第3章布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡

1、布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡第三章第三章 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡3.1 基本公式和法則基本公式和法則 3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡 3.3 卡諾圖化簡卡諾圖化簡 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡一、基本公式一、基本公式 邏輯常量運算公式邏輯常量運算公式 邏輯變量與常量的運算公式邏輯變量與常量的運算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律律重疊律重疊律 互補律互補律 還原律還原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A

2、 A = A 3.1 基本公式和規(guī)則基本公式和規(guī)則布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡二、基本定律二、基本定律 ( (一一) ) 與普通代數(shù)相似的定律與普通代數(shù)相似的定律 交換律交換律 A + B = B + A A B = B A結(jié)合律結(jié)合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代數(shù)沒有！普通代數(shù)沒有！ 利用真值表利用真值表 邏輯等式的邏輯等式的證明方法證明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡11111111110

3、0 例例1 1 證明等式證明等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展開用分配律展開 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1= 左式左式布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 ( (二二) ) 邏輯代數(shù)的特殊定理邏輯代數(shù)的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB

4、 = A A + AB = A (1 + B) = A 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B ( (二二) ) 邏輯代數(shù)的特殊定理邏輯代數(shù)的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A 推廣公式：推廣公式： 思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，則，則 B = C 嗎？嗎？ ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，則，則 B = C 嗎？嗎？ 推廣公式：推廣公式：摩根定律摩根定律 ( (又稱又稱反演律反演律) ) 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡三、重要規(guī)則三、重要

5、規(guī)則 ( (一一) ) 代入規(guī)則代入規(guī)則 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替B均用均用C代替代替利用代入規(guī)則能擴展基本定律的應(yīng)用。利用代入規(guī)則能擴展基本定律的應(yīng)用。 將邏輯等式兩邊的某一變量均用同將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡例例2 證明證明_CBACBACBA_CBACBA解解_BABA這是兩變量的求反公式，這是兩變量的求反公式， 若將等若將等式兩邊的式兩邊的B用用B+C代入便得到代入便得到這樣就得到三變量的摩根定律。這樣就得到三變量的摩根定律。布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡變換時變換時注意注意：

6、( (1) ) 不能改變原來的運算順序。不能改變原來的運算順序。( (2) ) 反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非 號保持不變。號保持不變。 可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：利用反演規(guī)則或摩根定律。利用反演規(guī)則或摩根定律。 原運算次序為原運算次序為 ( (二二) ) 反演規(guī)則反演規(guī)則 對任一個邏輯函數(shù)式對任一個邏輯函數(shù)式 Y，將，將“”換成換成“+”+”，“+”換成換成“”，“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，原變量換成反變量，反變量，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)換成原

7、變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。Y布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 ( (三三) ) 對偶規(guī)則對偶規(guī)則 對任一個邏輯函數(shù)式對任一個邏輯函數(shù)式 Y，將，將“”換成換成“+”+”，“+”+”換成換成“”，“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，則得到原邏，則得到原邏輯函數(shù)式的對偶式輯函數(shù)式的對偶式 Y 。 對偶規(guī)則：兩個函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。對偶規(guī)則：兩個函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。 應(yīng)用對偶規(guī)則可將基本公式和定律擴展。應(yīng)用對偶規(guī)則可將基本公式和定律擴展。 變換時注意：變換時注意：( (1) ) 變量不改變變量不改變 ( (2) ) 不能改變原來的運算順序不能改變原來的運算順序A +

8、AB = A A (A + B) = A 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡四、基本公式應(yīng)用四、基本公式應(yīng)用 1. 證明等式證明等式例例 3 用公式證明用公式證明ABBABABA_解解_BAABBBBAABAA)(BABABABABABA布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 2. 邏輯函數(shù)不同形式的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)不同形式的轉(zhuǎn)換 邏輯函數(shù)的形式是多種多樣的，一個邏輯問題可以邏輯函數(shù)的形式是多種多樣的，一個邏輯問題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來表示，用多種形式的邏輯函數(shù)來表示， 每一種函數(shù)對應(yīng)一種邏每一種函數(shù)對應(yīng)一種邏輯電路。輯電路。 邏輯函數(shù)的表達形式通?？煞譃檫壿嫼瘮?shù)的表達形式通?？煞譃槲宸N五種： 與或與或表表達式、達式、

9、與非與非-與非與非表達式、表達式、與或非與或非表達式、表達式、或與或與表達式、表達式、或非或非-或非或非表達式。表達式。 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡例例 4 將函數(shù)與或表達式將函數(shù)與或表達式 轉(zhuǎn)換為其它形式。轉(zhuǎn)換為其它形式。解解 (1) 與非與非-與非式與非式。 將與或式兩次取反將與或式兩次取反，利用摩根定律利用摩根定律可得CAABF_CAABCAABF_(2) 與或非式與或非式。 首先求出反函數(shù)求出反函數(shù)然后再取反一次即得與或非表達式再取反一次即得與或非表達式_CABACAABF_CABAF布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 (3) 或與式或與式。 將與或非式用摩根定律展開將與或非式用摩根定律展開， 即得或

10、與表達式如下：即得或與表達式如下：)(_CABACABACABAF(4) 或非或非-或非式或非式。 將或與表達式兩次取反將或與表達式兩次取反， 用摩根定律展開一次用摩根定律展開一次得或非得或非-或非表達式或非表達式CABACABAF_)(布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡(a)&AB&C1AF&B&AC&AF(b)(c)A1&BCAF(d)ABC1A&1F(e)BA111AC圖 3 1 同一邏輯的五種邏輯圖;)(_與或表達式CAABFa;)(_與非表達式CAABFb與或非表達式_)(CABAFc;)()(_或與表達式CABAFd或非表達式_)(CABAFe布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡一、邏輯函數(shù)及其表示方法一、

11、邏輯函數(shù)及其表示方法 邏輯函數(shù)描述了某種邏輯關(guān)系。邏輯函數(shù)描述了某種邏輯關(guān)系。常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖等表示。常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖等表示。1. 真值表真值表 列出輸入變量的各種取值組合及其對列出輸入變量的各種取值組合及其對應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二進制數(shù)遞增的方式列位二進制數(shù)遞增的方式列 出輸入變量的各種取值組合。出輸入變量的各種取值組合。( (2) ) 分別求出各種組合對應(yīng)的輸出分別求出各種組合對應(yīng)的輸出 邏輯值填入表格邏輯值填入表格。3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡邏

12、輯函數(shù)的代數(shù)法化簡布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量輸出變量 輸輸 入入 變變 量量 4 個輸入個輸入變量有變量有 24 = 16 種取種取值組合。值組合。的的真真值值表表。例例如如求求函函數(shù)數(shù) CDABY 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡2. 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式 表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系的表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系的 表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。 邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏

13、輯圖寫出。邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。 ( (1) )找出函數(shù)值為找出函數(shù)值為 1 的項。的項。( (2) )將這些項中輸入變量取值為將這些項中輸入變量取值為 1 的用原變量代替，的用原變量代替， 取值為取值為 0 的用反變量代替，則得到一系列與項。的用反變量代替，則得到一系列與項。( (3) )將這些與項相加即得邏輯式。將這些與項相加即得邏輯式。真值表真值表邏輯式邏輯式例如例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 邏輯式為邏輯式為 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡3. 邏輯圖邏輯圖 運算次序為先非后與再或，因此用三級電路實現(xiàn)

14、之。運算次序為先非后與再或，因此用三級電路實現(xiàn)之。由邏輯符號及相應(yīng)連線構(gòu)成的電路圖。由邏輯符號及相應(yīng)連線構(gòu)成的電路圖。 根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法: :將各級邏輯運算用將各級邏輯運算用 相應(yīng)邏輯門去實現(xiàn)。相應(yīng)邏輯門去實現(xiàn)。 例如例如 畫畫 的邏輯圖的邏輯圖 反變量用非門實現(xiàn)反變量用非門實現(xiàn) 與項用與門實現(xiàn)與項用與門實現(xiàn) 相加項用或門實現(xiàn)相加項用或門實現(xiàn) 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡例例1 1 圖示為控制樓道照明的開關(guān)電路。兩圖示為控制樓道照明的開關(guān)電路。兩個單刀雙擲開關(guān)個單刀雙擲開關(guān) A 和和 B 分別安裝在樓上和分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后關(guān)樓下。上樓之

15、前，在樓下開燈，上樓后關(guān)燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓后關(guān)燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯后關(guān)燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯電路。電路。 ( (1) ) 分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表11YA B000 01 10 11 0( (2) ) 根據(jù)真值表寫出邏輯式根據(jù)真值表寫出邏輯式解：解：方法：方法：找出輸入變量和輸出函數(shù)，找出輸入變量和輸出函數(shù)，對它們的取值作出邏輯規(guī)定，對它們的取值作出邏輯規(guī)定，然后根據(jù)邏輯關(guān)系列出真值表。然后根據(jù)邏輯關(guān)系列出真值表。 設(shè)開關(guān)設(shè)開關(guān) A、B合向左側(cè)時為合向左側(cè)時為 0 狀態(tài)，合向

16、右側(cè)時為狀態(tài)，合向右側(cè)時為 1 狀態(tài)；狀態(tài)；Y 表表示燈，燈亮?xí)r為示燈，燈亮?xí)r為 1 狀態(tài)，燈滅時狀態(tài)，燈滅時為為 0 狀態(tài)。則可列出真值表為狀態(tài)。則可列出真值表為布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡( (3) ) 畫邏輯圖畫邏輯圖 與或表達式與或表達式( (可用可用 2 個非門、個非門、 2 個與門和個與門和 1 個或門實現(xiàn)個或門實現(xiàn)) )異或非表達式異或非表達式( (可用可用 1 個異個異或門和或門和 1 個非門實現(xiàn)個非門實現(xiàn)) ) 設(shè)計邏輯電路的基本原則是使電路最簡。設(shè)計邏輯電路的基本原則是使電路最簡。BAABBAY布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡二、邏輯函數(shù)式化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn)二、邏輯函數(shù)式化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn) 化

17、化簡簡意意義義使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。高系統(tǒng)可靠性。 不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與最簡與 - - 或式，然后通過變換得到所需最簡式。或式，然后通過變換得到所需最簡式。 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡最簡與最簡與 - - 或或式標(biāo)準(zhǔn)式標(biāo)準(zhǔn) ( (1) )乘積項乘積項( (即與項即與項) )的個數(shù)最少的個數(shù)最少( (2) )每個乘積項中的每個乘積項中的變量數(shù)變量數(shù)最少最少 用用與門個數(shù)與門個數(shù)最少

18、最少與門的與門的輸入端輸入端數(shù)最少數(shù)最少 最簡與非式最簡與非式標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)( (1) )非號非號個數(shù)最少個數(shù)最少( (2) )每個非號中的每個非號中的變量數(shù)變量數(shù)最少最少 用用與非門與非門個數(shù)最少個數(shù)最少與非門的與非門的輸入端輸入端數(shù)最少數(shù)最少 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡BCBBACBACABF_如直接由該函數(shù)式得到電路圖，則如圖如直接由該函數(shù)式得到電路圖，則如圖3 - 3所示。所示。FA B CA B CA B CBABBC1 & & & & &圖圖3-3 F原函數(shù)的邏輯圖原函數(shù)的邏輯圖布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 但如果將函數(shù)化簡后其函數(shù)式為但如果將函數(shù)化簡后其函數(shù)式為F=AC+B只要兩個門就夠了，只要

19、兩個門就夠了， 如圖如圖3 - 4所示。所示。&AC1FB圖圖 3 4 函數(shù)化簡后的邏輯函數(shù)化簡后的邏輯圖圖布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡三、代數(shù)化簡法三、代數(shù)化簡法 運用邏輯代數(shù)的基本定律和運用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。公式對邏輯式進行化簡。 并項法并項法 運用運用 ，將兩項合并為一項，并消去一個變量。將兩項合并為一項，并消去一個變量。 ABAAB CBACBAY BA )()(CBCBACBBCAY )(CBACBA A 任何兩個相同變量的邏輯項，任何兩個相同變量的邏輯項， 只有一個變量取值不同只有一個變量取值不同(一項一項以原變量形式出現(xiàn)，以原變量形式出現(xiàn)， 另一項以反變量形式出

20、現(xiàn)另一項以反變量形式出現(xiàn))， 我們稱為我們稱為邏輯邏輯相鄰項相鄰項(簡稱相鄰項簡稱相鄰項)。如果函數(shù)存在相鄰項，可利用吸收律，。如果函數(shù)存在相鄰項，可利用吸收律， 將將它們合并為一項，同時消去一個變量。它們合并為一項，同時消去一個變量。 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 _CABCABF解解令則,_GCBAAGGAF_ _CABCBACBACBAF解解_CCACAF利用等冪律，一項可以重復(fù)用幾次。利用等冪律，一項可以重復(fù)用幾次。布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡,_DCBADCBACDBADCBADCBAF其中其中 與其余四項均是相鄰關(guān)系，可以重復(fù)使用。與其余四項均是相鄰關(guān)系，可以重復(fù)使用。DCBA_解解_CBAD

21、CBADCBADBADCBADCBADCADCBADCBADCBDCBADCBA所以所以_CBADBADCADCBF布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡)(FEABABY AB 吸收法吸收法 運用運用A+AB =A 和和 ，消去多余的與項。消去多余的與項。 CAABBCCAAB BDDCDAABCY BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡消去法消去法 運用吸收律運用吸收律 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB CDBAABCDBABAY )(BAABCDBABA BACDBA CDBA CDBAB

22、A 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡配項法配項法 通過通過乘乘 或或加加入零項入零項 進行配項，然后再化簡。進行配項，然后再化簡。1 AA0 AAABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 。BACBCBBAY_例例1 化簡化簡_)()(CBCABACBABCACBACBACBBACCBAAACBCBBA原式例例2 化簡化簡布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡綜合靈活運用上述方法綜合靈活運用上述方法 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式EFBADCCAABDAADY 解：解： EFBADCCAABAY DCCAA 應(yīng)用應(yīng)用BABAA DCCA DCA 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式CBDBDAA

23、CY 解：解： 應(yīng)用應(yīng)用BABAA DABCBAC DCBAC 應(yīng)用應(yīng)用 AB CBACCBAC布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式CAABCBAY 解：解： YCAABCBA CABA 應(yīng)用應(yīng)用BABAA CBA CBAY CBA 用摩根定律用摩根定律布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡作業(yè)：作業(yè)：書P691(3)，2(1)(4)，3(2)(3)，4(1)(4)，5(2)(6)(8)布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡代數(shù)代數(shù)化簡法化簡法 優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。 卡諾圖卡諾圖化簡法化簡法 優(yōu)點：簡單、直觀，有

24、一定的步驟和方法優(yōu)點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法 易判斷結(jié)果是否最簡。易判斷結(jié)果是否最簡。 缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。 一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。 一、代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點一、代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點3.3 卡卡 諾諾 圖圖 化化 簡簡布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡二、卡諾圖化簡的基本原理二、卡諾圖化簡的基本原理例例_CBAABCBCACBACBAF解解BCABCBABA_原式布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 n 個變量有個變量有 2n 種組合，可對應(yīng)寫出種組合，可對應(yīng)寫出 2n 個乘積項，這個乘積項，這些乘積項均具有下列些

25、乘積項均具有下列特點：特點：包含全部變量，且每個變量包含全部變量，且每個變量在該乘積項中在該乘積項中 ( (以原變量或反變量以原變量或反變量) )只只出現(xiàn)一次。出現(xiàn)一次。這樣的這樣的乘積項稱為這乘積項稱為這 n 個變量的個變量的最小項最小項，也稱為，也稱為 n 變量邏輯函變量邏輯函數(shù)的最小項。數(shù)的最小項。1. 最小項的定義最小項的定義三、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式三、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式最小項最小項布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 一個變量一個變量A有有2個最小項：個最小項： 二個變量二個變量AB有有4個最小項：個最小項：。_1,)2(AA。ABBABABA,)2(_2三個變量三個變量ABC有有8個最小項：個最小項：

26、,)2(_3CBABCACBACBACBA。ABCCABCBA,_布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 任何形式的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與任何形式的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與- -或式，而且邏或式，而且邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式是或式是唯一唯一的。的。 2. 邏輯函數(shù)的最小項表達式邏輯函數(shù)的最小項表達式 每一個與項都是最小項的與每一個與項都是最小項的與 - - 或邏輯式稱為或邏輯式稱為標(biāo)準(zhǔn)與標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或或式式，又稱，又稱最小項表達式最小項表達式( (不一定由全部最小項組成不一定由全部最小項組成) )。 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡例如例如ABCBCACBACBACBAABCF)(CABCCB

27、AABCF)(是最小項表達式。而是最小項表達式。而不是最小項表達式，而是一般式。不是最小項表達式，而是一般式。 最小項表達式具有唯一性最小項表達式具有唯一性。任何邏輯函數(shù)的最小項表達。任何邏輯函數(shù)的最小項表達式只有一個。式只有一個。布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡3. 由一般式獲得最小項表達式由一般式獲得最小項表達式(1) 代數(shù)法代數(shù)法。對邏輯函數(shù)的一般式采用對邏輯函數(shù)的一般式采用添項法添項法， 例如_CABCCBAF_)()(CBACABBCAABCCBABBCAAABCCBA布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 (2) 真值表法真值表法。將原邏輯函數(shù)將原邏輯函數(shù)A、B、C取不同值組合起取不同值組合起來，得其真值表

28、，而來，得其真值表，而該邏輯函數(shù)是將該邏輯函數(shù)是將F=1那些輸入變量那些輸入變量相或相或而成的而成的，如表，如表3 - 4所示。所示。 表表 3 4 某邏輯函數(shù)的真值表某邏輯函數(shù)的真值表ABCCABCBABCACBAF_布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡如何編號？如何編號？如何根據(jù)輸入變量如何根據(jù)輸入變量組組合寫出相應(yīng)最小項？合寫出相應(yīng)最小項？例如例如 3 變量邏輯函數(shù)的最小項有變量邏輯函數(shù)的最小項有 23 = 8 個個 將輸入將輸入變量取值為變量取值為 1 的代以原變的代以原變量，取值為量，取值為 0 的代以反變的代以反變量，則得相量，則得相應(yīng)最小項。應(yīng)最小項。 簡記符號簡記符號例如例如 CBA1015

29、m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小項最小項A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應(yīng)輸入組合對應(yīng)的十進制數(shù)的十進制數(shù)765432104. 最小項的編號最小項的編號布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡5. 最小項的基本性質(zhì)最小項的基本性質(zhì) ( (1) ) 對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為 1， 而其余各種變量取值均使其值為而其余各種變量取值均使其值為 0。三三變變量量最最小小項項表表1100000001 1 1101000000

30、1 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB( (2) ) 不同的最小項，使其值為不同的最小項，使其值為 1 的那組變量取值也不同。的那組變量取值也不同。( (3) ) 對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為 0。( (4) ) 對于變量的任一組取值，全體最小項的和為對于變量的任一組取值，全體最小項的和為

31、1。 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡如何將如何將邏輯邏輯式轉(zhuǎn)化式轉(zhuǎn)化為為 標(biāo)準(zhǔn)與標(biāo)準(zhǔn)與- -或式呢或式呢 ？ 例例 將邏輯式將邏輯式 化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。DCABCBAY ( (3) ) 利用利用A+A=A，合并掉相同的最小項。，合并掉相同的最小項。0000m00001m11100m121101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)ABCDDCABDCABDCBADCBAY 解：解：( (1) ) 利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。ABCBAY DC )(DCAB

32、CBA ABDCABCBA ( (2) ) 利用配項法化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。利用配項法化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。DCABABCDDCABDCABDCBADCBA 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡( (一一) ) 卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖的構(gòu)成 四、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法四、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1. 相鄰最小項相鄰最小項 兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。 相鄰最小項相鄰最小項重要特點重要特點： 兩個相鄰最小項相加可合并為一項，兩個相鄰最小項相加可合并為一項， 消去互反變量，化簡為相同變量相與。消去互

33、反變量，化簡為相同變量相與。 例如例如ABC+ABC=AB布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 將將 n 變量的變量的 2n 個最小項用個最小項用 2n 個小方格表示，并且個小方格表示，并且使相使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的這樣排列得到的方格圖稱為方格圖稱為 n 個變量個變量最小項卡諾圖最小項卡諾圖，簡稱變量卡諾圖。，簡稱變量卡諾圖。2. 卡諾圖及其構(gòu)成方法卡諾圖及其構(gòu)成方法布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡變量取變量取 0 的代以反變量的代以反變量 取取 1 的代以原變量的代以原變量AB二二變變量量卡卡諾諾圖圖010 10 00 11 01 10 00

34、1AB010 1m0m1m2m3ABAAB BABABABAB四四變變量量卡卡諾諾圖圖 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三變變量量卡卡諾諾圖圖ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3 m0 m5001 m1ABCD0001111000 01 11 10 以循環(huán)碼排列以保證相鄰性以循環(huán)碼排列以保證相鄰性布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡變量取變量取 0 的代以反變量的代以反變量 取取 1 的代以原變量的代以原變量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCDCD

35、DCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相鄰項相鄰項在在幾何位置幾何位置上也相鄰上也相鄰卡諾圖特點：卡諾圖特點：循環(huán)相鄰性循環(huán)相鄰性同一列最同一列最上與最下上與最下方格相鄰方格相鄰?fù)恍凶钔恍凶钭笈c最右左與最右方格相鄰方格相鄰布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡如何寫出卡諾圖方格對應(yīng)的最小項？如何寫出卡諾圖方格對應(yīng)的最小項？ 已知最小項如何找相應(yīng)小方格？已知最小項如何找相應(yīng)小方格？ 例如例如 原變量取原變量取 1，反變量取，反變量取 0。DCBA1001 ？ABCD0001111000 01

36、 11 10 ABCD DCBA布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡( (二二) ) 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) ( (1) ) 求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式或者與或式或者與 - - 或式?；蚴?。 ( (2) ) 畫出變量卡諾圖。畫出變量卡諾圖。 ( (3) ) 根據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與根據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式或與或式或與 - - 或式填圖?；蚴教顖D。 基基本本步步驟驟用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例 已知已知標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)與或與或式畫式畫函數(shù)函數(shù)卡諾卡諾圖圖 例例 試畫出函數(shù)試畫出函數(shù) Y = m (0,1,12,13,15) 的卡諾圖的卡諾

37、圖解：解： ( (1) ) 畫出四變量卡諾圖畫出四變量卡諾圖( (2) ) 填圖填圖 邏輯式中的最邏輯式中的最小項小項 m0、m1、m12、m13、m15對對應(yīng)的方格填應(yīng)的方格填 1，其，其余不填。余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡已已知知真真值值表表畫畫函函數(shù)數(shù)卡卡諾諾圖圖 例例 已知邏輯函數(shù)已知邏輯函數(shù) Y 的的 真值表如下，試畫真值表如下，試畫 出出 Y 的卡諾圖。的卡諾圖。解：解：( (1) ) 畫畫 3 變量卡諾圖。變量卡諾圖。A B CY0 0

38、 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 對應(yīng)的最小項，在對應(yīng)的最小項，在 卡諾圖相應(yīng)方格中卡諾圖相應(yīng)方格中 填填 1，其余不填。，其余不填。布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡已已知知一一般般表表達達式式畫畫函函數(shù)數(shù)卡卡諾諾圖圖解：解：( (1) ) 將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式( (2) ) 作變量卡諾圖作變量卡諾圖找出各與項所對應(yīng)的最小找出各與項所對應(yīng)的最小項方格填項方格填 1，其余不填。，其余不填

39、。 例例 已知已知 ，試畫出，試畫出 Y 的卡諾圖。的卡諾圖。)(BDCABDAY ABDAY )(BDC CBDABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根據(jù)與或式填圖根據(jù)與或式填圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 對應(yīng)最小項為對應(yīng)最小項為同時滿足同時滿足 A = 1， B = 1 的方格。的方格。 ABDABCD 對應(yīng)最小項為同時滿足對應(yīng)最小項為同時滿足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 對應(yīng)最小項為同時滿足對應(yīng)最小項為同時滿足 A = 0，D = 1的方格。的方格。布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡五、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)五、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

40、化簡規(guī)律化簡規(guī)律2 個相鄰個相鄰最小項有最小項有 1 個變量相異，相加可以個變量相異，相加可以消消去去這這 1 個變量個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；，化簡結(jié)果為相同變量的與；4 個相鄰個相鄰最小項有最小項有 2 個變量相異，相加可以消個變量相異，相加可以消去這去這 2 個變量個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；，化簡結(jié)果為相同變量的與；8 個相鄰最小項有個相鄰最小項有 3 個變量相異，相加可以消個變量相異，相加可以消去這去這 3 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；2n 個相鄰個相鄰最小項有最小項有 n 個變量相異，相加可以個變量相異，相加可以消去消去這這 n 個變量

41、個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。，化簡結(jié)果為相同變量的與。消消異異存存同同 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡ABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 個相鄰項合并消去個相鄰項合并消去 1 個變量，化簡結(jié)果個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 個相鄰項合并消去個相鄰項合并消去 1 個變量，化簡結(jié)果個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如例如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

42、=ACD+ACD =AD 4 個相鄰項合并消去個相鄰項合并消去 2 個變量，個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與?；喗Y(jié)果為相同變量相與。8 個相鄰項合并消去個相鄰項合并消去 3 個變量個變量A 1 1 1 1 1 1 1 1布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡畫包圍圈規(guī)則畫包圍圈規(guī)則 包圍圈必須包含包圍圈必須包含 2n 個相鄰個相鄰 1 方格，且必須成方形。方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重復(fù)圈，但方格可重復(fù)圈，但須每圈有新須每圈有新 1；每個；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一列最上邊和

43、最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈； 同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個角上的四個角上的 1 方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。 注意注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡諾卡諾 圖化圖化 簡法簡法 步驟步驟 畫函數(shù)卡諾圖畫函數(shù)卡諾圖 將各圈分別化簡將各圈分別化簡 對填對填 1 的相鄰最小項方格畫包圍圈的相鄰最小項方格畫包圍圈 將各圈化簡結(jié)果邏輯加將各圈化簡結(jié)果邏輯加 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)函數(shù) Y(

44、A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡諾圖填卡諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )畫包圍圈畫包圍圈abcd( (4) )將各圖分別化簡將各圖分別化簡圈圈 2 個可消去個可消去 1 個變量，化個變量，化簡為簡為 3 個相同變量相與。個相同變量相與。Yb = BCD圈圈 4 個可消去個可消去 2 個變量，化個變量，化簡為簡為 2 個相同變量相與。個相同變量相與。孤立項孤立項 Ya=ABCDYc = AB循環(huán)相鄰循環(huán)相鄰 Yd = AD( (5) )將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與或式將各圖化簡結(jié)果邏輯加

45、，得最簡與或式DABABCDDCBAY 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡諾圖填卡諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最簡與或式求最簡與或式 Y= 1BDA消消 1 個剩個剩 3 個個( (3) )畫圈畫圈BCD 消消 2 個剩個剩 2 個個DA 4 個角上的最小個角上的最小項循環(huán)相鄰項循環(huán)相鄰DB 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡找找 AB =11, C = 1 的公共

46、區(qū)域的公共區(qū)域找找 A = 1, CD = 01 的公共區(qū)域的公共區(qū)域找找 B = 1, D = 1 的公共區(qū)域的公共區(qū)域解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填圖填圖 1 1( (4) )化簡化簡( (3) )畫圈畫圈 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)函數(shù)BDABCDCADCBACDBAY 0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要畫嗎？要畫嗎？CBADCA ABC CDA Y =布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡例例 化簡)15,13,12, 7 , 6 , 5 , 2 , 1 , 0(F_DCABDCABC

47、BAF(a)(b)111111111ABCD0001111000011110ABCBDABCABDACD111111111ABCD0001111000011110ABCBDACDABC布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 例例 已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：該卡諾該卡諾圖還有圖還有其他畫其他畫圈法圈法可見，最簡可見，最簡結(jié)果未必唯一。結(jié)果未必唯一。解：解：( (1) )畫函數(shù)卡諾圖畫函數(shù)卡諾圖ABC0100 0111 10

48、1 1 1 1 1 1( (3) )化簡化簡( (2) )畫圈畫圈Y =CBCA AB BCCABAY 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡六、其它邏輯形式的化簡六、其它邏輯形式的化簡 1. 與非與非邏輯形式邏輯形式 所謂與非式，所謂與非式， 就是全由與非門實現(xiàn)該邏輯，前面講邏就是全由與非門實現(xiàn)該邏輯，前面講邏輯函數(shù)相互變換時已講過，將與或式兩次求反即得與非式。輯函數(shù)相互變換時已講過，將與或式兩次求反即得與非式。DBACBACBDBACBACBFFDBACBACBF_,布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡&AB&F&BCCABD&布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 2. 或與或與

49、邏輯形式邏輯形式 首先從卡諾圖上首先從卡諾圖上求其反函數(shù)求其反函數(shù)，其方法是圈，其方法是圈“”方格，方格， 然后然后再用摩根定律再用摩根定律取反即得或與式。取反即得或與式。 例例 求求 的反函數(shù)和或與式。的反函數(shù)和或與式。)15,14,13,12, 8 , 7 , 5 , 4 , 0(F1111011001100010ABCD0001111000011110ACDBCBD_DCACBDBF)()(_DCACBDBDCACBDBDCACBDBFF布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 總結(jié)總結(jié)如下：如下： 在卡諾圖上圈在卡諾圖上圈“0”方格，方格， 其化簡結(jié)果：其化簡結(jié)果： 變量為變量為0原變原變量量；變量為變

50、量為1反變量反變量，然后變量再相，然后變量再相“或或”起來，就得每起來，就得每一或項，最后再將每一或項一或項，最后再將每一或項“與與”起來而得或與式。故此起來而得或與式。故此例可不通過求反函數(shù)，直接由上述過程得到例可不通過求反函數(shù)，直接由上述過程得到或與式或與式。)()(_DCACBDBF1111011001100010ABCD0001111000011110A C DB CB D布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡其邏輯圖如下圖所示。其邏輯圖如下圖所示。BFBDCACD1111&布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡3. 或非或非邏輯形式邏輯形式將將或與邏輯兩次求反或與邏輯兩次求反即得或非表示式：即得或非表示式：DCAC

51、BDBDCACBDBDCACBDBF_)()()(（布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡BFBDCACD11111按邏輯表達式即可畫出或非邏輯電路圖按邏輯表達式即可畫出或非邏輯電路圖布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡 4. 與或非與或非邏輯形式邏輯形式 與或非邏輯形式可從兩種途徑得到：與或非邏輯形式可從兩種途徑得到：一種是一種是從與或式從與或式得到，得到，另一種是另一種是求得反函數(shù)后，再求一次反，即不用摩根求得反函數(shù)后，再求一次反，即不用摩根定律處理，定律處理， 也可得與或非式。一般前一種途徑所得電路要也可得與或非式。一般前一種途徑所得電路要多用一個反相器，所以常用后一種方法得最簡與或非式。多用一個反相器，所以常用后一種方法得