觀的

2、理解是這樣的 一、什么是頻域 將以上兩圖簡(jiǎn)化： 時(shí)域： 頻域： 在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支 股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。 二、傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)(Fourier Series)的頻譜 如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形 波來(lái)，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖： 詳解 第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos（x） 第二幅圖是 2 個(gè)賣(mài)萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x) 第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加 第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加 隨著正弦波數(shù)量逐

3、漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形， 大家從中體會(huì)到了什么道理？ 只要努力，彎的都能掰直！ 隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的 曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處 時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。 但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波 呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。 （上帝：我能讓你們猜著我？） 在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和， 也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成 的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低 到高從前向

4、后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì) 心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分 割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線， 有些正弦波成分是不需要的。 這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。 時(shí)域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波 cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是。 有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？ cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線！所以在 頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅 影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形

5、狀。 什么是正弦波？ 正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單 元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓。 介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在 頻域里的另一個(gè)模樣了： 老實(shí)說(shuō)，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現(xiàn)，那時(shí)我 就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的 另一個(gè)譜相位譜。 但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著 什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這 句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象， 實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，但實(shí)際這些曲線都是由這些 無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦 波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。 那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？ 我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪， 大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有 一個(gè)小人那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在 幕布前表演，卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永 遠(yuǎn)一直