圓錐曲線定義

1、1.定義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離之的距離之和等于常數(shù)（和等于常數(shù)（大于大于|F|F1 1F F2 2| |) ) 的點(diǎn)的軌的點(diǎn)的軌跡叫做跡叫做橢圓橢圓(ellipse).(ellipse).這兩個(gè)定點(diǎn)叫這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的做橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的橢圓的焦焦( (|F|F1 1F F2 2|=|=2c)2c)。結(jié)論：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)結(jié)論：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離之和等的距離之和等于常數(shù)于常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡為：的點(diǎn)的軌跡為：1若若2a |F1F2|，則軌跡為，則軌跡為橢圓橢圓2若若2a = |F1F2|

2、，則軌跡為，則軌跡為線段線段3若若2a 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡）的點(diǎn)的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程不不 同同 點(diǎn)點(diǎn)相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)圖圖 形形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷 比較比較！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO填空：填空：(1)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則a

3、=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：為：_焦距等于焦距等于_;若若CD為過為過左焦點(diǎn)左焦點(diǎn)F1的弦，則的弦，則 F2CD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為_課前練習(xí)課前練習(xí)1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。|CF1|+|CF2|=2a15422yx(2)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ,則則 a=_，b=_，c=_， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為：焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_，焦距，焦距 等于等于_; 若曲線上一點(diǎn)若曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F1的距離為的距離為3，則，則

4、點(diǎn)點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于的距離等于_， 21(0,-1)、(0,1)25 5 2 532 53PF1F2|PF1|+|PF2|=2a答案：答案：B考點(diǎn)一：橢圓定義的應(yīng)用答案：答案：2120D22121.xymmm2、 若表示橢圓，求系數(shù) 的取值范圍11266FFFFMMFMFM2123. 、是定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ） (A)橢圓 (B)直線 (C)圓 (D)線段=+=D3、橢圓、橢圓 的焦距為的焦距為2，則，則m的值為的值為（ ）A、5或或3 B、5 C、8 D、164、若方程、若方程x2+Ky2=2表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)K

5、的取值范圍是（的取值范圍是（ ）A、（、（0、+）B、（、（0、2）C、（、（1、+）D、（、（0、1）1422ymxADPF1F2dA1A22、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)P 是橢圓是橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn) ， F1和和F2 是橢圓的是橢圓的左右焦點(diǎn)左右焦點(diǎn),求求:1162522yx的最大值21)2(PFPF 的最大值與最小值1) 1 (PF(1)解法一解法一:(代入法代入法)設(shè)P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0),由兩點(diǎn)間距離公式得:22222221)553(256259)25(251696)3(|xxxxxxyxPF2| , 8|55min1max1PFPFxPF1F2dA1A22、已知點(diǎn)、已

6、知點(diǎn)P 是橢圓是橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn) ， F1和和F2 是橢圓的是橢圓的左右焦點(diǎn)左右焦點(diǎn),求求:1162522yx的最大值21)2(PFPF 的最大值與最小值1) 1 (PF(1)解法二解法二:(參數(shù)法參數(shù)法)設(shè)P(5cos,4sin),222221)5cos3(25cos30cos9)sin4()3cos5(|PF2| , 8|1cos1min1max1PFPF易知:c=3, 得F1(-3,0),由兩點(diǎn)間距離公式得:2、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)P 是橢圓是橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn) ， F1和和F2 是橢圓的是橢圓的左右焦點(diǎn)左右焦點(diǎn),求求:1162522yx的最大值21)2(PFPF 的最大值與最小值1) 1

7、(PF解解 (2) 由橢圓定義得由橢圓定義得: |PF1|+|PF2|=1025)2|(22121PFPFPFPF25max21PFPFPF1F2考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 橢圓的定義及應(yīng)用橢圓的定義及應(yīng)用【典例【典例1 1】(1)(1)設(shè)設(shè)F F1 1，F(xiàn) F2 2分別是橢圓分別是橢圓E E： (0(0b b1)1)的的左、右焦點(diǎn)，過左、右焦點(diǎn)，過F F1 1的直線的直線l與與E E相交于相交于A A，B B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且|AF|AF2 2| |，|AB|AB|，|BF|BF2 2| |成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則|AB|=_.|AB|=_.(2)(2014(2)(2014鎮(zhèn)江模擬鎮(zhèn)江模擬) )已知已

8、知F F1 1,F,F2 2是橢圓是橢圓C: (aC: (ab b0)0)的兩個(gè)焦點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn),P,P為橢圓為橢圓C C上的一點(diǎn)，且上的一點(diǎn)，且 若若PFPF1 1F F2 2的面積的面積為為9,9,則則b=_.b=_.222yx1b2222xy1ab12PFPF. 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由題意知由題意知|AF|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|=2|AB|,|=2|AB|,由橢圓的定義由橢圓的定義,|AF,|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2,|BF|=2,|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=2,|=2,所以所以|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|+

9、|BF|+|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=4=|AF|=4=|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|+|AB|=3|AB|,|+|AB|=3|AB|,所以所以|AB|=|AB|=答案答案: :4.343(2)(2)由題意知由題意知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=4c=4c2 2, ,所以所以(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,所以所以2|PF

10、2|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2. .所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=2b|=2b2 2, ,所以所以所以所以b=3.b=3.答案：答案：3 312PFPF, 1 222PFF1211S|PF |PF |2bb9.22 方法方法1：定義法：定義法1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx變式思考： 例例2已知已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|8， 且且ABC的

11、周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于18， 求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程的軌跡方程練習(xí)練習(xí)：知三角形ABC的一邊 BC 長(zhǎng)為6，周長(zhǎng)為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程答：答：)0(1162522yyx14ACOyxO1O2M練習(xí)：練習(xí)：已知兩圓已知兩圓C1：(x4)2y2169， C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在，動(dòng)圓在圓圓C1內(nèi)部且和圓內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切，和圓內(nèi)切，和圓C2外切，外切， 求動(dòng)圓圓心的軌跡方程求動(dòng)圓圓心的軌跡方程例例2如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向向x軸作垂軸作垂線段線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)

12、為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段線段PD的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡是什么？的軌跡是什么？yxDPMO方法方法2：代入法：代入法例例2、如圖，在圓、如圖，在圓 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作x軸的垂線段軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段線段PD的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？的軌跡是什么？為什么？224yx分析：點(diǎn)分析：點(diǎn)P在圓在圓 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引的運(yùn)動(dòng)引 起點(diǎn)起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。224yx解：設(shè)點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0,y0)，則，則 x=x0,y=y0/2.因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)

13、P (x0,y0)在圓在圓 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以點(diǎn)所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓。的軌跡是一個(gè)橢圓。22400yx224yx2244yx2214xy例例3如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0).直線直線AM,BM相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)M，且它們的斜率，且它們的斜率之積為之積為 ,求求M的軌跡方程的軌跡方程.49ABMyOx方法方法3：直接法：直接法 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |F1F2|=2c 焦距焦距.oF2 2F1 1M 平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的距離

14、的差的絕對(duì)值的絕對(duì)值等于常數(shù)等于常數(shù)（小于（小于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線雙曲線.雙曲線定義雙曲線定義|MF1| - |MF2|=常數(shù)（小于常數(shù)（小于|F1F2|）結(jié)論：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)結(jié)論：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離之差的的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)絕對(duì)值等于常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡為：的點(diǎn)的軌跡為：1若若2a |F1F2|，則軌跡則軌跡為為不存在不存在以點(diǎn)以點(diǎn)F F1 1、F F2 2為端點(diǎn)，方向指向?yàn)槎它c(diǎn)，方向指向F F1 1F F2 2外側(cè)的兩條射線外側(cè)的兩條射線例題分析所求軌跡的方程為：221916xy例1. 已知 , 動(dòng)點(diǎn) 到 、 的距離之差的絕對(duì)值為6

15、，求點(diǎn) 的軌跡方程.126PFPF1.若呢？1210PFPF2.若呢？1212PFPF3.若呢？12( 5,0),(5,0)FF1F2FPP221(0)916xyx兩條射線軌跡不存在F ( c, 0) 0, 0( 12222babyax) 0, 012222babxay（F(0, c)OxyF2F1MxOy若建系時(shí)若建系時(shí),焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上呢軸上呢?1916)2( , 191612222yxyx）（a a、b b、c c的的關(guān)系是關(guān)系是 c2=a2+b2.討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 取何值時(shí)，方程取何值時(shí)，方程 表示橢圓，雙曲線，圓表示橢圓，雙曲線，圓 。nm、122 nymx解：由各種方程的標(biāo)準(zhǔn)方

16、程知，當(dāng) 時(shí)方程表示的曲線是橢圓nmnm , 0, 0當(dāng) 時(shí)方程表示的曲線是圓0 nm當(dāng) 時(shí)方程表示的曲線是雙曲線0 nm解：解：(1)(2)012mmmm或1032012212mmmmmm 且已知方程已知方程 表示雙曲線，表示雙曲線，則則 的取值范圍是的取值范圍是_.22112xymmm若此方程表示橢圓，若此方程表示橢圓， 的取值范圍？的取值范圍？m解：解：練一練練一練:22.,112xymRmm若方程表示哪種曲線xy22yx 、例例2 2 已知方程已知方程 表示雙曲線，表示雙曲線，求求 的取值范圍。的取值范圍。13922 kykxk分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知該雙曲線焦點(diǎn)可能在分析：由雙曲線

17、的標(biāo)準(zhǔn)方程知該雙曲線焦點(diǎn)可能在 軸也可能在軸也可能在 軸，故而只要讓軸，故而只要讓 的系數(shù)異號(hào)即可。的系數(shù)異號(hào)即可。xy22yx 、練習(xí)：課后練習(xí)練習(xí)：課后練習(xí)3 例例1：已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)：已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)F F1 1( (5 5，0)0)，F(xiàn) F2 2(5(5，0)0)，雙曲線上一點(diǎn)雙曲線上一點(diǎn)P到到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 4、例題講解解解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0, 0( 12222babyax16, 5, 3,102 , 62222c

18、abcaca所以因?yàn)?16922yx因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為練習(xí)：P48頁(yè)第1題（2）和（3）變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：已知兩定點(diǎn)已知兩定點(diǎn) ,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 滿滿足足 ,求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程的軌跡方程 0, 5,0, 521FF PP變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：已知兩定點(diǎn)已知兩定點(diǎn) ,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 滿滿足足 ,求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程的軌跡方程考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 雙曲線的定義及其應(yīng)用雙曲線的定義及其應(yīng)用 【典例【典例1 1】(1)(1)已知已知F F1 1,F,F2 2為雙曲線為雙曲線C C：x x2 2-y-y2 2=2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P P在在C C上，上，|PF|P

19、F1 1|=2|PF|=2|PF2 2| |，則，則cosFcosF1 1PFPF2 2=( )=( )(2)(2)已知雙曲線已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)為的左、右焦點(diǎn)為F F1 1,F,F2 2，點(diǎn)，點(diǎn)P P為左支上為左支上一點(diǎn)，且滿足一點(diǎn)，且滿足FF1 1PFPF2 26060，則，則F F1 1PFPF2 2的面積為的面積為_1334A. B. C. D.454522xy 14 (3)(2013(3)(2013遼寧高考遼寧高考) )已知已知F F為雙曲線為雙曲線C: C: 的左焦點(diǎn)，的左焦點(diǎn)，P,QP,Q為為C C上的點(diǎn)若上的點(diǎn)若PQPQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的倍，點(diǎn)的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的倍，點(diǎn)A(5,0

20、)A(5,0)在線段在線段PQPQ上，則上，則PQFPQF的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為_._.22xy1916【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.雙曲線的方程為雙曲線的方程為 所以所以a ab b c c2 2，因?yàn)橐驗(yàn)閨PF|PF1 1| |2|PF2|PF2 2| |，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)P P在雙曲線的右支上，在雙曲線的右支上，則有則有|PF|PF1 1| |PF|PF2 2| |2a2a 所以所以|PF|PF2 2| | |PF|PF1 1| |所以所以cosFcosF1 1PFPF2 2 選選C C22xy122 ，2 ，2 2，2 2，4 2，22(2 2)(4 2)16342 2 2

21、4 2 ，(2)(2)設(shè)設(shè)|PF|PF1 1| |m m，|PF|PF2 2| |n n，所以所以所以所以mnmn4 4，所以，所以答案：答案：222mn2mncos 60(2c) ,n m 2a,2222mnmn20,mn2mn 16,12FPF1Smnsin 603.23(3)(3)顯然顯然, ,點(diǎn)點(diǎn)A A為雙曲線的右焦點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),P,Q,P,Q都在雙曲線的右支上都在雙曲線的右支上, ,|PQ|=16,|PQ|=16,由雙曲線的定義得由雙曲線的定義得:|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,:|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,兩式兩式相加相加,|FP|+|FQ

22、|-|PA|-|QA|=12,|FP|+|FQ|-|PA|-|QA|=12,即即|FP|+|FQ|-|PQ|=12,|FP|+|FQ|-|PQ|=12,所以所以|FP|+|FQ|=28,|FP|+|FQ|=28,所以所以PQFPQF的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為|FP|+|FQ|+|PQ|=44.|FP|+|FQ|+|PQ|=44.答案答案: :4444222222212222212例 ：求下列動(dòng)圓圓心M的軌跡(1)與圓C:(x+2) +y =4內(nèi)切,且過點(diǎn)A(2,0);（2）與圓C:x +(y-1) =1和圓C :x +(y+1) =4都外切;(3)與圓C:(x+3) +y =9外切,且與圓C :(x-3) +y =1內(nèi)切.22:(1)1(1)()3yxx 解左支2243(2):41()()34xyy上支且在兩圓外部22(3)1(2).45xyx方法：利用雙曲線的定義求軌跡方程OyxOyx2, 1m), 1 )0 , 1m2例 、準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖圖 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 方程的特點(diǎn)方程的特點(diǎn):(1)左邊左邊是二次式是二次式,(2)右邊右邊是一次式是一次式;決決定了定了焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)的位置.2 2以拋物