大數(shù)定律和中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律和中心極限定理一、內容提要(一) 切貝謝夫不等式1. 切貝謝夫不等式的內容設隨機變量X具有有限的數(shù)學期望E (X)和方差D( X),則對任何正數(shù),下列不等式成立。D X2D X22. 切貝謝夫不等式的意義(1) 只要知道隨機變量 X的數(shù)學期望和方差(不須知道分布律) ，利用切貝謝夫不等式，就能 夠對事件 X E X的概率做出估計，這是它的最大優(yōu)點， 今后在理論推導及實際應用中都常 用到切貝謝夫不等式。(2) 不足之處為要計算 P X E X的值時，切貝謝夫不等式就無能為力，只有知道分 布密度或分布函數(shù)才能解決。另外，利用本不等式估值時精確性也不夠。(3) 當X的方差DX)越小時

2、，P X E X的值也越小，表明 X與E(X)有較大“偏差”的可能性也較小，顯示出 D(X)確是刻畫X與日X)偏差程度的一個量。(二) 依概率收斂如果對于任何0,事件 Xn a 的概率當ms時，趨于1,即lim P Xn a 1,n則稱隨機變量序列 X,X2,Xn,當nis時依概率收斂于a。(三) 大數(shù)定律1. 大數(shù)定律的內容(1) 大數(shù)定律的一般提法1,a n,，對任意 0,恒有若X1,X2,，,是隨機變量序列，如果存在一個常數(shù)序列alim PnnXiani 1則稱序列凡服從大數(shù)定律(或大數(shù)法則)(2) 切貝謝夫大數(shù)定律設隨機變量 Xi, X2,，Xn,相互獨立，分別有數(shù)學期望E(X)和方差

3、D(X)，且它們的方差有公共上界C,即D XiC, i1,2,n,則對于任意的 0，恒有l(wèi)im PnXi -nnE Xii 11。(3) 辛欽大數(shù)定律設X1,X2,，,是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學期望存在:E Xi a,i 1,2,Xi1。則對于任意的 0，有l(wèi)im Pn(4) 貝努里大數(shù)定律設nA是n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的 0,恒有l(wèi)im PnnA2. 大數(shù)定律的意義(1)大數(shù)定律從理論上證明了“頻率的穩(wěn)定性”，對概率論的建立起了奠基作用。(2)切貝謝夫大數(shù)定律說明經(jīng)驗平均值接近于理論平均值；辛欽大數(shù)定律說明隨機變量的平均值接近于

4、數(shù)學期望，這是測量中取平均值的理論依據(jù)；貝努里大數(shù)定律說明了頻率具有穩(wěn)定性，即頻率收斂于概率，這是用頻率 fn(A)來估計概率P的理論依據(jù)。(3)把獨立隨機變量和的平均作為大數(shù)定律的研究對象在理論上的應用上都是重要的。(四)中心極限定理1.中心極限定理的內容(1)獨立同分布中心極限定理設隨機變量 Xi,X2,，,相互獨立，服從同一分布，且具有有限的數(shù)學期望和方差:口 , D(XK)= /工0,( K=1,2,n,)，則隨機變量非)=YnnXk nK 1n的分布函數(shù)Fn(X)，對于任意的X，滿足lim Fn xnlim PnXk nK 1、n(2)德莫佛一拉普拉斯中心極限定理設隨機變量n n 1

5、,2, 具有參數(shù)為n, P(01)的二項分布，則對于任意區(qū)間(a,b,恒lim Pnnp；np 1 pb 1 6i_e 2a . 2 。2.中心極限定理的意義(1)中心極限定理從理論上證明了“許多類型”的隨機變量，它們的極限分布服從正態(tài)分布,這既肯定了正態(tài)分布在概率論中處于主導地位，又給概率計算提供了強有力有手段。(2) 中心極限定理是把獨立隨機變量的和作為研究對象。(3) 應用中心極限定理前的準備步驟n(a) 把問題歸結為獨立隨機變量的和X Xk 。K 1 nn(b) 把和“中心化” :XK E XK .K 1K 1nnXk E Xk(c)把和再“標準化”K 1K 1J DXk對于獨立同分布

6、中心極限定理標準化后是nXk nK 1n對于德莫佛一拉普拉斯中心極限定理標準化后是n npnp1 p(4)由獨立同分布中心極限定理知:若Xi,X2,，人,獨立同分布，則nis時，隨機變量X=Xn+ X + Xn=Xi漸近地服從正態(tài)分布i 1X E XNE(X), QX)= Nnu , n /),或Jd x近地服從標準正態(tài)分布N( 0, 1 )。由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理知，若隨機變量XB( n, p)，則當n充分大時，X_np就近Jn pq似服從標準正態(tài)分布N (0,1 )。記為X叫npq0,1從而得當n較大時，二項分布的近似計算公式Pa X b Panp,npqX npb np、npqn

7、pqb npa npnpq二、要1.掌握切貝謝夫不等式，會用切貝謝夫不等式估計2. 了解大數(shù)定理的內容和意義。3. 掌握中心極限定理的內容，會做一些簡單應用題。三、例題分析例1在每次試驗中，事件 A發(fā)生的概率為，利用切貝謝夫不等式估計在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)在400600之間的概率。分析 利用切貝謝夫不等式估計某事件的概率，需作如下準備：(1)恰當?shù)剡x擇隨機變量 X; ( 2)求出E(X), D(X) ; (3)依題意確定&。在此基礎上可利用切貝謝夫不等式進行估計。解 設X表示在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則XB( 1000,),且E( X) =n p=500, D

8、(X)= npq=250.于是P 400X 600P100 X 500100PX 100100,在切貝謝夫不等式中，取=100，則有P 400X 600PX E X100D X 250391T 110021000040即在1000次獨立試驗中，事件 A發(fā)生的次數(shù)在400600之間的概率在以上。40例2利用切貝謝夫不等式估計隨機變量與其數(shù)學期望差的絕對值大于三倍均方差的概率。分析 依題意，要估計 P X E X 3jD X 只需在切貝謝夫不等式中取 D X即可。解 設隨機變量X的期望為E(X，方差為QX),在切貝謝夫不等式中，取3_ D X，則有D X19D X9評注 由例1、例2可以看出：利用

9、切貝謝夫不等式可以對隨機變量的分布做出估計，即對于任意的可以估計出P X E X ,P X E X。當然這種估計還是非常粗略的， 如X2N(口 , b ),則P X30.3%。而利用切貝謝夫不等式進行估計，則P X3切貝謝夫不等式更重要的價值在于對理論研究的貢獻，大數(shù)定律的理論證明是其中之一。.K例3設X為連續(xù)型隨機變量，p(x)為分布密度，如果 E|X| (K為正整數(shù))存在，則對于任意的 0,有EX證明p x dxxxKxp x dxx|Kx p x dx1kx p x dx1k說明 切貝謝夫不等式的證明方法是很有特色的,同樣在本題的證明過程中兩次加強了不等式,K.x其一是利用在積分區(qū)間 x

10、 上，一丁 1。其二是利用被積函數(shù)非負擴大積分區(qū)間(由部分區(qū)間擴大到整個數(shù)軸上)。例4計算機進行加法計算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計算。設所有的“加數(shù)”取整數(shù)的誤差是相互獨立的隨機變量且都在-,上均勻分布。若將 1200個數(shù)相加，求誤差總和的絕對值小于15的概率。分析以隨機變量 X表示誤差總和，Xk表示各個加數(shù)取整數(shù)的誤差(K=1,2,1200 )，則1200X Xk。由于X1,X2,X1200相互獨立且服從同一分布，由中心極限定理得X近似地服從正態(tài)分K 1布，從而可計算出 P X 15。解 以隨機變量X表示誤差總和，X 0，使 P 一0.99.6000 61解 以隨機變量X表示600

11、0粒種子中的良種粒數(shù)，則 X B 6000, 。由德莫佛一拉普拉斯6定理知X 1000近似地服從N 0,1.1000 5設以的概率推斷，良種所占的比例與 1的差為。即60.99,X6000X 1000600010001000 5207.85207.85207.85所以 2207.850.99,207.850.995 ,查正態(tài)分布表，得 =, =,并由X60000.01240.99,p925 X10750.99。X1PX 10006000660001即以的概率推斷，在6000粒種子中良種所占的比例與一差是，這時，相應地良種數(shù)在 925粒到10756粒之間。例6某單位200架電話分機，每架分機有5

12、%的時間要使用外線通話，假定每架分機是否使用90%的概率保證分機使用外線時不等待。夕卜線是相互獨立的，問該單位要安裝多少條外線，才能以解 以隨機變量X表示使用外線的分機數(shù)，則XB( 200,),設需要設置n條外線，滿足由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理知X_n P X 10近似地服從N 0, npq 、9.5所以 P X nPX 109.5n 10n 109.5要使0.9 ,即使n 109.50.9,查正態(tài)分布表得n 109.51.3,n 14.即設置14條外線就可滿足要求。評注由例4例6可以看出:若隨機變量X(i =1,2,nn)獨立同分布，則當n較大時， X Xi就近似服從i 1nN E Xi

13、i 1nD Xii 1nXi ，或丄nE Xi一就近似地服從N( 0,1 )。由此，可對有關X的事件nD Xii 1作近似計算。(2)若XB ( n, p),當n較大時，由德莫佛一拉普拉斯定理知生旦就近似地服從N (0,1 )。Jnpq由此，得下列近似公式b npnpq例7某電教中心有100臺彩電，各臺彩電發(fā)生故障的概率都是，各臺彩電的工作是相互獨立1的概率。的，試分別用二項分布，泊松分布，中心極限定理，計算彩電出故障的臺數(shù)不小于解 設彩電故障的臺數(shù)為 X,則XB( 100,)。(1)用二項分布直接計算P X 11 P X 11 P X 00 0 1001 C100 0.020.9810.98

14、 1000.8674.(2)用泊松分布作近似計算n 100, p 0.02,np 2,2002ke22ke 2(3)用中心極限定理計算k!k!0.8674.a. d N 0,1,1.4一 npq0 21.41.41.41.41.40.71431.4286叩 2, . npq 2 0.981.4,X np0.8356.四、習題1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞平均為7300,均方差為700,利用切貝謝夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在52009400之間的概率。2. 利用切貝謝夫不等式確定當擲一枚均勻硬幣時，需擲多少次能保證使得正面出現(xiàn)頻率在之間的概率不小于。3. (1) 一復雜的系統(tǒng)，由

15、100個相互獨立起作用的部件所組成，在整個運行期間每個部件損壞的概率為，為了使整個系統(tǒng)起作用，至少有85個部件工作，求整個系統(tǒng)工作的概率。(2) 一復雜的系統(tǒng)，由n個相互獨立起作用的部件所組成，每個部件的可靠性(即部件工作的概率)為，且必須有80%勺部件工作時才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為。=1的泊松分布，試4. 設Xi (i =1,2,100 )是相互獨立的隨機變量，且它們都服從參數(shù)為入 計算looPXi120i 115. 一大批種子中良種占 一，利用下列兩種方法，估計在任意選出的6000粒種子中良種所占的61比例與丄比較上下不超過1%勺概率。(1)切貝謝夫不等式；(

16、2)中心極限定理。66. 某車間有200臺車床，每臺車床由于各種原因常常要停車， 假定各車床的停車或開車是相互獨立的。若每臺車床的開工率為，開工時，需要消耗的電能為E,問發(fā)電廠至少要供給這個車間多少電能，才能以 勺概率保證這個車間不致因供電不足而影響生產。3 17. 設甲地到乙地之間有兩種交通工具，汽車和輪船，每位旅客以-的概率選擇乘汽車，-的4 4概率選擇乘輪船。 假設有800位旅客同時由甲地出發(fā)至乙地，若要求在100次中有98次有足夠的座位，問這兩種交通工具各應設多少座位。8. 在人壽保險公司里有 10000個同一年齡的人參加人壽保險，在一年里這些人死亡率為，參加保險的人在一年的頭一天交付

17、保險費10元，死亡時，家屬可以從保險公司領取2000元的撫恤金。(1 )求保險公司一年中獲利不小于40000元的概率；(2)保險公司虧本的概率。五、習題答案與提示1.解 以隨機變量X表示每毫升含的白細胞數(shù)，由題意E(Xf7300, QX)=700 2.P 5200 X 9400P 2100 X 73002100P X E X 21002.解設需要投擲n次，以隨機變量D X22100700222100X表示n次投擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)，由題意得X B nJ,EX , D X ,224100100100P 0.40.6 P 0.4n X 0.6nP X EX0.1n 1D X0.1nn1丄0.01 n21004nX要使p 0.40.60.9 ,n只需1 I000.9，解得n250.4n3. (1)以隨機變量X表示100個部件中正常工作的部件數(shù)，則XB( 100,)。X 100