2021-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時跟蹤檢測(十二)數(shù)學(xué)歸納法新人教A版選修4-5

1、課時跟蹤檢測十二數(shù)學(xué)歸納法1. 數(shù)學(xué)歸納法證明中，在驗證了n= 1時命題正確，假定 n=k時命題正確，此時 k的取值范圍是A. k NB. k1, k N*C. k 1, k ND. k2, k N*解析：選C 數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以 k是正整數(shù)；因為第一步是遞推的根底，所以k大于等于1.632. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1 + 2 + 3 + n3= “ ；門，那么當(dāng)n= k + 1時，左端應(yīng)在n= k的基礎(chǔ)上加上A. k3+ 1B. (k+ 1)C.k+ 16+2k+ 13333D. (k +1) + (k + 2) + (k + 3) + (k+ 1)解析：選D 當(dāng)n

2、= k時，等式左端=1 + 2 + k3.當(dāng) n = k+ 1 時，等式左端=1 + 2 + + k3+ (k3+1) + (k3+ 2) + (k3+ 3) + ( k+ 1)3,應(yīng)選D.1 1 1 1 *3設(shè) f(n)=芮 + n2 + 亦(n N)，那么 f(n+ 1) f(n)等于()1 1A.B.2n+ 12n+ 21 11 1C. +D.2n+ 1 2n+ 22n+ 1 2n+ 21 11解析：選D因為f(n) =+，n+1 n+ 22n1 1 1 1 1所以 f(n+1) =+,n + 2 n+ 32n 2n+ 1 2n+ 211111所以 f(n+1) f(n)=和 + n+7

3、=2+72+14某同學(xué)答復(fù)“用數(shù)學(xué)歸納法證明n2+ nn+1(n N)的過程如下：證明：(1)當(dāng)n= 1時，顯然命題是正確的.假設(shè) n= k 時，有,k k + 1 k+ 1，那么當(dāng) n= k + 1 時，k + 12+ k +1 =.k2+ 3k+ 2 . k2 + 4k + 4= (k+ 1) + 1,所以當(dāng)n= k + 1時命題是正確的.由(2)可知對于n N,命題都是正確的.以上證法是錯誤的，錯誤在于()A. 從k到k + 1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B. 歸納假設(shè)的寫法不正確C. 從k到k + 1的推理不嚴(yán)密D. 當(dāng)n= 1時，驗證過程不具體解析：選 A 證明 :k + 1 2+ k

4、 + 1 (k+ 1) + 1時進行了一般意義的放大，而 沒有使用歸納假設(shè) Jk k +1 1, k N)時，等式成立，即1 ( k2 12) + 2 ( k2 22) + k ( k2 k2) = 1k2( k 1) ( k + 1),所以當(dāng) n= k + 1 時，2 2 2 2 2 2 2左邊=1 ( k+ 1) 1 + 2 ( k+ 1) 2 + k ( k+ 1) k + (k + 1)( k + 1) (k2 222299+ 1) = 1 ( k 1 ) + 2 (k 2 ) + k (k k ) + 1 (2 k + 1) + 2 (2 k + 1) +1 2k k+ 11k(2k

5、 + 1) = 4k (k 1)( k + 1) + (2 k+ 1) = -k(k +1) : k(k 1) + 2(2 k+ 1)1212=-k(k+ 1)( k2+ 3k + 2) =-(k+ 1)2k(k+ 2),44即n = k+ 1時，等式成立，根據(jù)與可知等式對n N*都成立.9.求證：an+2 + (a+ 1)2n+1 能被 a2+ a+ 1 整除，n N. 證明：當(dāng)n= 1時，33222a + (a+1) = a+ (a+ 1) a - a(a+ 1) + (a+ 1) = (2a+ 1)( a + a+1). 結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n= k時，結(jié)論成立， 即 ak+2 + (a+

6、1)2k+1 能被 a2+ a+ 1 整除,那么n= k+ 1時，(k+ 1) + 22(k + 1) + 1k +22有 a + (a+ 1)= a a + (a+ 1) (a+ 1)k + 22k+122k + 12k+1=a a + (a+1) + (a+ 1) (a+ 1) a(a+ 1)k + 22k+122k+1=a a + (a+1) + (a + a+ 1)( a+ 1).因為 ak+ 2+ (a+ 1)2k+1, a2 + a+ 1 均能被 a2 + a+ 1 整除, 所以 a(k+1)+2+ (a+ 1)2(k+1) +1 能被 a2 + a+ 1 整除，即當(dāng)n= k+ 1時，結(jié)論也成立.由可知，原結(jié)論成立.n個圓10.有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證這 將平面分成f(n) = n2 n+ 2個局部(n N).證明：當(dāng)n= 1時，一個圓將平面分成兩個局部，且f(1) = 1 1 + 2 = 2,所以n= 1時命題成立.假設(shè)n= k( k 1)時命題成立. 即k個圓把平面分成f (k) = k2 k+ 2個局部.那么n= k+ 1時，在k + 1個圓中任取一個圓 0,剩下的k個圓將平面分成f (k)個局部, 而圓0與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓0分成2k段弧，每