考研數(shù)學(xué)一筆記.docx

1、.高等數(shù)學(xué)常用公式等比數(shù)列an a1 qn 1sna1 (1 qn )1 q等差數(shù)列ana1( n1)dsn(a1an )n2 122232n 21 n n1)(2n1)(62 132333n3n(n1)2極限nu1 u2un一、對(duì)于和式1 1進(jìn)行適當(dāng)放縮有兩種典型的法當(dāng)為無(wú)窮大時(shí)，則當(dāng)為有限項(xiàng)，且專業(yè)資料._二、常用極限：nnm，1. limna1a2ammax ai1,2,3m ) (in2. f (x)dxlimni )xilimnba i ) baf (f (aba0i1ni 1nnbnn(i1)(ba) b af ( x)dxlimf ( i)xilimf (a3n)a0i 1ni1

2、n3. lim na1n4. lim nanb 1（,， a，b為常數(shù)）n5. lim x x1x06.若 lim ana，則n . lim a1a2anann .若 an0(n1,2,3)，則 lim n a1a2anan三、常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小代換總結(jié)常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小代換總結(jié)專業(yè)資料. sin x xx3x5o(x5 )3!5!x2x33o xln(1 x) x)2(3 ln(1 x) ( xx2x 3o( x3 )23 ex1 xx 2x3o( x3 )2!3! cos x 1x2x4x6o(x6 )2!4!6!專業(yè)資料.10.四、7 種未定型 （注意正真的0 和 1 與極限為 0 和 1 的區(qū)

3、別）設(shè)專業(yè)資料.五、求漸近線的步驟先求垂直漸近線：lim f ( x)xx0求水平漸近線：lim f (x)Ax專業(yè)資料.求斜漸近線： （ lim f ( x)時(shí)才需求斜漸近線，因?yàn)樗綕u近線和斜漸近線不同時(shí)存x在）y kx b， klimf (x) ，blim fxkxxx( )x六、極值點(diǎn)的來(lái)源： 不可導(dǎo)點(diǎn)：駐點(diǎn)七、需要考慮左右極限的情況式子中含有e x式子中含有arctan x式子中含偶次根 x1 xx lim x 不存在x 0式子中含有取整符號(hào) x含有 | xx0 |分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)專業(yè)資料.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)的分段點(diǎn)；抽象函數(shù)：不滿足求導(dǎo)法則；求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)太復(fù)雜?？蓪?dǎo)條件求高階導(dǎo)數(shù)分子

4、一動(dòng)一靜分母有左有右上下同階或低階1.公式法2.歸納法3.萊布尼茲公式4.利用 Taylor 公式f ( x0 )f ( x0x)f ( x0 )x步驟寫出 Taylor 展開(kāi)式將 f(x)間接展開(kāi)利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等專業(yè)資料.中值定理涉及 f (x) 的中值定理，即連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域a,b 上的性質(zhì)設(shè) f (x) 在 a,b 上連續(xù) ，則定理一 （有界性）： | f ( x) |k(k0)定理二 （最值定理）： mf (x)M ，其中m ， M分別是f ( x) 在 a， b 上的最小值與最大值。定理三 （介值定理）：當(dāng) muM 時(shí)，其中 m ，M 分別是f ( x) 在 a ， b 上的最小值與

5、最大值， a,b 使得 f ( )u定理四 （零點(diǎn)定理）：當(dāng) f ( a)f (b)0 時(shí)，(a,b) 使得 f ( )0涉及導(dǎo)數(shù)f (x）的中值定理定理五（費(fèi)馬引理） ：設(shè) f (x) 在的某領(lǐng)域_D_處可導(dǎo)如果對(duì)任意的f ( x)f ( x0) （或 f ( x)f ( x0) ），那么f ( x0 )0。補(bǔ)充一 （導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理）設(shè)f ( x)在a,b可導(dǎo)，且f ( )() 0，則(a, b) 使得afb,f ( )0定理六 （羅爾定理）：如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b 上連續(xù) ,在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 可導(dǎo) ,且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f (a) f (b) ,那 末 在 (a, b

6、) 至 少 有 一 點(diǎn) (ab) , 使 得 函 數(shù) f ( x) 在 該 點(diǎn) 的 導(dǎo) 數(shù) 等 于 零 ， 即f ( ) 0 。專業(yè)資料.該定理的逆否命題：若 f ( x)0 在 (a,b) 沒(méi)有實(shí)根，即f (x )0 ，則推廣： 若 f (n) (x )0 在()D_ f (n) (x )0 ，則定理七 （拉格朗日中值定理） ：如果函數(shù)f ( x)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) ,在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 可導(dǎo)那么在 (a,b) 至少有一點(diǎn)(ab) ，使等式f (b)f (a)f ()(ba) 成立。定理八（柯西中值定理） ：如果函數(shù)f (x) 及 g( x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) ,在開(kāi)區(qū)

7、間 (a, b) 可導(dǎo) ,且 g(x 在 ( a,b) 每一點(diǎn)處均不為零，那末在(a,b) 至少有一點(diǎn)(ab),使等式)f (b)f (a)f ()成立。g (b)g(a)g ()定理九 （ Taylor 公式）：如果函數(shù) f ( x) 在含有 x0 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間 (a,b) 具有直到 n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意 x(a,b) ，有f ( x) f ( x0 )f ( x0 )(x x0 )f (x0 ) ( x x0 ) 2f (n ) (x0 ) ( x x0 ) nf ( n 1 ) ( ) ( x x0 ) n 12!n!(n 1)!這里的與 x 之間的某個(gè)值。注：Taylor 公式常用

8、于處理含二階及二階以上導(dǎo)函數(shù)代數(shù)式的問(wèn)題，證明的一般思路如下：專業(yè)資料.將 f ( x) 在處展開(kāi)成比高階導(dǎo)數(shù)低一階的Taylor 展開(kāi)式關(guān)鍵在于如確定 x 與 x0 ，一般把題目中已知某點(diǎn)的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)值設(shè)為x0 區(qū)間端點(diǎn)為 x ，閉區(qū)間的中點(diǎn)有時(shí)也會(huì)用到對(duì)得到的式子進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算。b涉及積分af ( x)dx 的中值定理定理十 （積分中值定理）設(shè)f ( x) 在D_Dd_使得bxdx fbaf( )(a)推廣一 ：設(shè) f ( x) 在b)(b a)_(a, b) 使得f ( x) dx f (a推廣二 （第二積分中值定理） ：設(shè) f (x) 與 g(x) 在D_ g( x) 在() a,b

9、 ，使bb得 f ( x) g (x)dxa1.構(gòu)造輔助函數(shù)羅爾定理考點(diǎn)f ( )g (x)dxa逐項(xiàng)還原組合還原(uv )，uv同乘以1）同乘因子兩個(gè)模型求解微分方程同乘以2)2.找端點(diǎn)值使得專業(yè)資料.經(jīng)典不等式總結(jié)三角不等式 ：設(shè) a, b 為實(shí)數(shù)則 2 | ab |a2b 2 | a b | | a | | b | | a | | b | | ab |推廣 ：離散情況：設(shè)a1 , a2 , an 為實(shí)數(shù)，則| a1a2an | | a1 | | a2 | an |連續(xù)情況：設(shè)f (x) 在 a,b 可積，則bb| f ( x) |dx(ab)f (x)dxaa均值不等式 a, b R ，

10、2aba ba2b2(當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取等號(hào) )1122aba1 , a2 ,anR，nn a1a2 ana1 a2ana12a22an211nn1a1 a2an(當(dāng)且僅當(dāng) a1a2an時(shí)取等號(hào) )推廣：設(shè) bi0, m1 , m2 ,mk 是正整數(shù)，則m1b1m2 b2mk bkm1mk1m1m2mkb1bkm1m2mk專業(yè)資料.氏不等式 ：設(shè) x0, y0, p0, q0, 111 ，則 xyx py qpqpq柯西不等式 ： a 2b2c 2d 2ac bd2施瓦茨不等式：若 f (x), g( x) 在 a,b 可積，且平可積，則b2b2 ( x) dxb2 ( x) dxf ( x)

11、g (x)dxfgaaa其他不等式若 0axb,0c yd ，則cyabxd sin xx tan x(0x), sin xx( x0)21xln(11 )1 ,(0x)1xx積分1. 有理函數(shù)積分設(shè)有真分式，已被因式分解，若分母中有一個(gè)一因子，則分解式對(duì)應(yīng)項(xiàng)為：若分母中有一個(gè)因子，則分解式對(duì)應(yīng)項(xiàng)為：專業(yè)資料.ex:求積分的法公式法分項(xiàng)積分法第一類換元第二類換元分部積分法萬(wàn)能代換區(qū)間再現(xiàn)萬(wàn)能代換：令，則專業(yè)資料.區(qū)間再現(xiàn)： 在計(jì)算很多定積分和某些定積分證明時(shí)，有時(shí)需要互換積分限。常見(jiàn)互換積分限為：2. 比較廣義積分的斂散性比較判別法的極限形式設(shè)函數(shù)都是在區(qū)間非負(fù)連續(xù)函數(shù)，若lim f ( x)

12、l ，則ng (x)當(dāng)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；當(dāng)若收斂，則也收斂；當(dāng)發(fā)散，則也發(fā)散。設(shè)函數(shù)都是在區(qū)非負(fù)連續(xù)函數(shù)， lim f ( x)， lin g ( x)x ax alinf (x)l ，則x ag( x)時(shí)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。專業(yè)資料.多元函數(shù)求具體點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)幾何意義偏導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)求偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)偏積分微分f (x, y)f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )dxfy( x0, y0 ) dy lim220x 0( x x0 )( y y0 )y 0在 ( x0 , y0 ) 可微偏導(dǎo)個(gè)數(shù) =自變量個(gè)數(shù)項(xiàng)數(shù) =中間變量個(gè)數(shù)分線相加，連線相減偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)仍然是的函數(shù)抽象復(fù)

13、合函數(shù)可以用表示專業(yè)資料.微分程二階線性微分程特解的求法令 dD ，則 dyDy ； d 2D 2，則 d 2 yD 2 ydxdxdx 2dx 2于是 y a1 y a2 yf (x)( D 2a1 D a2 ) yf (x)令 F(D) D2a1Da2 ，則( D 2a1 D a2 ) yf ( x) F (D ) y f (x)y*1f ( x)F (D)1有如下重要性質(zhì)（注：D 表示微分，1表示積分）DF (D)1ekx1ekx , F (k ) 0F (D)F (k )當(dāng)F (k) 0時(shí)，1ekxx1ekxx1ekx , F ( k) 0F (D)F(D)F (k)當(dāng) F (k)0

14、時(shí)，1ekxx21ekx1 x 2ekxF (D)F(D)21sin ax1sin ax, F (a2 )0F(D2)F (a 2 )1 2cosax12)cosax, F (a 2 )0F (D)F (a當(dāng) F (a 2 )0 時(shí)，12)sin axx12sin axF (DF( D)1cosaxx1cos axF ( D2)( D2F)1ekxv( x) ekx1k)v(x)F (D)F (D專業(yè)資料.1(b0 x pb1x p 1b p )Q(D )(b0 x pb1 x p 1bp )F (D)其中 Q (D ) 為 1 除以 F ( D ) 按升冪排列所得商式，其D 的最高次數(shù)為右邊

15、多項(xiàng)式的最高次數(shù) p 。1 除以 F (D) 的運(yùn)算如下1 a12 Da2 a2a2a1DD 21a11 D 21Da2a2其中 Q(D)1a1Da2a22a1D12a2Da2專業(yè)資料.2a12 D 3a1Da12D 2a2a2a2a12a2D2a1D322a2a2一階線性微分程組的解法x1a11x1a12 x2齊次微分方程組 x2a21 x1a22 x2解題程序：(Da11 ) x1a12 x20d則 (Da11 ) x1a12 x20引入微分算子 Ddta21x2 (D a22 ) x20(D )x10D a11a12(t), x2(t) 滿足令 (D)，則 x1a21D a22( D)

16、x20專業(yè)資料.求解 (D ) x10 （或( D )x2 0 ）；將求出的 xt或xt代入程中的第一個(gè)程，求出x(t ) (或第二個(gè)程求出x(t) ）1( （)2()）21注：求出其中一個(gè)解，再求另一個(gè)解時(shí)，宜用代數(shù)法，不要用積分法。x1a11x1a12 x2(t)非齊次微分方程組的解法x2a21 x1a22 x2(t )程的通解 = 對(duì)應(yīng)的齊次程的通解+ 非齊次程的一個(gè)特解。一個(gè)重要關(guān)系tanydd(,)其中表示極徑與點(diǎn)(, ) 切線間的夾角。ox概率論常用知識(shí)Anmn( n1)( nm1)n!(n m)!C nmn(n1)(nm1)n!m!m! (n m)!專業(yè)資料.C nmC nn m

17、mm 1m 1C nCnC n 1分組有序分組n 個(gè) 元 素 分 成 A1、 A2、 、 Ak 共 k 組 ， 其 個(gè) 數(shù) 分 別 為 a1、 a2、 、 ak，a1 a2akn ，則分組法的總數(shù)為 Cna1 Cna 2aCna3aaCaak112k無(wú)序分組n 個(gè)元素分成 k 個(gè)組，其中 k1 各組的元素為l1 ， k 2 各組的元素為l 2 個(gè)， ，km 各組的元素為 l m 個(gè)， k1k2kmk， l1 k1l 2k 2lm kmn 則分組法的總數(shù)為k1個(gè)k2 個(gè)km個(gè)Cnl1 C nl1ln ( k11)l1C nl2 klC nl2 k l l2C nl2 k l(k21)l2C klm lC (lkm1)lmC ll m11111 1mmmmAkk1Akk2Akkm12m函數(shù)定義()exxs 1,0sdx s0性質(zhì)(s1)s