公平的席位分配

1、公平的席位分配姓名：仇嘉程 班級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（2）班 學(xué)號：0907022010摘要：席位分配是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，對于企業(yè)、公司、學(xué)校政府部門都能解決實(shí)際的問題。席位可以是代表大會、股東會議、公司企業(yè)員工大會、 等的具體座位。本文討論了席位公平分配問題以使席位分配方案達(dá)到最公平狀 態(tài)。我主要根據(jù)各系人數(shù)因素對席位獲得的影響， 首先定義了公平的定義及相對 不公平度的定義，采用了最大剩余法模型和 Q值法模型，通過檢驗(yàn)2種模型的相 對不公平度來制定比較合理的分配方案。關(guān)鍵詞：不公平度指標(biāo)、Q值法、最大剩余法一、問題的提出：某學(xué)校有3個(gè)系共200名學(xué)生，其中甲系100名，乙系60名，丙系4

2、0名。 問題一：若學(xué)生代表會議設(shè)20個(gè)席位，如何公平席位分配？問題二：丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲乙兩系，其中甲系轉(zhuǎn)入 3人，乙系轉(zhuǎn)入3人，又 將如何公平的分配20個(gè)學(xué)生代表會議席位？、合理的假設(shè)與變量說明符號符號說明R學(xué)生總?cè)藬?shù)Ri系的學(xué)生人數(shù)i=1,2,3N總的學(xué)生代表會議席位Nii系所占的學(xué)生代表會議席位i=1,2,3iji方與j方的絕對不公平度G對i的相對不公平度三、模型的建立：模型1比例分配法，若使得公平席位分配，最公平簡單且常用的席位分配辦 法是按學(xué)生人數(shù)比例分配：某單位席位分配數(shù)=某單位總?cè)藬?shù)比例總席位即:PiNi(i 1,2,3. n),其中Nii 1但是在實(shí)際生活中，若按模型1來計(jì)算

3、，由于席位數(shù)不同，很難使得到的結(jié)果為 整數(shù)，因此模型1難以成立，即絕對公平難以成立，我們需要尋求可能相對公平 的分配方案。模型 2最大剩余法， 如果按上述公式參與分配的一些單位席位分配數(shù)出現(xiàn)小 數(shù),則先按席位分配數(shù)的整數(shù)分配席位 , 余下席位按所有參與席位分配單位中小 數(shù)的大小依次分配之。 這種分配方法公平嗎？由書上給出的案例， 我們可以很清 楚的知道該方法是有缺陷的，是不公平的某學(xué)院按有甲乙丙三個(gè)系并設(shè) 20 個(gè)學(xué)生代表席位。它的最初學(xué)生人數(shù)及學(xué)生代 表席位為系名 甲 乙總數(shù)學(xué)生數(shù) 100 6040 200學(xué)生人數(shù)比例 100/200 60/20040/200席位分配 10 6 4 20后來

4、由于一些原因，出現(xiàn)學(xué)生轉(zhuǎn)系情況，各系學(xué)生人數(shù)及學(xué)生代表席位變?yōu)橄得?甲 乙 丙 總數(shù) 學(xué)生數(shù) 103 63 34 200學(xué)生人數(shù)比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20 按慣例席位分配 10 6 4 20由于總代表席位為偶數(shù)， 使得在解決問題的表決中有時(shí)出現(xiàn)表決平局現(xiàn)象而達(dá)不成一致意見。 為改變這一情況， 學(xué)院決定再增加一個(gè)代表席位， 總代表席位變?yōu)?21 個(gè)。重新按慣例分配席位 , 有系名甲乙丙總數(shù)學(xué)生數(shù)1036334200學(xué)生人數(shù)比例103/20063/20034/200按比例分配席位10.8156.6153.5721按慣例席位分配1

5、17321這個(gè)分配結(jié)果出現(xiàn)增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情況，這使人覺得席位分配明顯不公平。 這個(gè)結(jié)果也說明按慣例分配席位的方法有缺陷， 我們需要建立更合理的分配席位方法解決上面代表席位分配中出現(xiàn)的不公平問題模型3Q值法 先討論由兩個(gè)單位公平分配席位的情況，設(shè)單位人數(shù)席位數(shù)每席代表人數(shù)單位AP1n1P2單位BP2n2n2P1P2要公平，應(yīng)該有n1 = n2 ,但這一般不成立。注意到等式不成立時(shí)有PlP2若 ni n2，則說明單位A吃虧（即對單位A不公平）若ni n2，說明此一席給A后，對A還不公平；P1P22.n1門21，說明此一席給B后,對A不公平,P24. n1 n2 1，不可能上面

6、的分配方法在第1和第3種情況可以確定新席位的分配，但在第 2種情 況時(shí)不好確定新席位的分配。用不公平值的公式來決定席位的分配，對于新的席 位分配，若有rB(ni 1, n2)皿仆 n?1)則增加的一席應(yīng)給A，反之應(yīng)給B。對不等式rB(n1 1, n2) rA(n“ n2 1)進(jìn)行 簡單處理，可以得出對應(yīng)不等式2 2P2P1門2(門21) ni(ni 1)引入公式Qk丄(nk 1) nk于是知道增加的席位分配可以由 Qk的最大值決定，且它可以推廣到多個(gè)組的一 般情況。用Qk的最大值決定席位分配的方法稱為 Q值法。對多個(gè)組(m個(gè)組)的席位分配Q值法可以描述為：1 先計(jì)算每個(gè)組的Q值：Qk ,k=1

7、,2,m2 求出其中最大的Q值Qi (若有多個(gè)最大值任選其中一個(gè)即可)3 將席位分配給最大Q值Qi對應(yīng)的第i組。四、模型的求解用Q值法分配，很容易編寫出MATLA程序，以ni=n2=n3 =1逐次增加一席的方法, 求每一次的Q值，可得到最后的席位分配方案(MATLABS序見附錄)第 20 席的分配，計(jì)算 Q 值Q1=1032/(10 11) = 96.45 ; Q2=632/(6 7)= 94.5; Q3 =342/(3 4)=96.33因?yàn)镼i最大，因此第20席應(yīng)該給甲系；對第21席的分配，計(jì)算Q值2 2 2Q1=1032/(11 12)=80.37 ； Q2 =632/(6 7)=94.5

8、； Q3 =342/(3 4)=96.33因?yàn)?Q3 最大，因此第 21 席應(yīng)該給丙系最后的席位分配為：甲 11 席 乙 6 席 丙 4席五、模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析5.1 、優(yōu)點(diǎn)：模型比較簡單卻較合理的解決了實(shí)際問題， 用比例模型和Q值法模型就解決了席 位的公平分配問題。 由相對不公平值的計(jì)算可知兩種模型的公平程度都還比較符 合要求。模型 1 的計(jì)算過程簡單卻是公平度比較高的一種模型， 操作起來比較方 便。模型 2 可以避免所得席位名額含有小數(shù)點(diǎn)的情況。5.2 、缺點(diǎn)：模型 1 的建立比較簡單， 計(jì)算的結(jié)果含有小數(shù)點(diǎn)， 通過四舍五入所得的結(jié)果會使 公平性變差。 模型 2的建立相對比較復(fù)雜， 計(jì)算過程比較繁瑣， 最后得到的結(jié)果 的公平性相對較差。六、模型的改進(jìn) 由于以上