數(shù)字巴特沃斯高通IIR濾波器綜述

1、武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書課程設(shè)計任務(wù)書學(xué)生姓名：周成浩 專業(yè)班級： 電信 1404指導(dǎo)教師：吳巍 工作單位： 信息工程學(xué)院題目 ： IIR 高通濾波器的設(shè)計初始條件：具備數(shù)字信號處理的理論知識； 具備 Matlab 編程能力； 熟悉高通濾波器的設(shè)計原理； 提供編程所需要的計算機一臺要求完成的主要任務(wù)： （包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）1、設(shè)計阻帶截止頻率為 200Hz 的 IIR 數(shù)字高通濾波器2、獨立編寫程序?qū)崿F(xiàn)3、完成符合學(xué)校要求的設(shè)計說明書時間安排：一周，其中 3 天程序設(shè)計， 2 天程序調(diào)試 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日系主任（或責(zé)任教師）簽名

2、：年月日武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書摘要此報告重點介紹了用雙線性不變法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的基本流程， 比較了各種設(shè)計 方法的優(yōu)缺點， 總結(jié)了模擬濾波器的性能特征。 最后以雙線性不變法設(shè)計了一個高通巴特 沃斯 IIR 數(shù)字濾波器，介紹了設(shè)計步驟，然后在 MATLAB環(huán)境下進行了仿真與調(diào)試，實現(xiàn) 了設(shè)計目標(biāo)。關(guān)鍵詞： MATLA；B 雙線性不變法； IIR 數(shù)字濾波器；巴特沃斯；高通武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書目錄1. 設(shè)計項目要求與說明 . 22. 系統(tǒng)設(shè)計 . 22.1 設(shè)計思路 22.2 設(shè)計方法對比 22.3 典型模擬濾波器比較 32.4 設(shè)計步驟 42.5

3、解析計算 43. 仿真程序的設(shè)計與調(diào)試 . 43.1 數(shù)字域指標(biāo)變換成模擬域指標(biāo) 63.2 數(shù)字域頻率進行預(yù)畸變 63.3 模擬濾波器的設(shè)計 63.4 模擬濾波器變成數(shù)字濾波器 83.5 理論計算數(shù)字濾波器的仿真 104. 仿真電路 . 115. 總結(jié)與體會 . 11參考文獻 . 13附錄一 總程序 . 134武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書1設(shè)計項目要求與說明課題要求設(shè)計一個 IIR 數(shù)字高通濾波器，采用 MATLAB軟件對其進行仿真與調(diào)試。本 次課設(shè)我采用雙線性變換法，以及巴特沃斯來實現(xiàn)，以下將先說明用雙線性法設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的原理，然后寫出基于 MATLAB的軟件設(shè)計流程

4、。在對設(shè)計進行調(diào)試，分析實 驗數(shù)據(jù)。2系統(tǒng)設(shè)計2.1 設(shè)計思路IIR 濾波器設(shè)計的主要方法是先設(shè)計低通模擬濾波器，然后轉(zhuǎn)換為高通、 帶通或帶阻 數(shù)字濾波器。對于其他如高通，帶通，則通過頻率變換轉(zhuǎn)換為設(shè)計相應(yīng)的高通，帶通等。 在設(shè)計的全過程的各個步驟， MATLAB都提供相應(yīng)的工具箱函數(shù)，使得 IIR 數(shù)字濾波器設(shè) 計變得非常簡單。總的來說，我的設(shè)計思路主要有以下兩種：思路一：從歸一化模擬低通原型出發(fā)， 先在模擬域內(nèi)經(jīng)頻率變換成為所需類型的模擬 濾波器；然后進行雙線性變換， 由 S域變換到 Z 域，而得到所需類型的數(shù)字濾波器，過程 如圖 2-1 所示。圖 2-1 先頻率變換再離散思路二： 先進行

5、雙線性變換， 將模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字低通濾波器； 然后在 Z 域內(nèi)經(jīng)數(shù)字頻率變換為所需類型的數(shù)字濾波器。過程如圖 2-2 所示。圖 2-2 先離散再頻率變換以上兩種思路都可以， 我最后選擇了第一種思路進行設(shè)計， 即先在模擬域內(nèi)經(jīng)頻率變 換成為所需類型的模擬濾波器； 然后進行雙線性變換， 由 S域變換到 Z 域，而得到所需類 型的數(shù)字濾波器。2.2 設(shè)計方法對比 方案一：沖激響應(yīng)不變法 沖激相應(yīng)不變法是從時域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的激響應(yīng) h(n) 對應(yīng)于模擬濾波器 ha(t) 的等間隔抽樣， h(n)=ha(nT) ，其中 T 是抽樣周期，因此時域逼近良好。武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程

6、設(shè)計說明書優(yōu)點：（1） h（n） 完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)時域逼近良好。（ 2）線性相位模擬 濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器。缺點： （1）對時域的采樣會造成頻域的“混疊效應(yīng)”，故有可能使所設(shè)計數(shù)字濾波器的頻 率響應(yīng)與原來模擬濾波器的頻率響應(yīng)相差很大。（ 2）不能用來設(shè)計高通和帶阻濾波器。 只適用于限帶的低通、帶通濾波器。方案二：雙線性變換法雙線性變換法是從頻域出發(fā)，使 DF的頻率響應(yīng)與 AF 的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。 直接使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，逼近模擬濾波器的頻率響應(yīng) , 進而求得 H（z） 。優(yōu)點：（1）避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象。 （2）在特定 AF 和特定 DF處，頻率響應(yīng)

7、是嚴(yán)格相 等的，它可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率的位置。（ 3）它是一種簡單的代數(shù)關(guān)系，設(shè)計十分 方便。缺點：（ 1）除了零頻率附近， 與 之間嚴(yán)重非線性，即線性相位模擬濾波器變?yōu)?非線性相位數(shù)字濾波器。（ 2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸 變。（ 3）對于分段常數(shù)型 AF 濾波器，經(jīng)雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的 DF.但在各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生畸變，這種頻率的畸變，可通過頻率預(yù)畸變加以 校正。方案三：頻率變換法設(shè)計思想：從歸一化模擬低通原型出發(fā)， 先在模擬域內(nèi)經(jīng)頻率變換成為所需類型的模 擬濾波器；然后進行雙線性變換， 由 S域變換到 Z域，而得到所需類型的數(shù)

8、字濾波器。 先 進行雙線性變換， 將模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字低通濾波器； 然后在 Z域內(nèi)經(jīng)數(shù)字頻 率變換為所需類型的數(shù)字濾波器。綜上所述，頻率變換法是基于雙線性變換法或沖激響應(yīng)不變法（用于頻帶變換），此 處選擇雙線性變換法主要是基于要獲得嚴(yán)格的頻率響應(yīng)， 以及較準(zhǔn)確地控制截止頻率的位 置。而由于此種方法是一種簡單的代數(shù)關(guān)系，設(shè)計也十分方便。2.3 典型模擬濾波器比較1 Butterworth 巴特沃斯濾波器：它具有單調(diào)下降的幅頻特性，即最平幅度。武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書2Chebyshev切比雪夫濾波器：在通帶或阻帶等波紋，可提高選擇性。3 Bessel 貝塞爾濾波器：在通

9、帶內(nèi)有較好的線性相位特性。4 Ellipse 橢圓濾波器：其選擇性相對前三種是最好的。 此處選擇巴特沃斯主要是想獲得最平穩(wěn)的幅頻響應(yīng)。 而不計較相位特性， 而用雙線性 變換法也會將線性相位變?yōu)榉蔷€性相位。2.4 設(shè)計步驟如設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器， 其技術(shù)指標(biāo)為： 通帶臨界頻率 fp ，通帶內(nèi)衰減小于 rp；阻帶臨界頻率 fs ，阻帶內(nèi)衰減大于 s ；采樣頻率為 FS。1)將指標(biāo)變?yōu)榻穷l率wp2 fp / Fs ；w s 2 fs / Fss2)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)Wk由 wk=(2/T)tan(Wk/2)式 2-1 )轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo) wk,由于是用雙線性不變法設(shè)計，故先采取預(yù)畸變

10、。3)2 wp2 wsp tg s tgT2 ；T2式 2-2 )將高通指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通指標(biāo)，進而設(shè)計高通的 s 域模型4)歸一化處理pp1 p p 1p1p1p式 2-3 )式 2-4 )式 2-5 )H(z)=H( s)| 1 z 1sHaL(p)|p c11 zz11式 2-6 )sssp；1 10 S /10 1N 21 lg 1100 p/10 11 /lg( S)由式 2-3 ，2-4 ，2-5 計算出 N，查表可得模擬低通濾波器的階數(shù)，從而由下式確定模 擬高通濾波器的參數(shù)。2.5 解析計算1) 確定高通上下邊帶歸一化數(shù)字角頻率wp 2 fp/Fs 0.8ws 2 fs /Fs 0.

11、 4武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書2) 預(yù)畸變，將數(shù)字高通指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通指標(biāo)p 2/T cot( wp/2) 6155.4 ； s 2/T cot( ws/2)1453.13) 求階數(shù) N 及 c根據(jù)巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j )|211 ( j j c )2N，其中 N為濾波器的階數(shù)， c 為-3dB 頻率。由|Ha( j ) | j1 ( jj cp)2N31020和 |Ha( j ) |201020 聯(lián)立，得atN lg(1010 1) (1010 1)2lg( s p)將 At20，1， s 1453.1， p 6155.4 代入上式，得atlg(1010 1

12、) (1010 1)N lg(102lg( 1)s (10p) 1) =2.0595 ，故取整數(shù) N=3即選用三階巴特沃斯濾波器就能滿足性能指標(biāo)。 查表得，歸一化的模擬低通原型系統(tǒng)函數(shù) H (s)1H ( s ) 3 2s 3 2 s 2 2 s 14)5)去歸一化，將邊界頻率代入去歸一化的系統(tǒng)函數(shù) H(s)1s c 2 s c 1H ( s)2c6)求脈沖傳遞函數(shù) H(z) ，將 s2-1-1 代入上式即得系統(tǒng)函數(shù) H(z) ： 1- zH(z)0.0780 z 3 - 0.2339 z2 + 0.2339 z - 0.0780z 3 0.7958 z 2 0.5020 z0.0824綜上所

13、述：本設(shè)計中選用三階特沃斯濾波器求得系統(tǒng)函數(shù)：H(z)0.0780 z 3 - 0.2339 z 2 + 0.2339 z - 0.0780z 3 0.7958 z 2 0.5020 z 0.0824該系統(tǒng)經(jīng)理論計算滿足設(shè)計要求武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書3仿真程序的設(shè)計與調(diào)試3.1 數(shù)字域指標(biāo)變換成模擬域指標(biāo)其程序為：fp = 400 ; fs= 200;Rp = 1 ; Rs = 20;wp =fp*2*pi; ws =fs*2*pi;FS=1000;T=1/FS;程序執(zhí)行結(jié)果為： wp=2.5133e+003 ws=1.2566e+03 與實際計算結(jié)果相符。3.2 數(shù)字域頻率

14、進行預(yù)畸變其程序為：wp2=2*tan(Wp/2)/T;ws2=2*tan(Ws/2)/T; 經(jīng)過預(yù)畸變，可以發(fā)現(xiàn)頻率變?yōu)椋?wp2= 6.1554e+003 ws2= 1.4531e+0033.3 模擬濾波器的程序設(shè)計%設(shè)計模擬濾波器N,Wn = buttord(wp2,ws2,Rp,Rs,s);%創(chuàng)建 Buttord低通濾波器原型%由零極點轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)的形式%模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);figure(1)freqs(Bap,Aap);%模擬低通變高通title( 模擬濾波器(低通原型)的頻率響應(yīng) )Bbs,Abs=lp

15、2hp(Bap,Aap,Wn);figure(2)freqs(Bbs,Abs);title( 模擬濾波器的頻率響應(yīng) )武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書程序執(zhí)行后可以發(fā)現(xiàn)其頻率響應(yīng)為： N=3，其波形如下圖 3-1圖 3-1 模擬濾波器的頻率響應(yīng)由上圖分析可得：其符合高通的一般特征，與預(yù)期的效果一樣。而在此條件下，模擬 濾波器低通原型的波形如下圖 3-2 。圖3-2模擬濾波器(低通原型)的頻率響應(yīng)在設(shè)計的過程中， 涉及一個頻率變換的問題， 即將模擬低通原型變?yōu)楦咄ǎ?其函數(shù)及 用法： b,a=lp2hp(Bap,Aap,Wn);功能：把模擬濾波器原型轉(zhuǎn)換成截至頻率為 Wn 的高通濾波器。

16、其中， Bap，Aap 分別為低通傳遞函數(shù)的分子向量和分母向量； b，a分別為高通傳遞函數(shù)的分子向量和分母向量武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書3.4 模擬濾波器變成數(shù)字濾波器其程序為：Bbz,Abz=bilinear（Bbs,Abs,FS）; %用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器3-3 所示。freqz（Bbz,Abz,512,FS）; 程序運行的結(jié)果為：如圖圖 3-3 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)由于使用的是雙線性不變法設(shè)計的， 其相位為非線性。 此處主要是基于要獲得嚴(yán)格的頻率響應(yīng)，以及較準(zhǔn)確地控制截止頻率的位置，故畫出了詳細(xì)的幅頻響應(yīng)。 （如下圖 3-4 ）圖 3-4 詳細(xì)的幅頻響應(yīng)分析該圖可知

17、其在 0.4 （即 200Hz）處的衰減為 20dB，而在 0.8 （即 400Hz）處的衰武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書減極小，應(yīng)小于 1dB。由此可見，此設(shè)計符合要求設(shè)計的參數(shù)。而在調(diào)試的過程中發(fā)現(xiàn)： 通帶衰減越小， 濾波器的性能越好；阻帶衰減越大， 濾波器 的性能越好；其曲線也越陡峭，選擇性越好，當(dāng)然所用的濾波器階數(shù)也越高。當(dāng)阻帶衰減變?yōu)?40dB（之前為 20dB），通帶不變時，其波形如下圖 3-5。對比上圖 3-4 可知，其在阻帶臨界頻率處衰減變?yōu)榱?40dB，曲線變陡峭了。圖 3-5 詳細(xì)的幅頻響應(yīng)（阻帶衰減為 40dB ）當(dāng)通帶變?yōu)?5dB 時，阻帶不變時，其波形如下圖

18、 3-6。對比圖 3-5可知，其在通帶處 的衰減變?yōu)榱?5dB，曲線平滑了一些。圖3-6 詳細(xì)的幅頻響應(yīng)（通帶衰減為 5dB ）武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書3.5 理論計算數(shù)字濾波器的仿真 wp=0.8*pi; ws=0.4*pi;OmegaP=2*1000*tan(wp/2);OmegaS=2*1000*tan(ws/2); lamdas=OmegaP/OmegaS;N=0.5*log10(10.(20/10)-1)/(10.(1/10)-1)/log10(lamdas); %筆算的結(jié)果為 N=2.0595；故取 N=3 %此處為計算高通的傳遞函數(shù)Wn= 3.1253e+03 a

19、z=0 0 0 1; bz=1 2 2 1;Bbs,Abs=lp2hp(az,bz,Wn) %用雙線性不變法處理 Bbz,Abz=bilinear(Bbs,Abs,1000);其運行結(jié)果為： N=2.0595；圖形如圖 3-7圖 3-7 理論計算的濾波器的幅頻響應(yīng)綜上所述，本濾波器以三階即實現(xiàn)了預(yù)期的設(shè)計目標(biāo)：采樣頻率為1000Hz，通帶臨界頻率 fp =400Hz，通帶內(nèi)衰減小于 1dB（p=1）；阻帶臨界頻率 fs=200Hz，阻帶內(nèi)衰減大于 20dB（s=20），其在通帶內(nèi)的性能更好。10武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書4. 仿真電路Simulink 是一個與 MATLAB融為一

20、體，對動態(tài)的系統(tǒng)進行模擬， 仿真和分析的應(yīng)用軟 件。這樣的動態(tài)系統(tǒng)既可以是線性的也可為非線性的， 可以是連續(xù)，離散或者兩者混合的。 使用 Simulink 仿真結(jié)果能夠很好的了解所設(shè)計的濾波器的濾波效果，通過濾波前后信號 的對比，可以準(zhǔn)確判斷地所設(shè)計的濾波器的精確性，因此 Simulink 是濾波器設(shè)計不可缺 少的環(huán)節(jié)。巴特沃斯高通濾波器的 Simulink 仿真模塊Scope1 波形Scope2 波形11武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書5. 總結(jié)與體會在課設(shè)之前，我對 MATLAB軟件，特別是濾波器設(shè)計中的函數(shù)基本上處于一種模糊狀 態(tài)。通過借閱圖書，一點一滴的自學(xué)，以及和同學(xué)不斷的交

21、流，最后完成了這次課設(shè)，對 濾波器的設(shè)計有了比較清楚的了解。在課程設(shè)計的過程中，我學(xué)到了很多東西，比如設(shè)計濾波器的一些基本函數(shù)的用法， 各種模擬濾波器的特性， 設(shè)計濾波器的一些基本方法。 但更為重要的是， 我對于解決一個 問題的思路更加清晰， 找到了屬于自己的方法。當(dāng)然，在設(shè)計的過程中，不可能避免的遇 到了很多問題， 如剛開始思路比較混亂， 沒有明確的方向。 主要是如何將理論計算的模型 轉(zhuǎn)換為仿真模型。 因為在理論上， 將低通轉(zhuǎn)換成高通， 一般是變換將高通頻率特征轉(zhuǎn)換成 低通原型頻率特征； 而在軟件設(shè)計中， 是對其傳遞函數(shù)進行修改， 即變換其 z 域的表達式， 設(shè)計初期一直不知道如何將其聯(lián)系起

22、來。 后來發(fā)現(xiàn)， 其實變換傳遞函數(shù)， 也就是變換頻率 特征，是將變換后的頻率代入原低通模型，而后得到高通模型的。總的來說，這次課程設(shè)計讓我對 MATLAB有了更深刻的了解，對數(shù)字濾波器的設(shè)計流 程有了大致的了解， 掌握了一些設(shè)計濾波器的基本方法， 提高了理論用于實踐的能力， 掌 握了更多專業(yè)相關(guān)的使用知識與技能。同時，也暴露了我很多的不足，在以后的學(xué)習(xí)中， 將進一步發(fā)揚優(yōu)點，克服缺點。12武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書參考文獻1 丁玉美.高西全.數(shù)字信號處理 （第三版）M. 西安:西安電子科技大學(xué)出版社 .20082 劉艷萍.DSP技術(shù)原理及應(yīng)用教程 M. 北京: 北京航空航天大學(xué)出

23、版社 .20073 徐紅,李剛, 黃朝耿.一種設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的參數(shù)化方法 J. 電子學(xué)報 .20124 劉興,張鶴.基于 Matlab 的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計與仿真分析 J. 機電設(shè)備.201513武漢理工大學(xué)信號分析與處理課程設(shè)計說明書附錄一 總程序如下fp = 400; fs = 200;Rp = 1;Rs = 20;wp =fp*2*pi;ws =fs*2*pi;FS=1000;T=1/FS;Wp=wp/(FS);Ws=ws/(FS); wp2=2*tan(Wp/2)/T; ws2=2*tan(Ws/2)/T;N,Wn = buttord(wp2,ws2,Rp,Rs,s)

24、; z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);figure(1); freqs(Bap,Aap);title( 模擬濾波器(低通原型)的頻率響應(yīng) ); Bbs,Abs=lp2hp(Bap,Aap,Wn);figure(2); freqs(Bbs,Abs);title( 模擬濾波器的頻率響應(yīng) ); Bbz,Abz=bilinear(Bbs,Abs,FS);figure(3); freqz(Bbz,Abz,512,FS); title( 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) ); hw,w=freqz(Bbz,Abz,512);figure(4); plot(w/pi,20*log

25、10(abs(hw); gridaxis(0,1,-200,10);title( Butterworth Type Highpass Digital Filter) xlabel(w/pi);ylabel(幅度(dB);%下面將筆算的結(jié)果仿真 wp=0.8*pi; ws=0.4*pi;OmegaP=2*1000*tan(wp/2);OmegaS=2*1000*tan(ws/2); lamdas=OmegaP/OmegaS;N=0.5*log10(10.(20/10)-1)/(10.(1/10)-1)/log10(lamdas); %筆算的結(jié)果為 N=2.0595；故取 N=3 %此處為計算高通的傳遞函數(shù)Wn= 3.1253e+03;az=0 0