勾股定理一對(duì)一專題講義

1、知識(shí)點(diǎn)梳理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為d, b,斜邊為c,那么u2+b2=c2 2.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下：方法1 ： 4比+ S正方彫EFGH =正方丿伽CD 4 X“b + (b - ) = C-,化崗可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面 積.四個(gè)直角三角形的而積與小正方形而積的和為S = 4xab +

2、c2 =2ab + c2 2化簡(jiǎn)得證大正方形面積為S = (a + b)2 =a2 +2ab + b2所以/ +h2 =c2 方法二：形=(a + b) (a+b) S梯形=2S*e + Se = ?邁+ 于3-勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三 角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。4. 勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在AABC中，ZC = 90 ,貝 U c =+b , b = Jc： - u2 , a = yjc2 -b2 知道直角三角形一邊，可 得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問

3、題5. 勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)a, b, c滿足a2+b2=c2f那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊。 勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn) 化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2+b2與 較長(zhǎng)邊的平方疋作比較，若它們相等時(shí)，以d, b, c為三邊的三角形是直角三角形； 若a2 +b2 c2,時(shí)，以a , b, c為三邊的三角形是銳角三角形： 定理中a, b, c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊 長(zhǎng)a, b, c滿足a2+c2=b 那么以a, b, c為三邊的三角形是直

4、角三角形，但是b為 斜邊6. 勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a, b, c為正 整數(shù)時(shí)，稱J b9 (為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3.4.5; 6,&10; 5,12,13; 7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示“組勾股數(shù)：n2 l,2n,n2 +1 ( n2, n 為正整數(shù));2n + 92n2 +2n92n2 +2n + l ( n 為正整數(shù))m2 -n2.2mnjir +/r(m n, m 9川為正整數(shù))7勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線 c 段之間的關(guān)系的證明問題.在使

5、用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前 提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法 添加輔助線(通常作垂線)，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8. 勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三 角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考 的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用問 題 的 解 決常 見 圖 形：勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體.通 常既要通過逆定理判定

6、一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔10. 互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆 命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。勾股定理典型題歸類類型一：等面積法求高【例題】如圖，ZkABC 中.ZACB=90, AC=7, BC二24, CD丄AB 于 D。(1) 求AB的長(zhǎng)：(2) 求CD的長(zhǎng)。類型二：面積問題【例題】如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長(zhǎng)為7cm,則正方形A, B, C, D的面積之和為cm2o【練1】如上右圖，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正

7、方形，(1)求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng)。(2)求ZADC的廈數(shù)/、T、S/S/、/AD【練2】如圖，四邊形ABCD是正方形，AE丄BE,且AE=3, BE二4,陰影部分的面積是【練3】如圖字母B所代表的正方形的面積是類型三：距離最短問題【例題】 如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AX10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？【例題】如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處

8、，他想把 他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家他要完成這件事情所走的置短路程是多少？小河B小屋【練1】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,商AB為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā), 沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.【練2】如圖，邊長(zhǎng)為1的立方體中，一只螞蟻從A頂點(diǎn)出發(fā)沿著立方體的外表面爬到B 頂點(diǎn)的最短路程是（）A、3B、站 C、芒+ 1 D、1【練3】如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm,寬為10cm,為 為20cm,點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm, 只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方 體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的罠短距離是多少？類型四：判斷三角形的形狀【例題】如果 ABC的三邊分別為a

9、、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斯AABC的形狀?！揪?】已知ZABC的三邊分別為m2-n2, 2mn, m2+n2（m, n為正整數(shù)，且mn），判斷AABC是否為直角三角形.【練2】已知a, b, c為ZkABC三邊，且滿足（a2-b2） （a2+b2-c2） =0,則它的形狀為（）三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角【練3】三角形的三邊長(zhǎng)為（af “ +2ab ,則這個(gè)三角形是（）三角形（A）等邊（B）鈍角（C）直角（D）銳角類型五：直接考查勾股定理【例題】在RtAABC中，ZC=90已知 a=6,c=10,求 b; （2）已知 a=40, b=9

10、,求 c: （3）已知 c=25, b=15,求 a.【練習(xí)】：如圖乙由乙ACMQ ,血日3, CZR2, Q3,則AB的長(zhǎng)是多少？類型六：構(gòu)造應(yīng)用勾股定理【例題】如圖，已知：在AAFU中， = 60,= 血=30 求：的長(zhǎng).練：AABC 中，AB二AC二20, BC二32, D 是 BC 上一點(diǎn)，且 AD丄AC,求 BD 的長(zhǎng).【練習(xí)】四邊形ABCD中，ZB二90 , AB二3, BC二4, CD二12, AD=13t求四邊形ABCD的面積。類型七：利用勾股定理作長(zhǎng)為亦的線段 【例題】在數(shù)軸上表示屁的點(diǎn)。十二艮、OA B作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使0A=3,作AC丄0A且截取AC=1,

11、以0C為半徑, 以0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為應(yīng)。類型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。【練習(xí)1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,求它的面積。2、已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2,周長(zhǎng)是2+來,求這個(gè)三角形的面積.3、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng).能紐成直角三角形的是（）A、8, 15, 17 B、4, 5. 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40類型九：生活問題【例題】如下左圖，在高2米，坡角為30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需米.【練1】種感飲料的圓柱形杯（如上右因），測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5 cm,高為12 cm,吸

12、管放進(jìn)杯里，杯 口外面至少要露出4.6cm,問吸管要做 cmo【練2】如下左圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑在花園內(nèi)走出了一條“路 他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1m）,卻踩傷了花草?！揪?】如上右圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹鬲13米，另一棵樹離8米，一只小鳥從一棵樹 的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米.3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周國數(shù)十千米范國內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的硫壞力, 如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心靈大風(fēng)力為12級(jí), 每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米

13、/吋的速度沿北偏東309方向往 C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過四級(jí)，（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理由.（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？【練習(xí)1】如圖所示，折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm, BChOcm,求EF的 長(zhǎng)?！揪毩?xí)2】如圖，ZkABC中，ZC=90 , AB垂直平分線交BC于D若BC=8, AD=5, 求AC的長(zhǎng)。(3) 該城市哽到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？類型十：翻折問題【例題】如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC二6cm, BC=8cm,現(xiàn)將直角 邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊A

14、B上，且與AE重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？1 如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=4,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE,且【練習(xí)3】如圖，把矩形紙片曲UD沿防折疊，使點(diǎn)衣落在邊皿 上的點(diǎn)y處，點(diǎn)蟲落在點(diǎn)占處。(1) 求證：5rS = BF(2) 設(shè)AE = a, AB=b, BF = c .試猜想務(wù)匕之間的一種關(guān)系，并給予證明.5【練習(xí)4如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=2,折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合,折痕為DG,則AG的長(zhǎng)4如圖所示，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊點(diǎn)B落在E點(diǎn),AE交DC于F點(diǎn)，已知AB二8cm, BC=4cm. 則折査后重合部分的面積為5.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊是來，使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重合，若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為&寬AB為4,則 折疊后重合部分的面積是6如圖所示，在完全重合放置的兩張矩