概率論14貝努利公式ppt課件

1、 設，為同一個隨機實驗中的兩個隨機事件設，為同一個隨機實驗中的兩個隨機事件 , 且，且， 那么稱那么稱()()()PA BPA BPB為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率 n定義定義條件概率條件概率 Conditional ProbabilityBASample space Reduced sample space given event BAB條件概率條件概率 P(A|B)的樣本空間的樣本空間()P AB(|)P A B乘法法那么乘法法那么()( ) ()( ) ()P ABP A P B AP B P A B 12121312121()()()(

2、)()nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA()()( )P ABP A BP B()()( )P ABP B AP A()( ) ()(|)P ABCP A P B A P C ABn推行 設1 ，2 ，.，n 構成一個完備事件組，且(i )0 ，i1，2，.，n，那么對任一隨機事件，有 1()()(|)niiiP BP A P BA全概率公式全概率公式1A2A3A11()(|)P AP B A22()(|)P AP B A33()(|)P AP B A( )P B 設A1，A2，, An構成完備事件組，且諸PAi0)B為樣本空間的恣意事件，P B 0 , 那么有1(

3、)(|)(|)()(|)kkkniiiP AP BAP ABP AP BA( k =1 , 2 , , n)證明證明 ()()()kkPA BPABPB()()kkP AP B A1()()niiiP AP B A貝葉斯公式貝葉斯公式 Bayes Theorem解解一、事件的獨立性引例一、事件的獨立性引例 一個盒子中有只黑球、只白球，從中有放回一個盒子中有只黑球、只白球，從中有放回地摸球。求地摸球。求1 第一次摸到黑球的條件下，第第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；二次摸到黑球的概率；2 第二次摸到黑球的第二次摸到黑球的概率。概率。例例A=A=第一次摸到黑球第一次摸到黑球 ，B=B=

4、第二次摸到黑球第二次摸到黑球 那么那么 6()0.610P B A 6 ( )0.610P B 因為是有放回地摸球所以()( )P B AP B 設、為恣意兩個隨機事件，假設設、為恣意兩個隨機事件，假設即事件發(fā)生的能夠性不受事件的影響，那么稱事件即事件發(fā)生的能夠性不受事件的影響，那么稱事件對于事件獨立對于事件獨立 顯然，對于獨立，那么對于也獨立，故稱與相互獨立 事件的獨立性事件的獨立性 independencen定義定義事件的獨立性事件的獨立性 判別判別()( ) ( )P ABP A P Bn事件與事件獨立的充分必要條件是事件與事件獨立的充分必要條件是n實踐問題中，事件的獨立性可根據問題的實

5、實踐問題中，事件的獨立性可根據問題的實踐意義來判別踐意義來判別 如甲乙兩人射擊，如甲乙兩人射擊，“甲擊中與甲擊中與“乙擊中可乙擊中可以以以為相互之間沒有影響，即可以以為相互獨立以為相互之間沒有影響，即可以以為相互獨立例如例如 一個家庭中有假設干個小孩，假設生男生女是一個家庭中有假設干個小孩，假設生男生女是等能夠的，令等能夠的，令A=一個家庭中有男孩、又有女孩一個家庭中有男孩、又有女孩，B=一個家庭中最多有一個女孩一個家庭中最多有一個女孩，對以下兩種情形，對以下兩種情形，討論討論A與與B的獨立性：的獨立性：1家庭中有兩個小孩；家庭中有兩個小孩；2家庭中有三個小孩。家庭中有三個小孩。解解 情形情形

6、1的樣本空間為的樣本空間為 =男男，男女，女男，女女男男，男女，女男，女女 131( ),( ),()242P AP BP AB此種情形下，事件此種情形下，事件A、B是不獨立的。是不獨立的。 例如例如 一個家庭中有假設干個小孩，假設生男生女是一個家庭中有假設干個小孩，假設生男生女是等能夠的，令等能夠的，令A=一個家庭中有男孩、又有女孩一個家庭中有男孩、又有女孩，B=一個家庭中最多有一個女孩一個家庭中最多有一個女孩，對以下兩種情形，對以下兩種情形，討論討論A與與B的獨立性：的獨立性：1家庭中有兩個小孩；家庭中有兩個小孩；2家庭中有三個小孩。家庭中有三個小孩。解解 情形情形2的樣本空間為的樣本空間

7、為 =男男男，男男女，男女男，女男男男男男，男男女，男女男，女男男 男女女，女男女，女女男，女女女男女女，女男女，女女男，女女女 613( ), ( ), ()828P AP BP AB此種情形下，事件此種情形下，事件A、B是獨立的。是獨立的。 3 BABABAAB（ 1） 與； （ 2） 與；（ ）與； （ 4） 與n定理定理 以下四組事件，有一樣的獨以下四組事件，有一樣的獨立性：立性： ()( )( )P ABP AP B()()1()P ABP ABP AB 1( )( )()P AP BP AB 1( )( )( ) ( )P AP BP A P B 證明證明 假設假設A、B獨立，那么

8、獨立，那么 1( ) 1( )( ) ( )P AP BP A P BAB與所以，所以， 獨立。獨立。 n概念辨析概念辨析事件與事件獨立事件與事件獨立事件與事件互不相容事件與事件互不相容()( )( )P ABP AP BAB ()0P AB 事件與事件為對立事件事件與事件為對立事件AB AB ( )( )1P AP B例例甲乙二人向同一目的射擊，甲擊中目的的概甲乙二人向同一目的射擊，甲擊中目的的概率為率為0.6，乙擊中目的的概率為，乙擊中目的的概率為0.5。試計算。試計算 1兩人都擊中目的的概率；兩人都擊中目的的概率；2恰有一人擊恰有一人擊中目的的概率；中目的的概率；3目的被擊中的概率。目的

9、被擊中的概率。解解 設設A表示表示“甲擊中目的，甲擊中目的，B表示表示“乙擊中目的乙擊中目的 那么那么 ( )0.6, ( )0.5P AP B()( ) ( )0.6 0.50.3P ABP A P B()( ) ( )( ) ( )0.5P ABABP A P BP A P B()( )( )( ) ( )0.8P ABP AP BP A P B 例例 P18-4 加工某一種零件需求經過三道工序，加工某一種零件需求經過三道工序，設三道工序的次品率分別為設三道工序的次品率分別為2%，3%，5% ，假，假設各道工序是互不影響的求加工出來的零件的設各道工序是互不影響的求加工出來的零件的次品率次品

10、率 解解 設1 ，2 ，3 分別表示第一、第二、第三道工序出現(xiàn)次品，那么依題意：1 ,2 ,3 相互獨立，且 12 % , 23% , 35% 又設表示加工出來的零件是次品又設表示加工出來的零件是次品, , 那么那么 A A11223 3 用對立事件的概率關系得用對立事件的概率關系得 )(1)(1)(321AAAPAPAP)()()(1321APAPAP 1(1 0.02)(1 0.03)(1 0.05) 0.09693 將實驗將實驗E E反復進展反復進展n n次次, ,假設各次實驗的結果互假設各次實驗的結果互不影響不影響, ,那么稱這那么稱這n n次實驗是相互獨立的次實驗是相互獨立的. .

11、設隨機實驗E只需兩種能夠的結果:A及 , 且P(A)=p,在一樣的條件下將E反復進展n次獨立實驗,那么稱這一串實驗為n重貝努利實驗，簡稱貝努利實驗(Bernoulli trials)，記作Bn,p.貝努利實驗貝努利實驗Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互獨立的實驗相互獨立的實驗n 貝努利實驗貝努利實驗A例例 一批產品的次品率為一批產品的次品率為 5%，從中每次任取一個，從中每次任取一個，檢驗后放回，再取一個，檢驗后放回，再取一個， 連取連取 4 次求次求 4 次中恰有次中恰有 2 次取到次品的概率次取到次品的概率 設設 恰好有恰好有 2 2 次取到次品次取到

12、次品, , 取到次品，取到次品， 那么那么 取到正取到正品品 A( )5%pP A( )1( )195%qP AP Ap 1234()()()()5%P AP AP AP A1234()()()()95%P AP AP AP An分析分析n = 4 n = 4 的的 Bernoulli Bernoulli 實驗實驗i=i=第第i i次抽樣抽到次品次抽樣抽到次品 由于由于1 1，2 2，3 3，4 4 相互獨立，所以相互獨立，所以 12341234()() () () ()P A A A AP A P A P A P A2422295. 005. 0qp123412341234( )()P BP

13、 A A A AA A A AA A A A22424C p q2295. 005. 060135. 0123412341234 , , , A A A AA A A AA A A A123412341234 , ,A A A AA A A AA A A A四次抽樣中恰好發(fā)生兩次有兩次取到次品的情況有四次抽樣中恰好發(fā)生兩次有兩次取到次品的情況有 624C貝努利定理貝努利定理 設在一次實驗中事件發(fā)生的概率為 p (0p1) ， 那么在n次貝努里實驗中恰好發(fā)生 k次的概率為 knkknnqpCkP)( k 0，1，2，.，n )其中其中 pq1n定理定理例例 有一批棉花種子有一批棉花種子,其出苗率

14、為其出苗率為0.67,現(xiàn)每穴種現(xiàn)每穴種4粒種子粒種子, (1) 求恰有粒出苗的概率求恰有粒出苗的概率(0k4)； (2) 求至少有兩粒出苗的概率求至少有兩粒出苗的概率 (1) 該實驗為4 重貝努利實驗解解kkkqpCkP444)(444()(2)(3)(4) 0.8918P BPPP(2) (2) 設表示至少有設表示至少有2 2粒出苗的事件粒出苗的事件, ,那么那么4,0.67,10.33npqp (04)k例例 設某人打靶，命中率為設某人打靶，命中率為0.7，反復射擊，反復射擊5次，求恰好次，求恰好命中命中3次的概率。次的概率。解解 該實驗為該實驗為5重貝努利實驗，且重貝努利實驗，且 所求概

15、率為所求概率為 3325( )0.70.30.3087P ACn=5,p=0.7;q=0.3;k=3例例 設某電子元件的運用壽命在設某電子元件的運用壽命在1000小時以上的概小時以上的概率為率為0.2，當三個電子元件相互獨立運用時，求在運，當三個電子元件相互獨立運用時，求在運用了用了1000小時的時候，最多只需一個損壞的概率。小時的時候，最多只需一個損壞的概率。解解 設設A表示表示“元件運用元件運用1000小時不壞，那么小時不壞，那么 ( )0.2P A 設設B表示表示“三個元件中至多一個損壞，那么三個元件中至多一個損壞，那么 332233( )0.20.20.80.104P BCC例例 一批

16、種子的發(fā)芽率為一批種子的發(fā)芽率為80%，試問每穴至少播種幾，試問每穴至少播種幾粒種子，才干保證粒種子，才干保證99%以上的穴不空苗。以上的穴不空苗。分析：分析：“穴不空苗即穴不空苗即“至少有一顆種子發(fā)芽至少有一顆種子發(fā)芽 解解 假設播假設播n顆種子，那么依題意可得顆種子，那么依題意可得 1 (1 0.8)0.99n可解得可解得 ln0.012.8614ln0.2n 即即 0.20.01n所以，每個穴中至少播種所以，每個穴中至少播種 3顆種子。顆種子。 某工人照看三臺機床，一個小時內某工人照看三臺機床，一個小時內1號，號，2號，號，3號號機床需求照看的概率分別為機床需求照看的概率分別為0.3,

17、0.2, 0.1。設各機床之。設各機床之間能否需求照看是相互獨立的，求在一小時內：間能否需求照看是相互獨立的，求在一小時內：1沒沒有一臺機床需求照看的概率；有一臺機床需求照看的概率；2至少有一臺不需求照至少有一臺不需求照看的概率；看的概率；3至多有一臺需求照看的概率。至多有一臺需求照看的概率。解解 設設Ai表示表示“第第i臺機床需求照看，臺機床需求照看，i=1，2，3那么那么 PA1=0.3； PA2=0.2； PA3=0.1；123(1)()0.7 0.8 0.90.504P A A A：123(2)1()10.3 0.2 0.10.994P A A A ： 123123123123(3)(

18、)()() ()0.902P A A AP A A AP A A AP A A A： 1、A、B相互獨立，相互獨立， , 0)(, 0)(BPAP那么一定有那么一定有 . )(BAP A. B. C. D.)()(BPAP)()(BPAP)()(1BPAP)()(1BPAP2 2、甲乙兩人獨立破譯密碼，假設他們各人譯出的概率、甲乙兩人獨立破譯密碼，假設他們各人譯出的概率均為均為0.250.25，那么這份密碼能破譯的概率為，那么這份密碼能破譯的概率為( ).( ).3、假設、假設A、B相互獨立，相互獨立，那么那么 . , 6 . 0)(, 5 . 0)(BPAP)(BAP A. 0.9 B. 0.7 C. 0.2 D.0.1 4、A、B為兩個隨機事件，假設A，B之積為不能夠事件，那么稱 A. A與B 相容 B. A與B互不相容