極坐標(biāo)與參數(shù)方程教案

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程【教學(xué)目標(biāo)】1 、知識(shí)目標(biāo)： 1掌握極坐標(biāo)的意義，會(huì)把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化一般方程2掌握參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化2 、能力目標(biāo)：通過(guò)對(duì)公式的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，多方面考慮事 物，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和思維嚴(yán)謹(jǐn)性3 、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合是思想方法【教學(xué)重點(diǎn)】1 、極坐標(biāo)的與一般坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化2 、參數(shù)方程和一般方程的轉(zhuǎn)化3 、幾何證明的整體思路【教學(xué)難點(diǎn)】極坐標(biāo)意義和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化【考點(diǎn)分析】坐標(biāo)系與參數(shù)方程和幾何證明在廣東高考中為二者選一考，一般是 5 分的比較容易的 題，知識(shí)相比照擬獨(dú)立，與其他章節(jié)聯(lián)系不大，容易拿分根據(jù)不同的幾何問(wèn)題可以建立不 同的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系

2、選取的恰當(dāng)與否關(guān)系著解決平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)和線的方程的難易以及它 們位置關(guān)系的數(shù)據(jù)確立有些問(wèn)題用極坐標(biāo)系解答比較簡(jiǎn)單，而有些問(wèn)題如果我們引入一個(gè) 參數(shù)就可以使問(wèn)題容易入手解答，計(jì)算簡(jiǎn)便高考出現(xiàn)的題目往往是求曲線的極坐標(biāo)方程、 參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程間的相互轉(zhuǎn)化，并用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程 研究有關(guān)的距離問(wèn)題，交點(diǎn)問(wèn)題和位置關(guān)系的判定【根本要點(diǎn)】一、極坐標(biāo)和參數(shù)方程：1.極坐標(biāo)系的概念： 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做 極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做 極軸； 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè) 極坐標(biāo)系 2.點(diǎn)M的極坐標(biāo)：

3、設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn) M的距離以極軸O x為始邊，射線0M為終邊的/ XOM叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(,).極坐標(biāo)(，)與(標(biāo)為(0, )( R).OM叫做點(diǎn)M的極徑，記為M的極角，記為.有序數(shù)對(duì)()叫做點(diǎn)2k )(k Z)表示同一個(gè)點(diǎn)極點(diǎn) 0的坐2 2 2x y , x cos ,3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化:yy sin , tan (x 0) x4圓的極坐標(biāo)方程：在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是r;在極坐標(biāo)系中，以C(a,0)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2acos ;在極坐標(biāo)系中，以C(a, ) (a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2asi

4、n ;25.參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)x f(t),并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲y g(t),線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.222x a rcos ,、丿亠6.圓(x a)2 (y b)2r2的參數(shù)方程可表示為(為參數(shù))y b rsin .橢圓2 x 2 a2與 1 (ab0)的參數(shù)方程可表示為b2acos , bsin .為參數(shù))拋物線y2 2px的參數(shù)方程可表示為:2孰為參

5、數(shù)).經(jīng)過(guò)點(diǎn)MO(xo,yo),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為X。y yotcos ,(t為參tsin .數(shù)).【典型例題】題型一：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化和應(yīng)用2例1、(1)點(diǎn)M的極坐標(biāo)(5,)化為直角坐標(biāo)為()B3A.(5,穿)55.3./ 5 5一3、,5 5一3、B .(亍-)C.(,)D .(, )2 2222 22 2(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(3, 1)化為極坐標(biāo)為()BA.(2,5 ) B .(2,7 ) C.(2,丄)D . (2,)6666評(píng)注：極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，注意角度的范圍.變式1: (1 )點(diǎn)2,2的極坐標(biāo)為 .(2)在極坐標(biāo)系中，圓心在 A(1)，半徑為1的圓的

6、極坐標(biāo)方程是，4評(píng)注：注意曲線極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化之間的聯(lián)系.例2、(1)曲線的極坐標(biāo)方程4sin化成直角坐標(biāo)方程為()2 2 2 2 2 2+(y+2) =4+(y-2)=4C.(x-2) +y =4D.(x+2) +y =4【解析】將 P = x2y2 , sin 0 =丁22 代入 P =4sin B,得 x2+y2=4y,*x y即 x2+(y-2) 2=4. 應(yīng)選 B.把OO 1和OO 2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;求經(jīng)過(guò)OO 1,00 2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程【解析】原極坐標(biāo)方程化為1p= (cos 0 +sin 0 2-2 2 = p cos 0 + p sin 0,【解析

7、】以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 X軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位( 1) x=cos ,y=sin ,由=4cos,得 2=4 cos .2 2所以x +y =4x.即22.22x +y -4x=0為OO 1的直角坐標(biāo)方程.同理x +y +4y=0為OO2的直角坐標(biāo)方程2 2(2)由 x y x2 y24x 0,解得4y 0,X10 或 X22Y10,y22.即OO1, OO2交于點(diǎn)(0,0)和(2, -2)過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x.變式1:極坐標(biāo)p =cos(4)表示的曲線是()A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.圓普通方程為2 (x 2+y2)=x+y，表示圓.應(yīng)

8、選D.變式2:在極坐標(biāo)系中與圓4sin相切的一條直線的方程為(A.cos2Bsin2C.4s in(-)3D4s in(【解析】A4si n的普通方程為x2x2 (y2)24與直線x2顯然相切.2(y 2)4 , cos2的普通方程為x 2圓5例3、在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P (5,), Q(1, )，求線段PQ的長(zhǎng)度;44n變式1、在極坐標(biāo)系中，直線psi n( 0 +)=2被圓p =4截得的弦長(zhǎng)為4變式2、在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)1,0至U直線 cos sin 2的距離為.例4、極坐標(biāo)方程分別為2 cos和 sin 的兩個(gè)圓的圓心距為 ；變式1、把極坐標(biāo)方程cos(-) 1化為直角坐標(biāo)方程是6變式2、在

9、極坐標(biāo)系中，圓心在(J2,)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為.變式3、在極坐標(biāo)系中，假設(shè)過(guò)點(diǎn) A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線4cos于A B兩點(diǎn)，那么 | AB |.題型二：參數(shù)方程的互化和應(yīng)用x 1 2t例1、假設(shè)直線(t為參數(shù))與直線4x ky 1垂直，那么常數(shù)k =.y 2 3tx 1 t變式1、設(shè)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線12的方程為y=3x+4那么l1與l2的y 1 3t距離為x 1 3t變式2、直線h :(t為參數(shù))與直線l2: 2x 4y 5相交于點(diǎn)B ,又點(diǎn)A(1,2),y 2 4tABx變式3、直線y2 1t1t2t為參數(shù)被圓4截得的弦長(zhǎng)為例2、經(jīng)過(guò)曲線C：3 3cos

10、 ,為參數(shù)的中心作直線i：3si n3tt為參數(shù)的垂3t線，求中心到垂足的距離.【解析】由曲線C的參數(shù)方程3 3cos ,3si n消去參數(shù)2 2得x-3+y=9.曲線C表示以3, 0為圓心，3為半徑的圓由直線I的參數(shù)方程x 3t，消去參數(shù)t,得yx.y ,3t3表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為30的直線.如圖，在直角三角形 OCD中，OC=3 / COD=30 ,所以CD=|，所以中心到垂足的距離為3.變式1、將參數(shù)方程2 sin2sin2為參數(shù)化為普通方程為A. y x 2 b . y x 2 cy x 2(2x 3) d . yx 2(0 y 1)變式2、卜列在曲線xsi n2為參數(shù)上的點(diǎn)是yco

11、ssinA. J,2) B .(3J$ C.(2, .l) D . (1,3242變式3、xsiinc(dsP是曲線0, 2 是參數(shù)上一點(diǎn)，P到點(diǎn)Q0, 2距離y1si n2的最小值是y o ca選講變式4、點(diǎn)P x,y 在曲線為參數(shù)上，那么I的取值范圍y sinx為x e e例4、參數(shù)方程t為參數(shù)的普通方程為 y 2et et變式1、參數(shù)方程t為參數(shù)的普通方程為2-2得，x2-y2=4,方程表示雙曲線x【解析】由y題型三：參數(shù)方程與圓錐曲線例1、參數(shù)方程x 4sin 為參數(shù)的普通方程為 x 4 si n【解析】sinx,得y 5 coscos5例2、選講在平面直角坐標(biāo)系y 5cos2盤=1表

12、示橢圓2+:得鼻162xOy中，設(shè)Px,y是橢圓+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 S=x+y 3的最大值.【解析】2由橢圓+y2=1的參數(shù)方程為3x3 cosy sin為參數(shù),因此，S=x+y= . 3 cos +sin=2 .31cossin =2sin (+)223所以當(dāng)=時(shí)，S取得最大值62.變式1: 2x2+3y2-6x=0(x,y R,那么x2+y2的最大值為【解析】9題型四：綜合運(yùn)用/、x 1 2cos(R)，它與曲線4y 2 2sin例1、以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。直線的極坐標(biāo)方程為 為參數(shù)相交于兩點(diǎn) A和B,那么|AB|=x例2、

13、在直角坐標(biāo)系中，曲線 C1的參數(shù)方程為ycossin0,，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2在極坐標(biāo)系中的方程為sin假設(shè)曲線C1與C2有兩個(gè)cos不同的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù) b的取值范圍是例3、在極坐標(biāo)系下，圓Ocos sin和直線I :sin(1)求圓o和直線l的直角坐標(biāo)方程;0,時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).曲線C1 :x 4 cost,厶“(t為參數(shù))，C 2 :y 3 sint.8cos ,3sin ,為參數(shù)。1化C, , C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;(2) 假設(shè)C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t - , Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線2xC3：3 2

14、tt為參數(shù)距離的取小值。y2 t【穩(wěn)固練習(xí)】x 2 cos1 直線：3x-4y-9=0與圓：，0為參數(shù)的位置關(guān)系是y 2 si nA.相切B.相離C.直線過(guò)圓心D.相交但直線不過(guò)圓心x 3t22 曲線的參數(shù)方程為x 3ty t22t是參數(shù)，那么曲線是1)A、線段B、雙曲線的一支C、圓D、射線3、點(diǎn)2，2的極坐標(biāo)為4、直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 1， 1，傾斜角 =，直線I的參數(shù)方程為 65、極坐標(biāo)系中，圓=10cos 的圓心坐標(biāo)為36、點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為1,- .3,那么點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 7、假設(shè) A3，3，B4,石，那么|AB|=，SAOB -其中 0是極點(diǎn)8、極點(diǎn)到直線cos sinJ3的距離是9. 20

15、21廣東文兩曲線參數(shù)方程分別為x J5COS 0y sin5 + 2x _ t 0,0 Wn2那么曲線g與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為x 2t3、直線I的參數(shù)方程：t為參數(shù)，圓C的極坐標(biāo)方程：2、2sin一y 1 4t4試判斷直線I與圓c的位置關(guān)系.AB的長(zhǎng).x 1 t厶7、求直線 帚_ t為參數(shù)和直線l2：x y 2 3 0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，及點(diǎn)P與y 5 3tQ1, 5的距離?！就卣咕毩?xí)】1、 2021廈門英才學(xué)校極坐標(biāo)與參數(shù)方程求極坐標(biāo)系中，圓2上的點(diǎn)到直線cos - 3 sin6的距離的最小值.2、2021通州第四次調(diào)研 求經(jīng)過(guò)極點(diǎn)00,0, A6,B6.2,9 三點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程243、 2021廈門十中極坐標(biāo)與參數(shù)方程圓C的參數(shù)方程為x 1