第十章雙樣本假設檢驗及區(qū)間估計

1、2021-10-131 我們在掌握了單樣本檢驗與估計的有關方法與原理我們在掌握了單樣本檢驗與估計的有關方法與原理之后，把視野投向雙樣本檢驗與估計是很自然的。雙樣之后，把視野投向雙樣本檢驗與估計是很自然的。雙樣本統(tǒng)計，除了有大樣本、小樣本之分外，根據抽樣之不本統(tǒng)計，除了有大樣本、小樣本之分外，根據抽樣之不同，還可分為同，還可分為獨立樣本獨立樣本與與配對樣本配對樣本。 獨立樣本獨立樣本, 指指雙樣本是在兩個雙樣本是在兩個總體中相互獨立總體中相互獨立地抽取的地抽取的 。 配對樣本，指只有一配對樣本，指只有一個總體，雙樣本是由于樣個總體，雙樣本是由于樣本中的個體兩兩匹配成對本中的個體兩兩匹配成對而產生

2、的。配對樣本相互而產生的。配對樣本相互之間不獨立。之間不獨立。2021-10-132 為了把單樣本檢驗推廣到能夠比較兩個樣本的均值的檢驗，必須為了把單樣本檢驗推廣到能夠比較兩個樣本的均值的檢驗，必須再一次運用中心極限定理。下面是一條由中心極限定理推廣而來的重再一次運用中心極限定理。下面是一條由中心極限定理推廣而來的重要定理：如果從要定理：如果從 和和 兩個總體中分別抽取容量為兩個總體中分別抽取容量為n1和和n2 的獨立隨機樣本，那么兩個樣本的均值差的獨立隨機樣本，那么兩個樣本的均值差 的抽樣分的抽樣分布就是布就是 。與單樣本的情況相同，在大樣本的。與單樣本的情況相同，在大樣本的情況下情況下(兩

3、個樣本的容量都超過兩個樣本的容量都超過50)，這個定理可以推廣應用于任何具，這個定理可以推廣應用于任何具有均值有均值1和和2以及方差以及方差 和和 的兩個總體。當的兩個總體。當n1和和n2逐漸變大逐漸變大時，時， 的抽樣分布像前面那樣將接近正態(tài)分布。的抽樣分布像前面那樣將接近正態(tài)分布。21),(211n)(21xx ),(222n)(21xx ),(22212121nnn222021-10-1331大樣本均值差檢驗大樣本均值差檢驗 （1）零假設：）零假設：（2）備擇假設：）備擇假設： 單側單側 雙側雙側 或或（3）否定域：單側）否定域：單側 雙側雙側（4）檢驗統(tǒng)計量）檢驗統(tǒng)計量（5）比較判定）

4、比較判定0211:dh0210:dh222121210nndxxz0211:dh0211:dhz2/z2021-10-134 例例為了比較已婚婦女對婚后生活的態(tài)度是否因婚為了比較已婚婦女對婚后生活的態(tài)度是否因婚齡而有所差別，將已婚婦女按對婚后生活的態(tài)度分為齡而有所差別，將已婚婦女按對婚后生活的態(tài)度分為“滿滿意意”和和“不滿意不滿意”兩組。從滿意組中隨機抽取兩組。從滿意組中隨機抽取600名婦女，名婦女，其平均婚齡為其平均婚齡為8.5年，標準差為年，標準差為2.3年；從不滿意組抽出年；從不滿意組抽出500名婦女，其平均婚齡為名婦女，其平均婚齡為9.2年，標準差年，標準差2.8年。試問在年。試問在0

5、.05顯著性水平上兩組是否存在顯著性差異？顯著性水平上兩組是否存在顯著性差異？ 樣本樣本人數人數均值均值標準差標準差滿意組滿意組6008.52.3不滿意組不滿意組5009.22.82021-10-135 解解 據題意，據題意，“不滿意不滿意”組的抽樣結果為：組的抽樣結果為： 9.2年，年， s12.8年，年， n1500； “滿意滿意”組的抽樣結果為：組的抽樣結果為： 8.5 年，年，s22.3 年，年， n2600。 h0：12d00 h1： 12 0 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量 確定否定域，確定否定域， 因為因為0.05，因而有，因而有 z/21.964.47 因此否定零假設，即可以認為

6、在因此否定零假設，即可以認為在0.05顯著性水平上，婚齡對婦女婚顯著性水平上，婚齡對婦女婚后生活的態(tài)度是有影響的。同時我們看到，由于樣本計算值后生活的態(tài)度是有影響的。同時我們看到，由于樣本計算值z4.47 遠大遠大于單側于單側 z0.05 的臨界值的臨界值1. 65，因此本題接受，因此本題接受12 0 的備擇假設，即可的備擇假設，即可以認為婦女婚齡長容易對婚后生活產生以認為婦女婚齡長容易對婚后生活產生“不滿意不滿意”。 47. 46003 . 25008 . 25 . 82 . 922222121210nndxxz1x2x2021-10-1362大樣本成數差檢驗大樣本成數差檢驗 （1）零假設：

7、）零假設：（2）備擇假設：）備擇假設： 單側單側 雙側雙側 或或（3）否定域：單側）否定域：單側 雙側雙側（4）檢驗統(tǒng)計量）檢驗統(tǒng)計量0211:dpph0210:dpph22211121)(210210)()(nqpnqpdppdppzpp0211:dpph0211:dpphz2/z 其中其中: 為總體為總體1的的 樣本成數樣本成數 為總體為總體2的的 樣本成數。樣本成數。222nxp 111nxp 2021-10-137 當當p1和和p2未知，須用樣本成數未知，須用樣本成數 和和 進行估算時，分以下兩進行估算時，分以下兩種情況討論：種情況討論： 若零假設中兩總體成數的關系為若零假設中兩總體成

8、數的關系為 ，這時兩總體可看作成數，這時兩總體可看作成數p 相同的總體，它相同的總體，它們的點估計值為們的點估計值為 此時上式中檢驗此時上式中檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量 z 可簡化為可簡化為 若零假設中兩總體成數若零假設中兩總體成數 ，那么它們的點估計值有，那么它們的點估計值有 此時上式中此時上式中 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量z為為21212121210)(nnnnqpppnqpnqpppz11pp2122112121nnpnpnnnxxp22pp21pp 222111021)(nqpnqpdppz21pp （5）判定）判定1p2p2021-10-138 例例有一個大學生的隨機樣本，按照性格有一個大學生的隨機

9、樣本，按照性格“外向外向”和和“內向內向”，把他們分成兩類。結果發(fā)現，新生中有，把他們分成兩類。結果發(fā)現，新生中有73屬屬于于“外向外向”類，四年級學生中有類，四年級學生中有58屬于屬于“外向外向”類。類。樣本樣本中新生有中新生有171名，四年級學生有名，四年級學生有117名。試問，在名。試問，在0.01水平水平上，兩類學生有無顯著性差異？上，兩類學生有無顯著性差異？外向外向內向內向四年級四年級58%（117）42%一年級一年級73%（171）27%2021-10-139 解解 據題意據題意 新生組的抽樣結果為：新生組的抽樣結果為： 0.73， 0.27，n1171 四年級學生組的抽樣結果為四

10、年級學生組的抽樣結果為: 0.58， 0.42，n2117 h0：p1p2d00 h1：p1p2d00 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量 確定否定域確定否定域 因為因為0.01，因而有，因而有 z/2z0.0052.582.66 因而否定零假設，即可以認為在因而否定零假設，即可以認為在0.01顯著性水平上，兩類學生在顯著性水平上，兩類學生在性格上是有差異的。性格上是有差異的。 2q1p2q2p669. 011717158. 011773. 01712121nnxxp66. 2117171117171331. 0669. 058. 073. 0212121nnnnqpppz2021-10-1310

11、與對單總體小樣本假設檢驗一樣，我們對兩與對單總體小樣本假設檢驗一樣，我們對兩總體小樣本假設檢只討論總體滿足正態(tài)分布的情總體小樣本假設檢只討論總體滿足正態(tài)分布的情況。況。1. 小樣本均值差假設檢驗小樣本均值差假設檢驗 (1) 當當 和和 已知時，小樣本均值差已知時，小樣本均值差檢驗，與上一節(jié)所述大樣本總體均值差檢驗完全檢驗，與上一節(jié)所述大樣本總體均值差檢驗完全相同，這里不再贅述。相同，這里不再贅述。21222021-10-1311 (2) 和和 未知，但假定它們相等時，未知，但假定它們相等時， 關鍵是要解決關鍵是要解決 的算式。的算式。 現又因為現又因為未知，所以要用它的未知，所以要用它的無偏估

12、計量無偏估計量 替代它。由于兩個樣替代它。由于兩個樣本的方差基于不同的樣本容量，因而本的方差基于不同的樣本容量，因而可以用加權的方法求出可以用加權的方法求出的無偏估計的無偏估計量，得量，得 注意，上式的分母上減注意，上式的分母上減2，是因為，是因為根據根據 和和 計算計算s1和和s2時，分別損時，分別損失了一個自由度，一共損失了兩個自由失了一個自由度，一共損失了兩個自由度，所以全部自由度的數目就成為度，所以全部自由度的數目就成為(n1+ n22)。 于是有于是有s1x21222121nnnns)21(xx )21(xx 21212111nnnnnn)21(xx 221222211nnsnsns

13、2x2021-10-1312 這樣，對小樣本正態(tài)總體，這樣，對小樣本正態(tài)總體， 和和 未知，但未知，但12 ，其均值差的檢驗步驟如下其均值差的檢驗步驟如下: （1）零假設：）零假設：（2）備擇假設：）備擇假設： 單側單側 雙側雙側 或或（3）否定域：單側）否定域：單側 雙側雙側（4）檢驗統(tǒng)計量）檢驗統(tǒng)計量（5）比較判定）比較判定0211:dh0210:dh)(21210xxdxxt0211:dh0211:dh)2(21nnt)2(212/nnt2121212222110212)(nnnnnnsnsndxx21222021-10-1313 例例為研究某地民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做為研究某地

14、民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做如下獨立隨機抽樣：如下獨立隨機抽樣： 民族民族a：12戶，平均人口戶，平均人口6.8人，標準差人，標準差1.5人人 民族民族b：12戶，平均人口戶，平均人口5.3人，標準差人，標準差0.9人人 問：能否認為問：能否認為a民族的家庭平均人口高于民族的家庭平均人口高于b民族的家民族的家庭平均人口（庭平均人口（ =0.05）？（假定家庭平均人口服從正態(tài)）？（假定家庭平均人口服從正態(tài)分布，且方差相等）分布，且方差相等）t=2.97 例例 某市對兒童體重情況進行調查，抽查某市對兒童體重情況進行調查，抽查8歲的女孩歲的女孩20人，平均體重人，平均體重22.2千克，標準差千克

15、，標準差2.46千克；抽查千克；抽查8歲的歲的男孩男孩18人，平均體重人，平均體重21.3千克，標準差千克，標準差1.82千克。若男女千克。若男女兒童體重的總體方差相等，問在顯著性水平兒童體重的總體方差相等，問在顯著性水平5%上，該年上，該年齡男女兒童之體重有無顯著差異齡男女兒童之體重有無顯著差異? 2021-10-1314 解解 據題意，據題意，女孩組的抽樣結果為：女孩組的抽樣結果為： 22.2(千克千克)， s12.46(千克千克)，n120(人人) 男孩組的抽樣結果為：男孩組的抽樣結果為： 21.3(千克千克)，s21.82(千克千克)， n218(人人) h0：12d00 h1：120

16、 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量 確定否定域確定否定域 因因0.05，因而有，因而有t 0.025 (36)2.0281.24 故不能否定故不能否定h0，即可認為男女兒童平均體重無顯著性差異。，即可認為男女兒童平均體重無顯著性差異。 24. 1182018202182082. 11846. 2203 .212 .22221x2x2121212222110212)(nnnnnnsnsndxxt2021-10-1315 (3) 和和 未知，但不能假定它們相等未知，但不能假定它們相等 如果不能假定如果不能假定 ，那么就不能引進共同的，那么就不能引進共同的簡簡化化 ，也不能計算，也不能計算的無偏估計量的

17、無偏估計量 ?，F在簡單的做法是用?，F在簡單的做法是用 估計估計 ，用，用 估計估計 ，于是有，于是有 例例 用上式重新求解前例題。用上式重新求解前例題。 解解 用上式，檢驗統(tǒng)計量的計算為用上式，檢驗統(tǒng)計量的計算為 可以看出，求算用可以看出，求算用(10.8)式和式和(10.10)式，得出的結果差別不大。式，得出的結果差別不大。 121/ns) 1/(121ns22)21(xx 222/n21256. 111882. 112046. 23 .212 .22221122212121nsnsxxt) 1/(222ns11222121nsns)21(xx 2021-10-13162小樣本方差比檢驗小樣

18、本方差比檢驗 設兩總體分別滿足正態(tài)分布設兩總體分別滿足正態(tài)分布 和和 ?，F從這兩。現從這兩個總體中分別獨立地各抽取一個隨機樣本，并具有容量個總體中分別獨立地各抽取一個隨機樣本，并具有容量n1，n2和方差和方差 ， 。根據第八章。根據第八章(8.22)式，對兩總體樣本方差的抽樣分布分別有式，對兩總體樣本方差的抽樣分布分別有 ) 1(1221211nsn),(222n21s22s),(222n) 1(2222222nsn2021-10-1317 根據本書第八章第四節(jié)根據本書第八章第四節(jié)f分布中的分布中的(8.25)式有式有 由于由于 ，所以簡化后，檢驗方差比所所以簡化后，檢驗方差比所用統(tǒng)計量為用統(tǒng)

19、計量為 當零假設當零假設h0： 12時，時，上式中的統(tǒng)計量又簡化為上式中的統(tǒng)計量又簡化為) 11(/2122222121nnfss，221snns) 11() 1/() 1/(21222222121211nnfnsnnsn，) 11(212221nnfssf，2021-10-1318 這樣一來，小樣本正態(tài)總體方差比檢驗的步驟有這樣一來，小樣本正態(tài)總體方差比檢驗的步驟有 (1) 零零 假假 設設h0 ： 備擇假設備擇假設h1 ： 單側單側 雙側雙側 h1 ： h1 ： h1 ： (2) 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 （ ） （ ） （ ） 2221ss2221ssf2221222122212221222

20、1ssf2221ssf2122ss2221ss單側單側雙側雙側2021-10-1319 (3) (3)否定域否定域( (參見下圖參見下圖) ) 單側單側 f f（n n1 111，n n2 211），雙側），雙側f f/2 2（n n1 111，n n2 211） 方差比檢驗，比起前面所介紹的檢驗有一個不同點，那就是無方差比檢驗，比起前面所介紹的檢驗有一個不同點，那就是無論是單側檢驗還是雙側檢驗，論是單側檢驗還是雙側檢驗，f f 的臨界值都只在右側。其原因是我的臨界值都只在右側。其原因是我們總是把和中的較大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有們總是把和中的較大者放在分子上，以便使用者掌握。因此

21、有 1 1 或者或者 1 12221ssf2122ssf2021-10-132022s21s2021-10-1321 解解 據題意，據題意， 對男性青年樣本有對男性青年樣本有n n1 1 1010， 30.8(30.8(厘米厘米2 2) ) 對女性青年樣本有對女性青年樣本有n n2 2 8 8， 27.8(27.8(厘米厘米2 2) ) h h0 0 ： h h1 1 ： 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量 確定否定域，因為確定否定域，因為0.050.05， f f/2 2（n n1 111，n n2 211）f f0.0250.025(9,7)(9,7)4.824.821.081.08 因而不能否

22、定零假設，即在因而不能否定零假設，即在0.050.05水平上，我們不能說男性青年身水平上，我們不能說男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有顯著性差異。高的方差和女性青年身高的方差有顯著性差異。 21s08. 18 .312 .342221ssf22s222122212 .348 .30110101211121snns8 .318 .271881222222snns2021-10-1322 配對樣本，是兩個樣本的單位兩兩匹配成配對樣本，是兩個樣本的單位兩兩匹配成對，它實際上只能算作一個樣本，也稱關聯樣對，它實際上只能算作一個樣本，也稱關聯樣本。因此對它的檢驗，用均值差檢驗顯然是不行本。因此對它

23、的檢驗，用均值差檢驗顯然是不行的。因為的。因為2 n個樣本單位個樣本單位(每個樣本每個樣本n個個)不是全部不是全部獨立抽取的。而如果把每一配對當作一個單位，獨立抽取的。而如果把每一配對當作一個單位，在符合其他必要的假定條件下，統(tǒng)計檢驗與單樣在符合其他必要的假定條件下，統(tǒng)計檢驗與單樣本檢驗相差無幾。本檢驗相差無幾。2021-10-13231單一實驗組的假設檢驗單一實驗組的假設檢驗 對于單一實驗組這種對于單一實驗組這種“前前后后”對比型配對樣對比型配對樣本的假設檢驗，我們的做法是，不用均值差檢驗，本的假設檢驗，我們的做法是，不用均值差檢驗，而是求出每一對觀察數據的差，直接進行一對一的而是求出每一對

24、觀察數據的差，直接進行一對一的比較。如果采用比較。如果采用“前測前測”“”“后測后測”兩個總體無差異兩個總體無差異的零的零假設，也就是等于假定實驗刺激無效。于是，問題假設，也就是等于假定實驗刺激無效。于是，問題就轉化為每對觀察數據差的均值就轉化為每對觀察數據差的均值d 0的單樣本假的單樣本假設檢驗了。求每一對觀察值的差，直接進行一對一設檢驗了。求每一對觀察值的差，直接進行一對一的比較。的比較。2021-10-1324 設配對樣本的樣本單位前測與后測的觀察數據分別設配對樣本的樣本單位前測與后測的觀察數據分別是是x 0i與與x 1i，其差記作，其差記作di d i x 1ix 0i 如果假設兩總體

25、前測與后測無顯著性差別，即如果假設兩總體前測與后測無顯著性差別，即1 0 或者或者 。那么對取自這兩。那么對取自這兩個總體的配對大樣本有個總體的配對大樣本有001ndid), 0(2nnnddi2021-10-1325 t n1t 22)(1ddnsid) 1(1/0ntnsdtd2021-10-13262021-10-1327 023. 513328)(22nddsd76. 2113/023. 50 . 41/0nsdtd0 . 41352nddi2021-10-1328 練習一：練習一：以下是經濟體制改革后，某廠以下是經濟體制改革后，某廠8個個車間競爭性測量的比較。問改革后，競爭性有無車間

26、競爭性測量的比較。問改革后，競爭性有無增加？（增加？（ 取取=0.05）t=3.176 改革后改革后 86 87 56 93 84 93 75 79 改革前改革前 80 79 58 91 77 82 74 66 練習二：練習二：為了了解職工的企業(yè)認同感，根據為了了解職工的企業(yè)認同感，根據男性男性1000人的抽樣調查，其中有人的抽樣調查，其中有52人希望調換工人希望調換工作單位；而女性作單位；而女性1000人的調查有人的調查有23人希望調換工人希望調換工作，能否說明男性比女性更期望職業(yè)流動？作，能否說明男性比女性更期望職業(yè)流動？（ 取取=0.05）2021-10-13292一實驗組與一控制組的假

27、設檢驗一實驗組與一控制組的假設檢驗 單一實驗組實驗的邏輯，是把實驗對象前測單一實驗組實驗的邏輯，是把實驗對象前測后測之間的變化全部歸因于實驗刺激。在社會現后測之間的變化全部歸因于實驗刺激。在社會現實生活進行的實際實驗中，對象前測后測之間的實生活進行的實際實驗中，對象前測后測之間的變化，有時除了受到實驗刺激外，還受到其他社變化，有時除了受到實驗刺激外，還受到其他社會因素的作用。因而，配對樣本的一實驗組與一會因素的作用。因而，配對樣本的一實驗組與一控制組之假設檢驗，要設法把實驗變量的作用和控制組之假設檢驗，要設法把實驗變量的作用和額外變量的作用區(qū)分開來，然后就像對待單一實額外變量的作用區(qū)分開來，然

28、后就像對待單一實驗組實驗一樣，把問題轉化為零假設驗組實驗一樣，把問題轉化為零假設d0的單的單樣本檢驗來處理。樣本檢驗來處理。 2021-10-1330 在一實驗組與一控制組的實驗設計之中，對前測后在一實驗組與一控制組的實驗設計之中，對前測后測之間的變化，消除額外變量影響的基本做法如下：測之間的變化，消除額外變量影響的基本做法如下： (1)前測：對實驗組與控制組分別度量；前測：對實驗組與控制組分別度量； (2)實驗刺激：只對實驗組實行實驗刺激；實驗刺激：只對實驗組實行實驗刺激； (3)后測：對實驗組與控制組分別度量；后測：對實驗組與控制組分別度量； (4)求算消除了額外變量影響之后的求算消除了額

29、外變量影響之后的 d i 后測實驗組后測實驗組前測實驗組前測后測差實驗組前測實驗組前測后測差實驗組 后測控制組后測控制組前測控制組前測后測差控制組前測控制組前測后測差控制組 實驗效應實驗效應d di i 前測后測差實驗組前測后測差實驗組前測后測差控制組前測后測差控制組2021-10-13312021-10-1332 46. 810716)(22nddsd13. 2110/46. 80 . 61/0nsdtd0 . 61060nddi2021-10-13333對實驗設計與相關檢驗的評論對實驗設計與相關檢驗的評論 有了獨立樣本和非獨立樣本的認識，讀者自有了獨立樣本和非獨立樣本的認識，讀者自然會提出

30、什么時候使用配對樣本以及什么時候不然會提出什么時候使用配對樣本以及什么時候不使用配對樣本的問題。很顯然，匹配樣本損失了使用配對樣本的問題。很顯然，匹配樣本損失了自由度，使用配對樣本相當于減小了一半樣本容自由度，使用配對樣本相當于減小了一半樣本容量。這樣做是不是得不償失呢量。這樣做是不是得不償失呢?答案是要看我們答案是要看我們能否恰當地配對。能否恰當地配對。 在配對過程中，最好用擲硬幣的方式決定在配對過程中，最好用擲硬幣的方式決定“對對”中的哪一個歸入實驗組，哪一個歸入控制中的哪一個歸入實驗組，哪一個歸入控制組。從而使組。從而使“對對”內隨機化。內隨機化。2021-10-1334 )(21xx

31、),(22212121nnn1) ,(0)()(2221210121nnnxxz22212021-10-1335)(21xx )(21)(21xx )(21xx )(2221212/21nnzxx)(21,)(2221212/21nnzxx2021-10-133621222021-10-1337， n1n2212x1x,10902012096. 1)670840(2210902012096. 1)670840(2021-10-1338 )(2122212121222221s22s,)2()()21(212/21xxnntxx)2()()21(212/21xxnntxx2021-10-1339)21(xx 22212121212222112nnnnnnsnsn2121nnnn )21(xx )21(xx