解析匯報(bào)幾何中定值與定點(diǎn)問題

1、解析幾何中定值與定點(diǎn)問題【探究問題解決的技巧、方法】(1)定點(diǎn)和定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要 解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2) 解圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題也可以先研究一下特殊情況，找出定點(diǎn)或定值，再 視具體情況進(jìn)行研究【實(shí)例探究】題型 1 ：定值問題 :例 1 ： 已知 橢圓 C 的中 心 在原 點(diǎn) ，焦 點(diǎn)在 x 軸 上 ，它 的 一個(gè) 頂點(diǎn)恰 好 是拋 物線的焦點(diǎn)離心率等于(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線I交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若為定值 .，則由題意知 b =解：（

2、I）設(shè)橢圓C的方程為橢圓C的方程為(II)方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為易知 F 點(diǎn)的坐標(biāo)為( 2，0) .將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得去分母整理得方法二：設(shè) A 、 B、M 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又易知 F 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2，0）.顯然直線I存在的斜率，設(shè)直線I的斜率為k ,則直線I的方程是將直線I的方程代入到橢圓 C的方程中，消去y并整理得例 2. 已知橢圓 C 經(jīng)過點(diǎn) A(1,3/2), 兩個(gè)焦點(diǎn)為 (-1,0),(1,0).1)求橢圓方程2) E、F是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF 的斜率為定值，并求出這個(gè)定值(1) a2-b 2=c2 =

3、1設(shè)橢圓方程為 x2/(b2+1 ) +y 2/b 2=1將(1，3/2 )代入整理得 4bM-9b2-9=0 解得b2=3 (另一值舍)所以橢圓方程為 x2/4+y 2/3=1(2)設(shè) AE 斜率為 k則 AE 方程為 y-(3/2)=k(x-1)x 2/4+y 2/3=1，聯(lián)立得出兩個(gè)解一個(gè)是A( 1,3/2 )另一個(gè)是E( x1，y1)代入消去 y 得( 1/4+k 2/3 ) x2- (2k2/3-k ) x+k 2/3-k-1/4=0根據(jù)韋達(dá)定理 x1 = (k2/3-k-1/4 ) / (1/4+k 73 將的結(jié)果代入式得y1= (-k 2/2-k/2+3/8) /(1/4+k 2

4、/3)設(shè) AF 斜率為-k , F (x2 , y2 )則 AF 方程為 y- (3/2 ) =-k (x-1 x2/4+y2/3=1聯(lián)立同樣解得x2=(k2/3+k-1/4)/(1/4+k 2/3)y2=(-k 2/2+k/2+3/8)/( 1/4+k 2/3)EF斜率為(y2-y1)/(x2-x1)=1/2所以直線EF斜率為定值，這個(gè)定值是1/2。2 2例3、已知橢圓與每 1（a ba b0）的離心率為蘭，且過點(diǎn)C21）.3（I）求橢圓的方程;（n）若過點(diǎn) C（-1 , 0）且斜率為k的直線I與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)代B，試問在x軸是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在， 求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不iuur u

5、uin5上是否存在點(diǎn)M，使MA Mb廬存在，請(qǐng)說明理由.解：（1 ）橢圓離心率為6. C3，ab：a2又Q橢圓過點(diǎn)（2,1），代入橢圓方程，得所以 a25,b25 .31，即 x2 3y25.22橢圓方程為yr551uuun uuur5(2 )在x軸上存在點(diǎn)M (-,0)，使MA MB5是與K無關(guān)的常數(shù).63k 1證明：假設(shè)在uuuu uuuu5曠是與k無關(guān)的常數(shù)，直線L過點(diǎn)C (-1 , 0 )且斜率為K,.L方程為k(x 1),2 2由x 3y y k(x525，得(3k1),八2221)x 6k x 3k0.設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，則3k26kX1X23k253k2

6、1UUJU MAuuu(X1 m,yJ,MB(X2 m,y2),UUJUUUJ5MAMB3k21 (X1m)(x2 m)2 /xmX2m kX11 x21k2x1x2k21mx1x2.23k25. 26k2yiyiX1 X253k2 1_53k2m2k2153k2123k21m 23k2k2523k21x軸上存在點(diǎn) M ( m,0 )，使MA MB,2 2 2 2 2k 6mk 3m k m3k21設(shè)常數(shù)為t，則上6如蘭3k2 12mt.整理得(3m2 6m 1 3t)k 2 m20對(duì)任意的k恒成立,1即在x軸上存在點(diǎn)M ( - ,0)，6uljlid 使MAuujnMB鼻是與K無關(guān)的常數(shù).題

7、型2 :定點(diǎn)問題2x例4.已知橢圓C: 一2a(a b 0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線 x-y+b=0是拋物線y2=4x的一條切線。(1)求橢圓的方程(2)過點(diǎn)S (0 , -1/3 )的動(dòng)直線L交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存 在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn) T?若存在，求出點(diǎn) T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng) 說明理由。例 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 C，如圖 所示，斜率為k ( k 0)且不過原點(diǎn)的直線I交橢圓C于A , B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E, 射線OE交橢圓C于點(diǎn)G,交直線x=-3于點(diǎn)D (-3 , m )(I)求m 2+k

8、2的最小值；(n)若 |OG| 2=|OD|-|OE|,(i)求證：直線I過定點(diǎn);(ii)試問點(diǎn) B, G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí) ABG的外接圓方程；若不能,請(qǐng)說明理由。丸),解：(I)由題意：設(shè)直線 I: y=kx+ n(nAB 的 中 點(diǎn)則由韋達(dá)即占八、即，解得所以m2+k2=，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào),即m 2+k 2的最小值為2。(n)(i)證明：由題意知：n 0 ,因?yàn)橹本€ 0D 的方程為所以由得交點(diǎn) G 的縱坐標(biāo)為，且 |0G| 2=|0D| |OE| ,所以k=n ,又由(I)知：，所以解得所以直線I的方程為I: y=kx+k，即有I: y=k (x+1 ),令x=-1得

9、，y=0，與實(shí)數(shù)k無關(guān)，所以直線I過定點(diǎn)(-1 , 0);(ii)假設(shè)點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則有 ABG的外接圓的圓心在 x軸上,又在線段 AB 的 中垂線上占八、又因?yàn)橹本€I過定點(diǎn)(-1 , 0),所以直線I的斜率為所以解得又因?yàn)榇藭r(shí)k=1，所以m2=6舍去，即m2=1 ,m=1AB的中垂線為 2x+2y+1=0,圓 心 坐 標(biāo) 為圓的方程為；綜上所述，點(diǎn)B , G 關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí) ABG 的外接圓的方程為【針對(duì)練習(xí)】1 橢圓C : 2 斗1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別是Fi,F2離心率為一3 ,過Fi且垂直于 a2 b22x軸的直線被橢圓 C截得的線段長(zhǎng)為1.(I )求橢圓C的方程

10、；(n )點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PFi ,PF2,設(shè) Fi PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M (m，0)，求m的取值范圍(川)在(n)的條件下，過p點(diǎn)作斜率為k的直線I，使得I與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PFi , PF2的斜率分別為kl ,k2,若 k1 10,試證明茶示為定值，并求出這個(gè)定值2、如圖，s(1,1)是拋物線為y2px(p 0)上的一點(diǎn)，以S為圓心，r為半徑(1 r 2)做圓，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)D兩點(diǎn)。(I )求證：直線CD的斜率為定值；(n )延長(zhǎng)DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,sin 2 CSD cos CSD 的值。2x3、已知橢圓C：

11、pab21( a b 0)的離心率為丄,點(diǎn)(1,3)在橢圓C上.2 2(I )求橢圓C的方程;(n )若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M(4,t),其中t R,切點(diǎn)分別是 A、B,試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓b21上的點(diǎn)(X。，y。)處的橢圓切線方程是智 餐 1,證明直線AB恒過橢圓的右a b焦點(diǎn)F2;(川)在(n)的前提下，試探究 說明理由.1fAFTi的值是否恒為常數(shù)若是,求出此常數(shù)；若不是，請(qǐng)2 24、橢圓C :七 1 (aa bb 0)的離心率為-，其左焦點(diǎn)到點(diǎn) P(2,1)的距離為.10 .2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;若直線I: ykxm與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直AP

12、BxA2F2徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線 I過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).X25、如圖，已知橢圓C : 一41,代B是四條直線x 2, y1所圍成長(zhǎng)方形的兩個(gè)頂占八、-(1 )設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn),uuu uuu UULT若 OP mOA n OB,求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m,n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程;(2 )若M、N是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線 0M、ON的斜率之積等于直線 OA、0B的斜率之積，試探求OMN的面積是否為定值，說明理由【針對(duì)練習(xí)參考答案】1、解:(I)由于c2a22b，將 x代入橢圓方程b22b2由題意知 a1，即 a2b2所以a 2,b所以橢圓方程為UUU/ uuuv

13、 uuuv UULU UJU/ UUUV UUUV(n)由題意可知： UU& PMUv = UUU/ PMV ,FuuPM = fFuuUPMIPFjPMI |PF2|PM| |PR|uuuv,設(shè)P(xo,yo)其中3xo 4 ,將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：m(4x。 16) 3xo 12x。，因?yàn)闇?4,所以 m 3Xo,而 xo ( 2,2)所以 m ( 3,3)4 002 2(3)由題意可知，1為橢圓的在p點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為:yoy1,所以 kX4yo,而k1y, k2 y，代入丄中得x v3 x v3kk1kk21 1kkkk?4(3XXoXo3)8為定值2、解(1 )

14、將點(diǎn)(1 , 1)代入y222 px，得2p 1 拋物線方程為y x設(shè)直線SA的方程為y1 k(x1)，C(X|,yj與拋物線方程y2x 聯(lián)立得：ky2yy1 1 1 y112C(1k2k),11)由題意有SA SB,直線SB的斜率為Kcd1 1 k22(1 k) (1 k)(2 )設(shè)k2E(t,O)EC1ED3(1k)2(廠t,R 1)1(1 k)23(廠1)1)直線SA的方程為y2x 11A?同理*,0)cosSA2 SB2 AB2 CSD cos ASB -2SB SA343 sin CSD5-5 ?sin 2 CSD2425sin 2 CSD cos因此：39CSD 252 23、解：

15、(i)設(shè)橢圓C的方程為 務(wù)-21 (a ba b3 31Q點(diǎn)(1,)在橢圓C上，一24 2a2 y4, b23 橢圓C的方程為4b2a2由得:a(n)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)0)94b2y23A(X1,yJ ,B(X2, y2)，則切線方程分別為1 X2XY2Y1，43又兩條切線交于點(diǎn) M(4, t),即x1即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)都適合方程t3y1 t3yt1,X2 3y21，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)(1,0)都適合這個(gè)方程,故直線AB恒過橢圓的右焦點(diǎn)(川)將直線AB的方程xF2.t3y1,即(丄4)y2 2ty 90所以y3代入橢圓方程，得3( -y 1)2 4y2 120,327t2 126t12y2-；7,y1

16、y2不妨設(shè)y10,y20JAF2I 。 1)2(9 1)y12J2 9y1,同理|BF2| t291所以|AF2|1所以|AF2|4、解：(1)| BF21.t2 9 y1 y214的值恒為常數(shù)一 壓|3由題：ea 23_ y2y1 =t29Y1Y23t2 9y“2左焦點(diǎn)(一C,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為:d = - (2 + C) 2 + 1 2(4 k 2 + 3) x 2 + 8 kmx+ 4m2 12 = 0 .由可解得c = 1, a = 2 , b2x 2 y 2所求橢圓C的方程為7 + 7= 1(2)設(shè)A(xi,yi)、B(X2,y2)，將y = kx + m代入橢圓方程得8

17、km/X1 + X2 =4k 2 + 34m 2 12,X1X2 =2,4k 2 + 3且 y1 = kx1+ m , y2 =A2A ?A2 B = 0AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)A2(2,0)，所以所以(X1 2,y“(X2 2,y2) = ( X1 2)(X2 2) + y1y2 = ( X1 2)(X2 2) + ( kx1 + m) (kx2 +m)=(k 2 + 1)=(k 2 + 1)X1X2 + ( km 2) (X1 + X2) + m 2 + 44m 2 128 km4k2 + 3(km 2) 4k 2 + 32整理得 7m 2 + 16 km + 4 k 2 = 0 . m = _ k 或 m = 2k 都滿足 0 .7若m = 2k時(shí)，直線l為y = kx 2k = k (x 2)，恒過定點(diǎn)A2(2,0)，不合題意舍去若m = k時(shí)，直線 l為y =2 2 2 kx7k =k (x-7)，恒過定點(diǎn)(7,)5.解析：證明：由題意可知 A(2,1),B( - 2,1) x2設(shè) P(xo, yo)，則：+ y(2= 1.4由OP =