概率論與數(shù)理統(tǒng)計假設(shè)檢驗

1、2我認為這種新藥的療效比原有的藥物更有效!構(gòu)造假設(shè)構(gòu)造假設(shè)選擇統(tǒng)計量并計算選擇統(tǒng)計量并計算作出決策作出決策我認為人口的平我認為人口的平均年齡是均年齡是5050歲歲 拒絕假設(shè)拒絕假設(shè) 別無選擇別無選擇! 確定確定 1. 問題背景假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的基本問題之一, 主要是確定關(guān)于樣本總體特征的判斷是否合理.其基本思想是, 按照一定的規(guī)則(即檢驗準(zhǔn)則), 根據(jù)樣本信息對所做出的原假設(shè)H0 判斷是否成立, 以決定是接受還是否定原假設(shè)H0. 假設(shè)檢驗的判斷和結(jié)論是根據(jù)樣本做出的, 故具有“概率性”, 從而要犯判斷上的錯誤棄真錯誤和取偽錯誤. 假設(shè)檢驗分為參數(shù)假設(shè)檢驗和總體分布假設(shè)檢驗兩類.由樣本數(shù)據(jù)來做

2、出拒絕和接受原假設(shè)的判斷, 計算量是相當(dāng)大的. 下面我們用MATLAB 軟件來解決這一問題.2. 實驗?zāi)康呐c要求(1) 掌握 MATLAB 工具箱中關(guān)于假設(shè)檢驗的有關(guān)操作命令;(2) 熟練掌握對單個正態(tài)總體均值、方差的假設(shè)檢驗;(3) 掌握對兩個正態(tài)總體均值、方差有關(guān)的假設(shè)檢驗;(4) 掌握兩個未知總體分布類型對均值是否相等的假設(shè)檢驗;(5) 掌握對單個總體是否服從正態(tài)分布的假設(shè)檢驗;(6) 掌握對單個總體是否服從指定的理論分布的假設(shè)檢驗.求解參數(shù)假設(shè)檢驗問題的步驟: :(1) 根據(jù)問題提出合理的原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1 ;(2) 給定顯著性水平, 一般取較小的正數(shù), 如0.05,0.01 等

3、;(3) 選取合適的檢驗統(tǒng)計量及確定拒絕域的形式;(4) 令P當(dāng)H0為真拒絕H0= , 求拒絕域;(5) 由樣本觀察值計算檢驗統(tǒng)計量的值, 并做出決策: 拒絕H0或接受H0.0(0,1)xzNn (1) 設(shè)設(shè) 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體X X的一個簡單隨機樣的一個簡單隨機樣本，樣本均值為本，樣本均值為 ，根據(jù)單個總體的抽樣分布結(jié)，根據(jù)單個總體的抽樣分布結(jié)論，選用統(tǒng)計量論，選用統(tǒng)計量 12,nx xx11niixxn (2)選用統(tǒng)計量：選用統(tǒng)計量：0 (1)/xtt nsn假設(shè)雙側(cè)檢驗單側(cè)檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗原假設(shè)H0 : = 0H0 : 0H0 : 0備擇假設(shè)H1 : 0H1 : 0臨界值臨

4、界值臨界值臨界值 樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量拒絕拒絕H0拒絕拒絕H0置信水平置信水平雙側(cè)檢驗雙側(cè)檢驗臨界值臨界值樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量拒絕拒絕H H0 0置信水平置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量臨界值臨界值樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量拒絕拒絕H0置信水平置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量觀察到的樣本統(tǒng)計量假設(shè)雙側(cè)檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗假設(shè)形式H0 ： = 0 0H1 ： 0 0H0 ： 0 0H1 ： 0 0統(tǒng)計量 已知：已知： 未知：未知：拒絕域P值決策拒絕拒絕H00 xzn 0 xtsn 1/2zz 1tt 1zz P1/2tt 1zz 1tt 一、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時的單個正態(tài)總體均值的一、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時的單個正態(tài)總體均

5、值的U檢驗檢驗調(diào)用格式：調(diào)用格式：h = ztest(x,m,sigma)h = ztest(.,alpha)h = ztest(.,alpha,tail)h = ztest(.,alpha,tail,dim)h,p = ztest(.)h,p,ci = ztest(.)h,p,ci,zval = ztest(.) ztest函數(shù)函數(shù)20( ,)XN 總體：12,nXXX樣本：001000100010:, : .:, :, :HHHHHH假設(shè)：當(dāng)當(dāng)H=0表示接受原假設(shè)；表示接受原假設(shè)；當(dāng)當(dāng)H=1表示拒絕原假設(shè)。表示拒絕原假設(shè)。h=ztest(x,m,sigma)h=ztest(x,m,sigm

6、a,alpha)h,sig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)命令h,sig,ciztest(x,m,sigma,alpha,tail)表示通過tail 指定值控制可選擇假設(shè)的類型, 以顯著性水平為alpha 檢驗, 標(biāo)準(zhǔn)差為sigma 的正態(tài)分布樣本x 的均值是否為m. 返回值hl表示在顯著性水平為alpha 時拒絕原假設(shè); h0 表示在顯著水平為alpha 時不拒絕原假設(shè). 返回值sig 為Z 的樣本數(shù)據(jù)在x 的均值為 m 的原假設(shè)下較大或者在統(tǒng)計意義下較大的概率值.ci 返回置信度為100(1-alpha)%的真實均值的置信區(qū)間.在在Matlab中中U檢驗法由函

7、數(shù)檢驗法由函數(shù)ztest來實現(xiàn)。調(diào)用格式如下來實現(xiàn)。調(diào)用格式如下0, ,(, , ,)H P CI zvalztest XTail 當(dāng)當(dāng)Tail=0時，備擇假設(shè)為時，備擇假設(shè)為“ ”；當(dāng)當(dāng)Tail=1時，備擇假設(shè)為時，備擇假設(shè)為“ ”；當(dāng)當(dāng)Tail=-1時，備擇假設(shè)為時，備擇假設(shè)為“ ”；000h,sig=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) x = 97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103;% 調(diào)用調(diào)用ztest函數(shù)作總體均值的雙側(cè)檢驗，函數(shù)作總體均值的雙側(cè)檢驗，% 返回變量返回變量h，檢驗的，檢驗的p值，

8、均值的置信區(qū)間值，均值的置信區(qū)間muci，檢驗統(tǒng)計量的觀測值，檢驗統(tǒng)計量的觀測值zval h,p,muci,zval = ztest(x,100,2,0.05)% 調(diào)用調(diào)用ztest函數(shù)作總體均值的單側(cè)檢驗函數(shù)作總體均值的單側(cè)檢驗 h,p,muci,zval = ztest(x,100,2,0.05,right)例例2 某電子元器件生產(chǎn)廠對一批產(chǎn)品進行檢測，使用壽命不某電子元器件生產(chǎn)廠對一批產(chǎn)品進行檢測，使用壽命不低于低于2000小時為合格品。該電子元器件的使用壽命服從正態(tài)小時為合格品。該電子元器件的使用壽命服從正態(tài)分別，標(biāo)準(zhǔn)差為分別，標(biāo)準(zhǔn)差為100小時。從該批產(chǎn)品中隨機抽取了小時。從該批產(chǎn)品

9、中隨機抽取了120個產(chǎn)個產(chǎn)品進行檢測，測得樣本均值為品進行檢測，測得樣本均值為1960小時，在小時，在 的顯著的顯著性水平下檢驗該批電子元器件的質(zhì)量是否符合要求。性水平下檢驗該批電子元器件的質(zhì)量是否符合要求。0.01解：解：由題意總體服從正態(tài)分布，由題意總體服從正態(tài)分布， 02000,100,樣本均值樣本均值 ，樣本容量，樣本容量1960 x 120.n 4.3821zz 拒絕域拒絕域= -2.33所以拒絕原假設(shè)，即電子元件的質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)。所以拒絕原假設(shè)，即電子元件的質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)。0 2000H：1 2000H：(1)0-19602000/100/ 120 xZn(2)1z(3)1zz (

10、4)算法 1、定義參數(shù),mean,mu,sigma,n,alpha,model分別代表樣本均值，總體均值，標(biāo)準(zhǔn)差，樣本容量，顯著性水平，檢驗?zāi)Ｊ桨ǎ鹤髠?cè)，雙側(cè)，右側(cè)2、根據(jù)檢驗?zāi)Ｊ蕉x出拒絕域；3、根據(jù)上述參數(shù)計算4、判斷sample是否在第2步定義的拒絕域，如果在就拒絕原假設(shè)返回值0，否則返回值1.5、根據(jù)第四步結(jié)果做出結(jié)論，0拒絕原假設(shè)，1接受原假設(shè)。()/meanmusamplesigman在在Matlab中中t檢驗法由函數(shù)檢驗法由函數(shù)ttest來實現(xiàn)。調(diào)用格式如下來實現(xiàn)。調(diào)用格式如下, ,(, ,)H P CIttest X MTailh, sig=ttest(x, m, alpha

11、, tail)h=ttest(x, m)h=ttest(x, m, alphal)h, sig, ci=ttest(x, m, alpha, tail)命令h, sig, ci=ttest(x, m, alpha, tail)表示在給定顯著水平為alpha 的基礎(chǔ)上進行t 假設(shè)檢驗, 檢驗正態(tài)分布樣本x 的均值是否為給出的m, m 的缺省值是0. 返回的h 值等于1 表示在顯著水平為alpha 時拒絕原假設(shè); 返回的h 值等于0 表示在顯著水平為alpha 時不拒絕原假設(shè). 返回的 sig 表示在x 的均值等于m 的原假設(shè)下較大或者統(tǒng)計意義下較大的概率值.ci 返回一個置信度為 100(1-a

12、lpha)的均值的置信區(qū)間.二、總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時的單個正態(tài)總體均值的二、總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時的單個正態(tài)總體均值的t檢驗檢驗調(diào)用格式：調(diào)用格式：h = ttest(x)h = ttest(x,m)h = ttest(x,y)h = ttest(.,alpha)h = ttest(.,alpha,tail)h = ttest(.,alpha,tail,dim)h,p = ttest(.)h,p,ci = ttest(.)h,p,ci,stats = ttest(.) ttest函數(shù)函數(shù)2( ,)XN 總體：12,nXXX樣本：001000100010:, : .:, :, :HHHHHH假設(shè)：% 定義

13、樣本觀測值向量定義樣本觀測值向量 x = 49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9;% 調(diào)用調(diào)用ttest函數(shù)作總體均值的雙側(cè)檢驗，函數(shù)作總體均值的雙側(cè)檢驗，% 返回變量返回變量h，檢驗的，檢驗的p值，均值的置信區(qū)間值，均值的置信區(qū)間muci，結(jié)構(gòu)體變量，結(jié)構(gòu)體變量stats h,p,muci,stats = ttest(x,50,0.05)例例4 某電視機廠采用了新的生產(chǎn)技術(shù)生產(chǎn)顯像管，質(zhì)監(jiān)部門某電視機廠采用了新的生產(chǎn)技術(shù)生產(chǎn)顯像管，質(zhì)監(jiān)部門隨機抽取了隨機抽取了20個樣本，測得樣本的平均壽命為個樣本，測得樣本的平均壽命為31850小時，小時，樣

14、本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差1300小時。已知，在采用了新技術(shù)前生產(chǎn)的顯像小時。已知，在采用了新技術(shù)前生產(chǎn)的顯像管的平均壽命為管的平均壽命為3萬小時，顯像管的壽命服從正態(tài)分布，問：萬小時，顯像管的壽命服從正態(tài)分布，問：在在 的顯著性水平下，問：新技術(shù)采用前與采用后生的顯著性水平下，問：新技術(shù)采用前與采用后生產(chǎn)的顯像管的平均壽命是否有顯著差異。產(chǎn)的顯像管的平均壽命是否有顯著差異。0.05解：解： 未知，所以采用未知，所以采用 t 檢驗檢驗 1/2(1)tn(3)1/2tt 拒絕域拒絕域00 ：H10 ：H(1)03185030000/1300/20 xtsn(2)(4)1/2tt =6.36=2.0930

15、所以拒絕原假設(shè)，即平均壽命有顯著差異。所以拒絕原假設(shè)，即平均壽命有顯著差異。算法 1、定義參數(shù),mean,mu,n,alpha,model分別代表樣本均值，總體均值，樣本容量，顯著性水平，檢驗?zāi)Ｊ桨ǎ鹤髠?cè)，雙側(cè)，右側(cè)2、根據(jù)檢驗?zāi)Ｊ蕉x出拒絕域；3、根據(jù)上述參數(shù)計算4、判斷sample是否在第2步定義的拒絕域，如果在就拒絕原假設(shè)返回值0，否則返回值1.5、根據(jù)第四步結(jié)果做出結(jié)論，0拒絕原假設(shè)，1接受原假設(shè)。()/meanmusamplesn 當(dāng)兩個正態(tài)總體均服從正態(tài)分布且方差當(dāng)兩個正態(tài)總體均服從正態(tài)分布且方差 未知但相未知但相等時，進行兩個總體均值之差的檢驗采用統(tǒng)計量。等時，進行兩個總體均值

16、之差的檢驗采用統(tǒng)計量。 2212, (2)11wXYTt mnSmn選用統(tǒng)計量：選用統(tǒng)計量：調(diào)用格式：調(diào)用格式：h = ttest2(x,y)h = ttest2(x,y,alpha)h = ttest2(x,y,alpha,tail)h = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype)h = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype,dim)h,p = ttest2(.)h,p,ci = ttest2(.)h,p,ci,stats = ttest2(.) ttest2函數(shù)函數(shù)211(,)XN 總體1：112,nXXX樣本1：01211201211201211

17、2:, :, :, :HHHHHH假設(shè)：222(,)YN 總體2：212,nY YY樣本2：h, sig, ci=ttest2(x, y, alpha,tail)h, sig, ci=ttest2(x, y, alpha)h, sig, ci=ttest2(x, y)命令h, sig, ci=ttest2(x, y, alpha, tail)表示在tail 指定可選擇假設(shè)類型, 顯著水平為alpha的情況下, 對兩個正態(tài)分布樣本x 和y 是否具有相同的均值進行t 檢驗; 返回值hl 表示在顯著水平為alpha 時拒絕原假設(shè), 返回值h0 表示在顯著水平為alpha 時不拒絕原假設(shè); 返回值ci

18、 表示置信度為100(1-alpha)%的均值真實差的置信區(qū)間; 返回值sig 為樣本x 的均值等于樣本y 的均值的原假設(shè)下較大或者統(tǒng)計意義下較大的概率值.在在Matlab中由函數(shù)中由函數(shù)ttest2來實現(xiàn)。調(diào)用格式如下：來實現(xiàn)。調(diào)用格式如下：, ,2(, , ,)H P CIttestX YTail當(dāng)當(dāng)H=0表示接受原假設(shè)；表示接受原假設(shè)；當(dāng)當(dāng)H=1表示拒絕原假設(shè)。表示拒絕原假設(shè)。當(dāng)當(dāng)Tail=0時，備擇假設(shè)為時，備擇假設(shè)為“ ”；當(dāng)當(dāng)Tail=1時，備擇假設(shè)為時，備擇假設(shè)為“ ”；當(dāng)當(dāng)Tail=-1時，備擇假設(shè)為時，備擇假設(shè)為“ ”；121212% 定義甲機床對應(yīng)的樣本觀測值向量定義甲機床

19、對應(yīng)的樣本觀測值向量 x = 20.1, 20.0, 19.3, 20.6, 20.2, 19.9, 20.0, 19.9, 19.1, 19.9;% 定義乙機床對應(yīng)的樣本觀測值向量定義乙機床對應(yīng)的樣本觀測值向量 y = 18.6, 19.1, 20.0, 20.0, 20.0, 19.7, 19.9, 19.6, 20.2; alpha = 0.05; % 顯著性水平為顯著性水平為0.05 tail = both; % 尾部類型為雙側(cè)尾部類型為雙側(cè) vartype = equal; % 方差類型為等方差方差類型為等方差% 調(diào)用調(diào)用ttest2函數(shù)作兩個正態(tài)總體均值的比較檢驗，函數(shù)作兩個正態(tài)總

20、體均值的比較檢驗，% 返回變量返回變量h，檢驗的，檢驗的p值，均值差的置信區(qū)間值，均值差的置信區(qū)間muci，結(jié)構(gòu)體變量，結(jié)構(gòu)體變量stats h,p,muci,stats = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype)例例6、首先用產(chǎn)生正態(tài)分布隨機數(shù)命令生成兩組均值、首先用產(chǎn)生正態(tài)分布隨機數(shù)命令生成兩組均值分別為分別為1 和和2, 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差均為均為4 的正態(tài)分布樣本的正態(tài)分布樣本xx 和和yy, 用雙樣本均值用雙樣本均值t 檢驗函數(shù)檢驗函數(shù)ttest2 來檢驗兩個樣本來檢驗兩個樣本的均值是否相等的均值是否相等.xx=normrnd(1,4,1 100); %生成生成=1,

21、 =4 的一組正態(tài)隨機數(shù)的一組正態(tài)隨機數(shù).yy=normrnd(2,4,1 100); %生成生成=2, =4 的一組正態(tài)隨機數(shù)的一組正態(tài)隨機數(shù).h,sig,ci=ttest2(xx,yy,0.05)例例7 設(shè)有甲、乙兩種零件彼此可以代用，但乙零件比家零件制造簡單，設(shè)有甲、乙兩種零件彼此可以代用，但乙零件比家零件制造簡單，造價低，經(jīng)過試驗獲得它們的抗壓強度數(shù)據(jù)如下表造價低，經(jīng)過試驗獲得它們的抗壓強度數(shù)據(jù)如下表(單位：單位：kg/cm2)甲種零件甲種零件 88 87 92 90 91乙種零件乙種零件 89 89 90 84 88 87 已知甲、乙兩種零件的抗壓強度分別服從正態(tài)總體已知甲、乙兩種零

22、件的抗壓強度分別服從正態(tài)總體 和和 ，問能否保證抗壓強度質(zhì)量下，用乙種零件代替甲種零件？問能否保證抗壓強度質(zhì)量下，用乙種零件代替甲種零件？ 21(,)N 22(,)N (0.05)012:H112:H解：解：根據(jù)題意構(gòu)造假設(shè)：根據(jù)題意構(gòu)造假設(shè)：Matlab求解：求解： x=88 87 92 90 91;y=89 89 90 84 88 87;H,P,CI=ttest2(x,y,0.05,-1) 輸出：輸出：H = 0P =0.9000CI = -Inf 4.1077三、總體均值未知時的單個正態(tài)總體方差的卡方檢驗三、總體均值未知時的單個正態(tài)總體方差的卡方檢驗調(diào)用格式：調(diào)用格式：H = varte

23、st(X,V)H = vartest(X,V,alpha)H = vartest(X,V,alpha,tail)H,P = vartest(.)H,P,CI = vartest(.)H,P,CI,STATS = vartest(.). = vartest(X,V,alpha,tail,dim) vartest函數(shù)函數(shù)2( ,)XN 總體：12,nXXX樣本：222200102222001022220010:, :, :, :HHHHHH假設(shè)：% 定義樣本觀測值向量定義樣本觀測值向量 x = 49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9; var0 =

24、 1.5; % 原假設(shè)中的常數(shù)原假設(shè)中的常數(shù) alpha = 0.05; % 顯著性水平為顯著性水平為0.05 tail = both; % 尾部類型為雙側(cè)尾部類型為雙側(cè)% 調(diào)用調(diào)用vartest函數(shù)作單個正態(tài)總體方差的雙側(cè)檢驗，函數(shù)作單個正態(tài)總體方差的雙側(cè)檢驗，% 返回變量返回變量h，檢驗的，檢驗的p值，方差的置信區(qū)間值，方差的置信區(qū)間varci，結(jié)構(gòu)體變量，結(jié)構(gòu)體變量stats h,p,varci,stats = vartest(x,var0,alpha,tail)四、總體均值未知時的兩個正態(tài)總體方差的比較四、總體均值未知時的兩個正態(tài)總體方差的比較 F 檢驗檢驗調(diào)用格式：調(diào)用格式：H =

25、vartest2(X,Y)H = vartest2(X,Y,alpha)H = vartest2(X,Y,alpha,tail)H,P = vartest2(.)H,P,CI = vartest2(.)H,P,CI,STATS = vartest2(.). = vartest2(X,Y,alpha,tail,dim) vartest2函數(shù)函數(shù)211(,)XN 總體1：112,nXXX樣本1：222201211222220121122222012112:, :, :, :HHHHHH假設(shè)：222(,)YN 總體2：212,nY YY樣本2：% 定義甲機床對應(yīng)的樣本觀測值向量定義甲機床對應(yīng)的樣本觀

26、測值向量 x = 20.1, 20.0, 19.3, 20.6, 20.2, 19.9, 20.0, 19.9, 19.1, 19.9;% 定義乙機床對應(yīng)的樣本觀測值向量定義乙機床對應(yīng)的樣本觀測值向量 y = 18.6, 19.1, 20.0, 20.0, 20.0, 19.7, 19.9, 19.6, 20.2; alpha = 0.05; % 顯著性水平為顯著性水平為0.05 tail = both; % 尾部類型為雙側(cè)尾部類型為雙側(cè)% 調(diào)用調(diào)用vartest2函數(shù)作兩個正態(tài)總體方差的比較檢驗，函數(shù)作兩個正態(tài)總體方差的比較檢驗，% 返回變量返回變量h，檢驗的，檢驗的p值，方差之比的置信區(qū)間

27、值，方差之比的置信區(qū)間varci，結(jié)構(gòu)體變量，結(jié)構(gòu)體變量stats h,p,varci,stats = vartest2(x,y,alpha,tail)1、某橡膠的伸長率、某橡膠的伸長率 ,現(xiàn)改進橡膠配方，對現(xiàn)改進橡膠配方，對改進配方后的橡膠取樣分析，測得其伸長率如下改進配方后的橡膠取樣分析，測得其伸長率如下 0.56 0.53 0.55 0.55 0.58 0.56 0.57 0.57 0.54已知改進配方前后橡膠伸長率的方差不變，問改進配方后橡已知改進配方前后橡膠伸長率的方差不變，問改進配方后橡膠的平均伸長率有無顯著變化？膠的平均伸長率有無顯著變化？2(0.53,0.015 )XN(0.05)2、某車間用一臺包裝機包裝糖，包得的袋裝糖重是一個隨機、某車間用一臺包裝機包裝糖，包得的袋裝糖重是一個隨機變量，它服從正態(tài)分布。當(dāng)機器正常時，其均值為變量，它服從正態(tài)分布。當(dāng)機器正常時，其均值為0.5公斤公斤,標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差為準(zhǔn)差為0.015 。某日開工后檢驗包裝機是否正常，隨機地抽取。某日開工后檢驗包裝機是否正常，隨機地抽取所包裝的糖所包裝的糖9袋，稱得凈重為（公斤）：袋，稱得凈重為（公斤）：0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512問機器是否正常？問機器是否正常？