2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷II) 數(shù)學(xué)(文科)試卷

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷II) 數(shù)學(xué)(文科)試卷 2021年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷II） 數(shù)學(xué)（文科）試卷 （必修+選修I） 留意事項(xiàng)： 1本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。共4頁，總分150分考試時(shí)間120分鐘。 2答題前，考生須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在本試題卷指定的位置上。 3選擇題的每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。 4非選擇題必需用法0.5毫米的黑色字跡的簽字筆在答題卡上書寫，字體工整，筆跡清晰。 5非選擇題必需根據(jù)題號挨

2、次在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域或在其它題的答題區(qū)域內(nèi)書寫的答案無效；在草稿紙、本試題卷上答題無效。 6考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第I卷（選擇題） 本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的。 參考公式： 假如大事A、B互斥，那么 P（A+B）=PA+PB 假如大事A、B相互獨(dú)立，那么 P（AB）=PAPB 假如大事A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 knkPn（k）=Ck nP（1P） 球的表面積公式 2 S=4 R 其中R表示球的半徑， 球的體積公式 V= R， 其中R表示球的

3、半徑 43 3 一、選擇題 1cos330 = A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 2設(shè)集合U=1，2，3，4，A=1，2，B=2，4，則CU（AB）= A2 B3 C 1，2，4 D1，4 3函數(shù)f（x）=|sinx|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是 A（ ，） 44 B（ 3 ，） 44 C（， 3 3 ） D（，2） 22 4以下四個(gè)數(shù)中的最大者是 A（ln2）2 Bln（ln2） Cln2 Dln2 x-2 5不等式的解集是 x+3A（3，2） B（2，+ ） C（ ，3）（2，+ ） D（ ，2）（3，+ ） 6在 ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2，= ，則= A 1 3 2

4、3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 7已知正三棱錐的側(cè)棱長與底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于 A B C 2 D x21 8已知曲線y 的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 24 A1 Aex+2 B 2 C3 D4 Dex+2 9把函數(shù)y=ex的圖象按向量a=（2，0）平移，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則f（x）= Bex2 Cex2 105位同學(xué)報(bào)名參與兩上課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方 法共有 A10種 B 20種 C25種 D32種 11已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率為 A 1 3 B3 3 2 1C2 D 3 2 y2 12設(shè)F

5、1，F(xiàn)2分別是雙曲線x的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1 PF2=0，則9 |PF1 PF2| = A10 B210 C 5 D5 第II卷（非選擇題） 本卷共10題，共90分。 二、填空題 13一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡潔隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本， 則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 。 14已知數(shù)列的通項(xiàng)an=5n+2，則其前n項(xiàng)和為Sn。 15一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。假如正四棱柱的底面邊長為1cm， 2 那么該棱柱的表面積為 cm。 1 16（1+2x2）（1+8的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為 。（用數(shù)字作答） x 三、解答題：本大題共6小題，共70

6、分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17（本小題滿分10分） 設(shè)等比數(shù)列 an的公比q1，前n項(xiàng)和為Sn。已知a3=2，S4=5S2，求an的通項(xiàng)公式。 18（本小題滿分12分） 在 ABC中，已知內(nèi)角A= ，邊 BC=2，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y。 3 （1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域； （2）求y的最大值。 19（本小題滿分12分） 從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)大事A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96。 （1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p； （2）若該批產(chǎn)品共有100件，從中任意抽取2件，求大事B：“取出

7、的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P（B）。 20（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)。 P D （1）求證：EF 平面SAD； （2）設(shè)SD = 2CD，求二面角AEFD的大小。 21在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線：xy=4相切。 （1）求圓O的方程； （2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求 的取值范圍。 1 22已知函數(shù)f（x）=x3bx2+（2b）x+1在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得微小值， 3 且0x11x22。 （1）證明a

8、0； （2）若z=a+2b，求z的取值范圍。 2021年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷II） 數(shù)學(xué)（文科）試卷 參考答案 一、選擇題 1C 2B 3C 4D 5C 6A 7A 8A 9C 10D 11D 12B 二、填空題 13 1 20 5n2 n14 2 15 2 三、解答題 a1(1 qn) 17解：由題設(shè)知a1 0，Sn ， 1 q a1q2 2，2 a(1 q) 則 a1(1 q4) 5 1 1 q 1 q 由得1 q 5(1 q)，(q 4)(q 1) 0，(q 2)(q 2)(q 1)(q 1) 0， 由于q1，解得q=-1或q=-2。 當(dāng)q=-1時(shí)，代入得a1=2，通項(xiàng)公

9、式an 2 ( 1)當(dāng)q=-2時(shí)，代入得a1 18解：（1）ABC的內(nèi)角和A+B+C=，由A 應(yīng)用正弦定理，知 n 1 4 2 2 2 ； 11n 1 ，通項(xiàng)公式an ( 2)。 22 2 ，B0，C0得0 B 。 AC BCsinB x 4sinx， sinAsin BC 2 sinC 4sin x 。 sinA AB 由于y=AB+BC+AC， 所以y 4sinx 4sin 2 2 x 0 x ， 3 1 cosx sinx 2 （2 ）由于y 4 sinx si nx 5 x ， 所以，當(dāng)x ，即x 時(shí)，y 取得最大值 19（1）記A0表示大事“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”， A1表示大事

10、“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”。 則A0，互斥，且A= A0+ A1，故 P（A）=P（A0+ A1） = P（A0）+P（A1） (1 p)2 C12p(1 p) =1-p2 于是0.96=1-p2。 解得p1 0.2，p2 0.2（舍去）。 （2）記B0表示大事“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”， 則B B0。 2 C80316 若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其中二等品有1000.2=20件，故P(B0) 2 。 C100495 P(B) P(B0) 1 P(B0) 1 316179 495495 20解法一： （1）作FGDC交SD于點(diǎn)G，則G為SD的中點(diǎn)。 連結(jié)AG，F(xiàn)G 1 AB，

11、CD，又CD 2 AE，AEFG為平行四邊形。 故FG S EFAG，又AG 平面SAD，EF 平面SAD。 所以EF平面SAD。 （2）不妨設(shè)CD=2，則SD=4，DG=2，ADG為等 腰直角三角形。 取AG中點(diǎn)H，連結(jié)DH，則DHAG。 又AB平面SAD，所以ABDH，而AB所以DH面AEF。 取EF中點(diǎn)M，連結(jié)MH，則MHEF。 連結(jié)DM，則DMEF。 故 DMH為二面角AEFD的平面角 A F AG A， C tan DMH DH HM1 所以二面角AEFD 的大小為 解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz。 設(shè)A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，

12、a，0） a ab E a，0 ，F(xiàn) 0 ， 2 22 b EF a，0 。 2 取SD的中點(diǎn)G 0，0 ，則AG a，0 。 b 2 b 2 EF AG，EFAG，AG 平面SAD，EF 平面SAD， 所以EF平面SAD。 （2）不妨設(shè)A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0）S（0，0，2）E 1 0 ，F(xiàn) 01 。 1 2 1 2 111 111 EF中點(diǎn)M ，MD ， ， ，EF ( 1，0，1)，MDEF=0，MDEF 222 222 又EA 0， ，0 ，EA EF=0，EAEF， 所以向量MD和EA的夾角等于二面角AEFD的平面角。 12 cos MD，EA MD E

13、AMD EA 所以二面角AEFD 的大小為 。 21解：（1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O 到直線x 4的距離， 即 r 2。 得圓O的方程為x2 +y2=4。 （2）不妨設(shè)A(x1，B（2，0） 0)B(x2，0)x1 x2由x2=4即得A（-2，0）設(shè)P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得 x2 y2， 即 x2 -y2=2。 PA PB ( 2 x， y) (2 x， y) x2 4 y2 2(y 1). 2 22 x y 4， 由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故 2 2 x y 2. 由此得y21。 所以PAPB的取值范圍為-2，0）。 22解：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f (x) ax2 2bx 2 b。 （）由函數(shù)（fx）在x x1處取得極大值，在x x2處取得微小值，知x1，x2是f (x) 0的兩個(gè)根。 所以f (x) a(x x1)(x x2) 當(dāng)x x1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，f (x) 0，由x x1 0，x x2 0得a 0。 f (0) 0 2 b 0 （）在題設(shè)下，0 x1 1 x2 2等價(jià)于 f (1) 0 即 a 2b 2 b 0。 f