高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性(工科類)

1、一、格林公式 二、曲線積分與路線的 無關(guān)性 在計(jì)算定積分時(shí), 牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點(diǎn)上的原函數(shù)值之間的聯(lián)系; 本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性數(shù)學(xué)分析 第二十一章重積分*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容設(shè)區(qū)域 D 的邊界 L 是由一條或幾條光滑曲線所 組成.規(guī)定為:時(shí), 區(qū)域 D 總在它的左邊, 如圖 21-12 所示. 2112 圖圖LD.L為負(fù)方向,記為3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 格林公式邊界曲線的正方向當(dāng)人沿邊界行走與上述規(guī)定的方向相反的方向稱 定理

2、20.1若函數(shù) ( ,),( ,)P x yQ x y在閉區(qū)域 D 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有ddd ,LDQPP xQ yxy (1)這里 L 為區(qū)域 D 的邊界曲線, 并取正方向. 公式(1)稱為格林公式. 證 根據(jù)區(qū)域 D 的不同形狀, 這里對(duì)以下三種情形 (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型區(qū)域(圖21-13), 作出證明:3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 12( )( ),xyxaxb 又可表為 12( )( ),.yxyy1( )yx 2( )yx 這里和分 CAE分別是曲線 和 CBE的方程. ACBAEB別為曲線 和 的方程,Ox1( )x

3、AbEaBC2( )x yD圖 21-133格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 則 D 可表為1( )xy 2( )xy 和 則而 dDQx 21( ),)d( ),)dQyyyQyyy( ,)d( ,)dCBECAEQ x yyQ x yy( ,)d( ,)dCBEEACQ x yyQ x yy( ,)d .LQ x yy3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 于是,21( )( )ddyyQyxxd( ,)d .LDPP x yxy 將上述兩個(gè)結(jié)果相加即得ddd .LDQPP xQ yxy (ii) 若區(qū)域 D 是由一條 按段光滑的閉曲線圍

4、成,且可用幾段光滑曲線將D 分成有限個(gè)既是 x 型 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 同理又可證得 又是 y 型的子區(qū)域 , 格林公式, 然后相加即可. 則可逐塊按 (i) 得到它們的如圖21-14 所示的區(qū)域 D, 是 y 型的區(qū)域123,.DDDdDQPxy 123dddDDDQPQPQPxyxyxy 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 于是 可將它分成三個(gè)既是 x型又 21 14圖圖 3L1D2L1L3D2D123ddddddLLLP xQ yP xQ yP xQ ydd .LP xQ y(iii) 若區(qū)域 D 由幾條閉曲線 所圍

5、成, 如圖21-15 所示. 把區(qū)域化為 (ii) 的情形來處 2115 圖圖1LD3L2LCABEFG時(shí)可適當(dāng)添加線段 ,AB CE理. 后, D 的邊界則由 23,AB L BA AFC CE L ECCE3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 這 在圖21-15中添加了,AB及 構(gòu)成. 由(ii)知 CGAdDQPxy 23( dd )ABLBAAFCCELECCGAP xQ y 231( dd )LLLP xQ ydd .LP xQ y注1 并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個(gè)既是 xy型又是 型區(qū)域的并集, 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路

6、線的無關(guān)性 31sin,(0,1;1;0;1yxxyxxx 所圍成的區(qū)域便是如此. 例如由注2 為便于記憶, 格林公式 (1) 也可寫成下述形式: ddd .LDxyPQP xQ y 注3 應(yīng)用格林公式可以簡化某些曲線積分的計(jì)算. 請(qǐng)看以下二例: 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 第一象限部分 (圖21-16). 解 對(duì)半徑為 r 的四分之一圓域 D, 應(yīng)用格林公式: ddLDx y ddd .OAABBOx yx yx y由于d0,d0,OABOx yx y ddABDx y 例1 計(jì)算d ,ABx y其中曲線 是半徑為 r 的圓在 ABOx2116 圖圖BLA

7、Dy3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 因此21.4r 例2 計(jì)算22dd,Lx yy xIxy其中 L 為任一不包含原 點(diǎn)的閉區(qū)域 D 的邊界線.解 因?yàn)?222222,()xyxxxyxy 2222222,()yyxyxyxy 于是，由格林公式 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 2222=d0,Dxyxxyyxy 22ddLx yy xxy在格林公式中, 令,Py Qx 則得到一個(gè)計(jì)算平 面區(qū)域 D 的面積 SD 的公式: 1ddd .2DLDSx yy x (2)3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 例3

8、 計(jì)算拋物線 2()(0)xyax a與 x 軸所圍圖 形的面積 (圖21-17). 解 曲線AMO由函數(shù) ,0, yaxx xa表示, ONA0,y 為直線 于是 1dd2DSx yy xx2117 圖圖O( ,0)A aNMy11dddd22ONAAMOx yy xx yy x3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 1dd2AMOx yy x011() d22aaxaxxxax020111dd.2246aaaaxxx xa3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 在第二十章2 中計(jì)算第二型曲線積分的開始兩個(gè) 例子中, B 為終點(diǎn)的曲線積分, 若

9、所沿的路線不同, 則其積分 值也不同, 點(diǎn)有關(guān), 與路線的選取無關(guān). 什么條件下, 它的值與所沿路線的選取無關(guān). 首先介紹單連通區(qū)域的概念. 若對(duì)于平面區(qū)域 D 內(nèi)任一封閉曲線, 皆可不經(jīng)過 D 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 曲線積分與路線的無關(guān)性讀者可能已經(jīng)注意到, 在例1中, 以 A 為起點(diǎn) 但在例2 中的曲線積分值只與起點(diǎn)和終 本段將討論曲線積分在 以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于 D 的某一點(diǎn), 面區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域; 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.2118 圖圖1D4D3D2D1D2D3D4D在圖 21-18 中, 與是單連通區(qū)域, 而與 則 是復(fù)連通區(qū)域. 一封閉曲線

10、所圍成的區(qū)域只含有 D 中的點(diǎn). 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 則稱此平單連通區(qū)域也可以這樣敘述: D 內(nèi)任 定理21.12更通俗地說, 單連通區(qū)域就是沒有“洞”的區(qū)域, 復(fù)連 通區(qū)域則是有“洞”的區(qū)域. 設(shè) D 是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù) ( ,),P x y( ,)Q x y 在 D 內(nèi)連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 下四個(gè)條件等價(jià): (i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有dd0;LP xQ y(ii) 對(duì) D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 ddLP xQ y則以 與路線無關(guān),

11、只與 L 的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān); 定理21.12ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y (iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .PQyx 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 ddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y所以 dddd .ARBASBP xQ yP xQ y3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 ddddARBASBP xQ yP xQ y2119 圖圖BARS(i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有 dd0;LP xQ

12、y(ii) 對(duì) D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無關(guān), 只與 L 的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān);ARBASB證 (i)(ii) 如圖 21-19, 設(shè) 與 為聯(lián)結(jié)點(diǎn) A, B 的任意兩條按段光滑曲線, 由 (i) 可推得 D 內(nèi)任意一點(diǎn). ddABP xQ y故當(dāng) ( , )B x y在 D 內(nèi)變動(dòng)時(shí), 其 積分值是 ( , )B x y的函數(shù), ( , )dd .ABu x yP xQ y取x 充分小, 使 (,),C xx yD 則函數(shù) ( ,)u x y對(duì)于 x 的偏增量(圖21-20) 00(,)A xy( , )B x y(ii)(iii) 設(shè) 為 D 內(nèi)某一定點(diǎn)

13、, 為 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 與路線的選擇無關(guān), 由 (ii), 曲線積分即有Ox2120 圖圖B0 xADCxxx 0yyy(,)( ,)xuu xx yu x y dddd .ACABP xQ yP xQ y因?yàn)樵?D 內(nèi)曲線積分與路線無關(guān), ddACP xQ y因直線段 BC 平行于 x 軸, 故 d0,y 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 dddd .ABBCP xQ yP xQ yOx2120 圖圖B0 xADCxxx 0yyy(ii) 對(duì) D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無關(guān),

14、只與 L 的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān);ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y從而由積分中值定理可得 00limlim(,)( ,).xxxuuP xx yP x yxx 同理可證( ,).uQ x yy 所以證得 ddd .uP xQ y 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 ddxBCuP xQ y( ,)d(,),xxxP t ytP xx yx 01. 其中 ( ,)P x y根據(jù) 在 D 上連續(xù), 于是有 (ii) 對(duì) D 中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分 ddLP xQ y與路線無關(guān),

15、 只與 L 的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān);ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y( ,),u x y(iii)(iv) 設(shè)存在函數(shù)使得ddd ,uP xQ y 因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y 于是由 ( , ),( , ),xyyxPQux yux yyx以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 便可知道在 D 內(nèi)每 一點(diǎn)處都有 ( , )( , ),xyyxux yux y 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 ddP xQ y ( ,)u x y(

16、iii) 是 D 內(nèi)某一函數(shù) 的全微分, 即在 D 內(nèi)有 ddd ;uP xQ y(iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .PQyx .PQyx 即即(iv)(i) 設(shè) L 為 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線, 所圍的區(qū)域?yàn)? 含在 D 內(nèi). 的條件, 就得到 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 由于 D 為單連通區(qū)域, 所以區(qū)域 ddd0.LQPP xQ yxy 上面我們將四個(gè)條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍, 這就證明了 它們是相互等價(jià)的.記 LPQyx 應(yīng)用格林公式及在 D 內(nèi)恒有 (i) 沿 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有 dd0;LP xQ y(iv) 在 D 內(nèi)處處成立 .P

17、Qyx 應(yīng)用定理21.12 中的條件(iv)考察第二十章2 中的 在例1中( ,),( ,).P x yxy Q x yyx由于,1,PQPQxyxyx 故積分與路線有關(guān). 在例2 中( ,),( ,),P x yy Q x yx 由于 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 例1 與例2. 1,PQyx所以積分與路線無關(guān).例4 計(jì)算 22(0.5)d(0.5)d,(0.5)Lxyxxyyxy其中 到點(diǎn) D(0,1) 的路徑(見圖21-21). 分析 如果第二型曲線積分路徑無關(guān)的條件,L 為沿著右半圓周221(0)xyx由點(diǎn) A(0, -1) 3格林公式曲線積分與路線的

18、無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 圖 21-21xyO(0, 1)A(1, 1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足與積分路徑, 使易于計(jì)算. 則可改變記 220.5( , ),(0.5)xyP x yxy 2222 2(0.5)2 (0.5). (0.5)QPxyy xxyxy 220.5( , ).(0.5)xyQ x yxy 易知除去點(diǎn) E(0.5, 0) 外, 處處滿足 1L(0, 1)A (1, 1),B (1,1),C設(shè) 為由點(diǎn) 到點(diǎn) 再到點(diǎn) 最 圖 21-21xyO(0, 1)A(1, 1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E3格林公式曲線積分與路

19、線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 解 (0,1)D的折線段. 后到點(diǎn) 1LL因因?yàn)闉榕c與可被包含在某 一不含奇點(diǎn) E 的單連通區(qū)域內(nèi), 所以有22(0.5)d(0.5)d(0.5)Lxyxxyyxy1( , )d( , )dLP x yxQ x yy( , )d( , )dABBCCDP x yxQ x yy1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 4arctan0.52arctan2. 注1 定理 21.12中對(duì)“單連通區(qū)域”的要求是重要的. 何不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域,

20、已證得在這個(gè)區(qū)域內(nèi) 的任何封閉曲線 L 上, 皆有 22dd0.Lx yy xxy (3)如本例若取沿 y 軸由點(diǎn) A 到點(diǎn) D 的路徑 , 雖 2L然算起來很簡單, 但卻不可用. 的單連通區(qū)域必定含有奇點(diǎn) E . 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 又如本節(jié)例 2, 對(duì)任 2LL與與因?yàn)槿魏伟?2222( ,),( ,)yxP x yQ x yxyxy 只在剔除原點(diǎn)外的任何區(qū)域 D 上有定義, 含在某個(gè)復(fù)連通區(qū)域內(nèi). 的條件, 因而就不能保證(3)式成立. 為繞原點(diǎn)一周的圓 :cos,sin(02),L xaya 則有 倘若 L 為繞原點(diǎn)一周的封閉曲線, 則函數(shù)

21、 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 這時(shí)它不滿足定理 21.12 22ddLx yy xxy所以 L 必 事實(shí)上, 若取 L 2222220cossindaaa 20d2 . 注2 若 ( ,),( ,)P x yQ x y滿足定理21.12 的條件, 則 由上述證明可看到二元函數(shù) ( ,)( ,)d( ,)dABu x yP x yxQ x yy00(,)(,)(,)d(,)dB xyA xyP x yxQ x yy具有性質(zhì)d ( ,)( ,)d( ,)d .u x yP x yxQ x yy 3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 我們也稱( ,)u x y為ddP xQ y 的一個(gè)原函數(shù). 例5 試應(yīng)用曲線積分求(2sin)d( cos )dxyxxyy 的原函數(shù). 解 這里( ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在整個(gè)平面上成立 cos.PQyyx由定理21.12, 曲線積分(2sin )d( cos )dABxyxxyy3格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性格林公