積分第一中值定理及其推廣證明

1、21積分第一中值定理證明積分第一中值定理：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間00上連續(xù)，g(x( “上)上不變號，并且g(x)在閉區(qū)間00 上是可積的，則在切上至少存在一點歹，使得J： f(x)g(x)dx =/() g(x)厶，b)成立。證明如下：由于g(x)在閉區(qū)間恥上不變號,我們不妨假設(shè)g(x) no,并且記在閉區(qū)間a,b上的最大值 和最小值為和也，即也v f(x)M，我們將不等式兩邊同乘以g(x)可以推出，此時對于任意的x ea,b都會有 2g(x) /(x)g(x) Mg(x)成立。對上式在閉區(qū)間“上上進行積分，可以得到力口 J; g(x)dx f(x)g(x)dx M gWdx。此時在之間必

2、存在數(shù)值“，使得叱 即有 fx)gxdx =/ g(x)dx成立。山于/(X)在區(qū)間切上是連續(xù)的，則在(”上必定存在一點使/?)二/成立。此 時即可得到二 /(機 g(x)dx 命題得證。2. 2積分第一中值定理的推廣定理：(推廣的笫一積分中值定理)若函數(shù)/(兀)是閉區(qū)間匕刃上為可積函數(shù)，g(x)在“甸上可積且不變號，那么在開區(qū)間(匕仍上至少存在一點使得Af(x)g(x)dx =/()g(x) x, e (a,b)成立。推廣的笫一積分中值定理很重要，在這里給出兩種證明方法。證法仁 由于函數(shù)/(X)在閉區(qū)間a,b上是可積的，g(x)在刃上可積且不變號，令 F(x)= /(/)g/W,G(x)=

3、g(/M,很顯然 F(x),G(x)在(4)切上連續(xù)。并且 F(a) = O,F(b) = Af(t)g(t)dt, G=0,GO) = g(廣,=,= g)。由柯西中值定理即可得到G(b)-G(“)G)化簡，即/g山_f gd)/g()根據(jù)上式我們很容易得出 f01)111=1 () ( ga) ， 已 a”)c命題得證。g(x)dxf (x)g(x)dx Oa而函數(shù)丿在閉 區(qū)間“”上可積，我們令力？ - inff(x)ixela,bj, M= sup/(A) I x a,b 。假設(shè)丿是 民在閉區(qū)間d,b上的一個原函數(shù)，即Fg=gxea,b。我們就可以得到下面等式mJd此時由于g(x)0,則

4、會有j(x)6/x0,由于存衽兩種可能性，那么下面我們就要分兩種情況以下 我們分兩種情形來進行討論：如果(x)t/A = O,由等式(2. 2.1)可得出J： /(x)g(x) x = 0,那么對于VP(,Z?) 都有J; f(x)g(x)dx = 0 = /() gMdx恒成立。.如果(人)就0,將(221)除以刃)必可得C f(x)g(x)dxm hM,L g(x)dx我們記 fWg(x)dx “一兒 /f gMdx此時我們乂分兩種情形繼續(xù)進行討論：f f(x)g(x)dx(I )如果(2 22)式中的等號不成立，即有vM成立， gMdx則此時一定就存在加v“vM,可以使得m fM =f(x), xea,b側(cè)會有F(xJ = f(x) /0,此時一定存在區(qū)間(其中勺V)，使得，恒有刃丿0成立，我們可以將式進行簡化g(x)dx = A f(x)g(x)dx,因為二M,則有fbf M-/(x)k(x)Jx = 0 (2. 2.4)而且我們已知f(x)g(x)0、風(fēng)ijo|M-/(x)k(A-Xv-f 0及g(x) 0成立,從而使得M -/(x)g(x) 0。如果fill(x)dx = 0,由達布定理在糾，勺上有M/(x)g(x)0