一元二次方程難題解析

1、（范文素材和資料部分來自網(wǎng)絡(luò)，供參考?？蓮?fù)制、編制，期待你的好評與關(guān)注）元二次方程難題解答（一）2 2 21已知m是方程x x2=0的一個根，則代數(shù)式 （m _m）（m_+1）的值是m解：幕m是方程x2 -X -2 =0的一個根；m = 0方程兩邊除以 m得:(m2 -m)(m-2 1)-2 (1 1)-4 m2已知x =a是方程-2016x 1 =0 的一個根，求代數(shù)式 2a2 -4031a - 120?6a的值a2 1解：；x = a是方程x2 -2016x，1 = 0的一個根2 2 2.a -2016a 1=0. a -2016a - -1 或 a 1 =2016a2a2 -4031a

2、122016a= 2a2 -4032a a 122016a2016a= 2(a2 -2016a) a 1 -a3關(guān)于m的方程7nm2 -n2m -2 =0的一個根為2,求n2 n，的值。解：由題意得：m=2 把m=2代入方程得： 47 n-2n 2-2=0整理得：n2-2、.7n，1=0方程兩邊除以n得：n -27 - = 0 n - = 2 7nn1方程兩邊平方得：n2 22 =28. n2 n-26n2 1 2 14.已知(m22 -4)2 =36，求 m 的值。mm11解： (m2廠4)2 =36. m2，_4= 6mm2 1 2 1m 2 =10 或 m 2 = -2 (舍去)mm(m

3、-丄)2 2=10 即(m-丄)2 =8口-丄=2.2mmm5用換元法解下列方程：(1)(x2 -1)2 -3(x2 -1H0解：設(shè)X2y，則原方程為y2 一 3y = 0y(y-3)=o當(dāng) y =0時，x2 -1 =0x = 1 當(dāng) y = 3 時，x2 -1 = 3x -2原方程的解為Xi= 1X2- -1x3= 2X4-22 26設(shè)x、y為實數(shù)，求x 2xy 2 y -4y 5的最小值，并求出此時 x與y的值。解：x2 2xy 2y2 _4y 5 =(x2 2xy y2) (y2 _4y 4) 1=(x y)2 (y-2)21(x y)2_0 (y2)2_0. (x y)2 (y -2)

4、2 1 _ 1x + y = 0x = -2當(dāng)y 即丿時，該式的最小值為1y-2=0y =27.關(guān)于x的方程m(x h)2 k = 0(m、h、k均為常數(shù)， m = 0)的解是 捲-32x2 =2，求方程 m(x h3) k = 0 的解。解：m(x h)2 k = 02(x h)=k.mx h2m(x h -3)k =02(x h -3)二k.m8對于*，我們作如下規(guī)定：2 2a*b 二 a -b 2，試求滿足（2x，1）*x=10 的 x 的值。解:由題意得：(2x 1)2 -x2 2 =104x2 4x 1 -x2 2 = 03x2 4x -7 =0(x_1)(3x 7) =0x-1=0

5、 3x 7=0人=1 x2-739解含絕對值的方程：解方程：x2 - x -1 -1 = 0解：當(dāng)x -1 0時，即x 1，原方程化為x2-(x-1)-1=0 即x?-x=O 解得：論=0x2 = 1；x _1，故xi =0（舍去）X2 =1是原方程的解當(dāng) x 1 c0時，即 x ci, x 1 =1 -x2 2原方程化為 x _(1_x)-1=0 即 x ，x-2=0 解得：x1 = 1x2 - -2x : 1，故x1 =1（舍去）x2 - -2是原方程的解綜上所述，原方程的解為 洛=1, x2二-22 1110. 解方程：x 2-2（x）=1xx121解：配方得：（x）2當(dāng) = /時，x

6、-2x = -4，即x -2x 4 = 0，此方程無實數(shù)解當(dāng) y2 =3 時，x22x=3，即 x22x3 = 0，解得：x 3, x -1經(jīng)檢驗：捲=3, x2 = -1是原方程的解。217.已知關(guān)于x的一元二次方程 （a c）x 2bx，（a-c）=0，其中a、b、c分別為 ABC三邊的長。（1）如果X=T是方程的根，試判斷厶 ABC的形狀，并說明理由；（2 ）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷厶ABC的形狀，并說明理由；（3）如果 ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根。-2（x）-3 = 0xx12設(shè)xy，原方程可化為y2x3 = 0，解得y1 = 3 y2 = -1x c123

7、V5當(dāng) =3 時，x 3，即 x -3x，1 = 0，解得 x 二x21 2當(dāng)y2 = -1時，x1,即x2 -x 1 = 0，方程無實數(shù)解 。x，丄入人3 + J53 經(jīng)檢驗：X1， X2是原方程的解。2 211. 解方程：x2 - J22x-1x2 -2x212解: x2x -二1=0x -2x2 12 2設(shè)x - 2x = y，則原方程可化為y1=0， y ，y12=0 ,解得：y -4 y2 = 3y解：(1 )把x =1代入方程得：ac-2ba-c = 0. 2a_2b = 0即a = b. ABC為等腰三角形2 2 2 2 2 2 2(2).： =(2b) 4(a c)(ac)=4

8、b 4(a c)=4b -4a 4c又；方程有兩個相等的實數(shù)根.4b2 -4a2，4c2 =0 即 b2 c2 二 a2. ABC為直角三角形2(3)當(dāng)a = b = c時，原方程化為x x = 0 解得：Xr = 0 x2 - -1218.已知關(guān)于x的方程的方程(m .、3)xm J - 2(m-1)x-1=0(1) m為何值時，原方程是一元二次方程?(2) m為何值時，原方程是一元一次方程?解：(1)由題意得:m +13 式 02、m2 -1 = 2解得.當(dāng)m=3時，原方程為一元二次 方程(2 )當(dāng)原方程是一元一次方程時，m的值應(yīng)分三種情況討論： m +3 -0 解得 m =2(m -1)

9、式 0 2m 1 =1l 廠解得m = J2m -2(m -1) = 0m2 _1 =0 解得m = -1Z(m1)式 0綜上所述：當(dāng) m二- .、3, -1,-、2或2時，原方程是一元一次方程。19.用配方法求二次三項式的最大值與最小值(1)當(dāng)x為何值時，代數(shù)式 2x2 -2x -1有最小值？并求出最小值2 2 2 1 1 2x -2x -1 =2(x -x) -1 =2(x -x442十2(x)214221 23= 2(x)2 -2 21 23當(dāng)x 時，代數(shù)式2x2-2x-1有最小值-2 22(x)2 _0. 2(x_)22 2 2(2 )當(dāng)x為何值時，代數(shù)式 -3x 6x 4有最大值？并

10、求出最大值解：_3x? _6x 43(x2 2x 1 一1) 4 = _3(x 1)2 7-3(x 1)2 乞 0. -3(x 1)2 7 1k 一121.關(guān)于x的一元二次方程X2-1 X -1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。k 1 臭0解由題意得：2己=(Jk-1)+4022.關(guān)于x的方程mx2 x-m，1 =0有以下三個結(jié)論：當(dāng)m = 0時，方程只有一個實數(shù)根;當(dāng)m = 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；無論m取何值時，方程都有一個負(fù)數(shù)解；其中正確的是方程只有一個實數(shù)根解：當(dāng)m = 0時，原方程為x 1 = 0 x - -1 當(dāng)m = 0時，厶=1-4m(-m 1) = 4m2

11、-4m 1 = (2m-1)2 _ 0方程有兩個實數(shù)根2 當(dāng)m=0時，x = -1當(dāng)m = 0時，匹1-二-仁如-1)2m2m1% =1x2 = -1-無論m取何值時，方程都有一個負(fù)數(shù)解m223. 關(guān)于x的方程(a -6)x -8x +6 = 0有實數(shù)根，則整數(shù) a的最大值是 解：當(dāng)a = 6時，原方程為 8x 6 = 0 x = 3當(dāng) a - 6時，: = 64 - 24(a - 6) = -24a 208 -0a 84-整數(shù)a的最大值是824. 已知關(guān)于x的一元二次方程(X-3)(X-2) =|m，求證：對于任意實數(shù) m ,方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的一個根是1，求m的值及方

12、程的另一個根。解：(1) (x 3)(x 一2) =|mx25x+6m=0 A = (5)2 4(6 m) = 4 m +1 0.對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根(2)把 x=1 代入原方程得：(13)(12)=mm = =22.原方程為(x -3)(x -2) = 2 x -5x 4 = 0 捲=1 x 4.m=2，方程的另一根為x=425.已知關(guān)于x的方程x2 -(3k 1)x 2k2 20，( 1)求證：無論k取何實數(shù)值，方程 總有實數(shù)根；(2)若等腰三角形 ABC的一邊長a =6，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個 根，求此三角形的周長。解：1) ： - L(3k 1) 2 -

13、4(2k2 2k) = 9k2 6k 1 -8k2 -8k = k2 -2k 1 = (k-1)2 _0.無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根x| = 2k3k+1J(k1)2 3k+1土(k1)當(dāng)b = c時，方程有兩個相等的實數(shù)根,k =1(2) X =不能構(gòu)成三角形。當(dāng)腰長為6時，2k =6C ABC=6 6 4 =162k =10C ABC=6 6 10 =22綜上所述：C ABC = 16或2226.若關(guān)于x的方程x2 -(m 5)x4 = m恰好有3個實數(shù)根,解:一(m+5)x +4-m=0 丁方程恰好有3個實數(shù)根x1 0 x2 =0.4m=0 m=4a的取值范圍227.若關(guān)于x的方程

14、ax 2(a2)x0有實數(shù)根，則實數(shù)解：當(dāng)a = 0時，原方程為4x =0方程有解x = 0當(dāng) a = 0時，：-2( a 2) 2 - 4a2 二 4a2 8a 8 - 4a2 = 8a 8-方程有實數(shù)根 8a- 0a - -1綜上所述：a - -128.如果關(guān)于x的一元二次方程 kx2 - 2k 1 x 0有兩個不相等的實數(shù)根，則 k的取值 范圍k01i解：由題意得：2k+1王0解得： 一蘭kw且kOJ o 2 2A = (_j2k+1)2 _8k029.設(shè)方程x2 +ax =4只有3個不相等的實數(shù)根，求 a的值和相應(yīng)的3個根。解：x2 ax =4或x2 ax - -4. x2 ax -

15、4 = 0或x2 ax 4 = 0-a2160.第一個方程有兩個不相等的實數(shù)根厶2二a2-16 :原方程只有3個不相等的實數(shù)根，.厶2=0即a2-16 = 0 a二4當(dāng) a = 4時，x2 4x - 4 = 0或x2 4x 4 = 0 石-2 2.2 x2 - -2 - 2.2 x3 - -2 當(dāng) a = -4 時，x2 -4x-4 =0 或 x2-4x 4=0 %=2 2、. 2 x2 = 2 - 2.2 x3 = 2 綜上所述：a = 4，當(dāng) a = 4時，為=-2 2.、2 x -2-2.2 x3 = -2當(dāng) a = -4 時，x = 2 2 2 x2 = 2 - 2.2x3 = 223

16、0.已知函數(shù)y 和y二kx 1(k = 0) ,( 1)若這兩個函數(shù)圖象都經(jīng)過點(1, a)，求a和k的x值。(2)當(dāng)k取何值時，這兩個函數(shù)總有公共點？- 2解: ( 1) 函數(shù)y 經(jīng)過點(1, a) a = 2-該點為(1, 2)x.2 二k 1 k =1(2)y.2 kxx-2=0:兩個函數(shù)總有公共點方程有實數(shù)解y 二 kx 1k01+82 0解得：且2 231.已知關(guān)于x的一元二次方程x (2k1)x k -2=0的兩根為x1和x2，且 (X1 2)( X1 X2)= 0，求 k 的值。解：，(x1 - 2)( X1 - X?) = 0- X1 - 2 = 0 X1 - X? = 0當(dāng)x

17、2時，把x2代入原方程得：4 - 2(2k 1) k0整理得：2k 4k 4 = 0 解得：k = -2當(dāng)&-X2 =0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即.: =(2k J) x1 x -(2k 1) :： 0xm2 二 k2 1 0論：0x2 ： 0 4(k2 -2) =099解得：k綜上所述：k = -2或4431.(1)已知：2p-p _1=0，1 q _q2 =0,pq 1且pq 1 ，求的值。q解：由p2 -p-1 =0，1 -q-q 二 0p = 0 q = 0又1pq = 1. p -q 21 -q -q=0可化為(丄)211=0 .2 1 2 p _p-1 = 0 與1-1 = 0

18、是同解方程q qq q.p和-是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根.p - =1即E口 =1qqq,11/c11彳 c 口 11亠 11“(2) 若 21=0，二 1=0且，求一2 的值。mmnnmnmn1 1 1 1 1 1解：；冷一丄_1=0與冷_丄_1=0是同解方程，且 丄=丄m mn nm n1 1 2, 為方程x -x -1 =0的兩個不相等的實數(shù)根m n丄丄=1丄1丄丄(丄)2亠(少3m n mnm n m n mn2152(3) 若 2m2-5m-1=0,二 2=0 且 m = n,求(m-n)2 的值。n n15-解：；n = 0-方程一2=0兩邊乘以n得：2n 5n 1=0n n-2m2 -5m -1 =0 與 2n2 -5n -1 =0是同解方程251-m、n為方程2x -5x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根 m，nmn =2 22 2(m _n) (m n) _4mn-4 (亠色24關(guān)于x的一元二次方程x2 (2k 1)x k2 0有兩個不相等的實數(shù)根 x1, x2，( 1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實數(shù)根x1,x2滿足x.+x2= x1x