一元二次方程常見題型[共46頁]

1、高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)一 元 二 次 方 程一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：解與解法一元二次方程根的判 別韋達(dá)定理二、考點(diǎn)精析考點(diǎn)一、概念(1) 定義：只 含 有 一 個(gè) 未 知 數(shù) ,并且未 知 數(shù) 的 最 高 次 數(shù) 是 2,這樣的整式方程 就是一元二次方程。2 bx c a(2) 一般表達(dá)式： ax 0( 0)難點(diǎn) ：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù),或系數(shù)也有待定,則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例 1、下列方程中是關(guān)于 x 的一元二次方程的是（ ）2 x1 1A 3 x 1 2 1 B 2 02 x x2 bx c 2

2、 x x2C ax 0 D x 2 12 x x 2 變式：當(dāng) k 時(shí),關(guān)于 x 的方程 2 3kx 是一元二次方程。m例 2、方程 m 2 x 3mx 1 0是關(guān)于 x 的一元二次方程, 則 m 的值為 。針對(duì)練習(xí)：21、方程 8 7x 的一次項(xiàng)系數(shù)是 ,常數(shù)項(xiàng)是 。m 12、若方程 m 2 x 0是關(guān)于 x 的一元一次方程,求 m 的值；寫出關(guān)于 x 的一元一次方程。2 m x3、若方程 m 1 x 1是關(guān)于 x 的一元二次方程, 則 m 的取值范圍是 。 4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程,則下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D

3、.m=n=1考點(diǎn)二、方程的解概念： 使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解。應(yīng)用 ：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：2 y 2 y例 1、已知 2y 3的值為 2,則 4y 2 1的值為 。2 x a2例 2、關(guān)于 x 的一元二次方程 a 2 x 4 0的一個(gè)根為 0,則 a 的值為 。1高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)2 bx c a例 3、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ax 0 0 的系數(shù)滿足 a c b ,則此方程必有一根為 。2 x m 2 y m 例 4、已知 a,b是方程 4 0x 的兩個(gè)根, b,c 是方程 y 8 5 0的兩個(gè)根,則 m 的值為 。針對(duì)練習(xí)：2 kx1、已知方程

4、10 0x 的一根是 2,則 k 為 ,另一根是 。x 12、已知關(guān)于 x 的方程 x2 kx 2 0的一個(gè)解與方程 3的解相同。x 1 求 k 的值； 方程的另一個(gè)解。2 x 23、已知 m 是方程 1 0x 的一個(gè)根,則代數(shù)式 m m。2 x24、已知 a是 3 1 0x 的根,則 2a 6a。2 b c x c a5、方程 a b x 0的一個(gè)根為（ ）A 1 B 1 C b c D a 6、若x y2x 5y 3 0,則4 32 ?？键c(diǎn)三、解法方法： 直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)： 降次2類型一、直接開方法： x m m 0 , x m2對(duì)于 x a m,2 bx n2

5、ax m 等形式均適用直接開方法典型例題：2例 1、解方程： 1 2x 8 0;2 22 25 16x =0; 3 1 x 9 0;例 2、若2 16 229 x 1 x ,則 x 的值為 。針對(duì)練習(xí)： 下列方程無解的是（ ）2 x2 2 2A. x 3 2 1 B. 2 0x C. 2x 3 1 x D. x 9 0類型二、因式分解法 : 0x x1 x x x x1,或x x22方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積,右邊為“ 0”,2高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)方程形式：如2 bx n2ax m , x a x b x a x c ,2 ax ax 220典型例題：例 1、 2x x 3

6、5 x 3 的根為（ ）A5 5x B x 3 C x1 , x 3 D22 2x252 x y例 2、若 4x y 3 4 4 0,則 4x+y 的值為 。變式 1：22 b a b 6 0,則a b2 2 2 2 2a 。變式 2：若 x y 2 x y 3 0,則 x+y 的值為 。2 xy y 2 xy x變式 3：若 x 14 , y 28,則 x+y 的值為 。2 x例 3、方程 x 6 0 的解為（ ）A. x1 3,x2 2 B. x1 3,x2 2 C. x1 3,x2 3 D. x1 2,x2 22 x例 4、解方程： x 2 3 1 2 3 4 02 xy y2例 5、已

7、知 2x 3 2 0,則xxyy的值為 。2 xy y2變式：已知 2x 3 2 0,且 x 0, y 0,則xxyy的值為 。針對(duì)練習(xí)：1、下列說法中：2 px q 2 px q x x x x 方程 0x 的二根為 x1 , x2 ,則 x ( 1)( 2)2 x x x x 6 8 ( 2)( 4) .2 ab b2 a a a 5 6 ( 2) ( 3)2 y x y x y x y2 x ( )( )( )2方程 (3x 1) 7 0可變形為 (3x 1 7)(3x 1 7) 0正確的有（ ）A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)2、以1 7 與1 7 為根的一元二次方程是（

8、）3高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)2 x 2 xA x 2 6 0 B x 2 6 02 y 2 yC y 2 6 0 D y 2 6 03、寫出一個(gè)一元二次方程,要求二次項(xiàng)系數(shù)不為 1,且兩根互為倒數(shù)：寫出一個(gè)一元二次方程,要求二次項(xiàng)系數(shù)不為 1,且兩根互為相反數(shù)：4、若實(shí)數(shù) x、y 滿足 x y 3 x y 2 0,則 x+y 的值為（ ）A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 21 25、方程： x 2 的解是 。2x2 xy y2 6、已知 6x 6 0,且 x 0, y 0,求2x3x6yy的值。2 x 7 、 方 程 1 9 x9 9 1 9 9280 0 01

9、0 的 較 大 根 為 r , 方 程20072 xx 2008 1 0 的較小根為 s,則 s-r 的值為 。2 bx c a類型三、配方法 ax 0 0x22bb4ac22a 4a在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：2 x例1、 試用配方法說明 2 3x 的值恒大于 0。2 y2 x y例2、 已知 x、y 為實(shí)數(shù),求代數(shù)式 x 2 4 7的最小值。2 2例3、 已知 x y 4x 6y 13 0,x、y為實(shí)數(shù),求yx 的值。2 x例4、 分解因式： 4 12 3x針對(duì)練習(xí)：2 x 1、試用配方法說明 10 7 4x 的值恒小于 0。1 12

10、2、已知 4 0x x ,則2x xx1x.2 x 3、若 t 2 3x 12 9 ,則 t 的最大值為 ,最小值為 。4高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí) 4、如果 a b c 1 1 4 a 2 2 b 1 4 ,那么 a 2b 3c 的值為 。類型四、公式法2 ac 條件： a 0,且b 4 0公式：xb2b2a4ac2 ac, a 0,且b 4 0典型例題：例 1、選擇適當(dāng)方法解下列方程：22 x 31 x 6. x 3 x 6 8. 4 1 0x 3x2 4x 1 0 3 x 1 3x 1 x 1 2x 5例 2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2 x 2 x（1） x 2 2 3； （2） 4 8 1

11、x . 2 4 5 22x xy y 2 的因式分解,如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解,說明：對(duì)于二次三項(xiàng)式 ax bx c一般情況要用求根公式,這種方法首先令 ax 2 bx c =0,求出兩根,再寫成ax2 = ( )( )bx c x xa 1 x x .2分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號(hào)內(nèi),取決于能否把括號(hào)內(nèi)的分母化去 .類型五、 “降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值； 解二元二次方程組。典型例題：32x 1x1例1、 已知 x2 3x 2 0 ,求代數(shù)式的值。x 12 x 3 x2例 2、如果 1 0x ,那么代數(shù)式 x 2 7 的值。2 x例 3、已知 a 是一元二次方程 3 1 0x 的一根

12、,求3 2a 2a 5a 12a 1的值。5高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)例 4、用兩種不同的方法解方程組2x y 6, (1)2 xy y2x 5 60. (2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元,再降次；先降次,再消元。但都體現(xiàn)了一種配合的數(shù)學(xué)思想化歸思想,即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題 .2 考點(diǎn)四、根的判別式 b 4ac根的判別式的作用：定根的個(gè)數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它 。典型例題：2 kx例 1、若關(guān)于 x的方程 x 2 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 則 k 的取值范圍是 。2 mx m例 2、關(guān)于 x 的方程 m 1 x 2 0有實(shí)數(shù)根,則 m 的取值范圍是 (

13、 )A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 12 k x k例 3、已知關(guān)于 x 的方程 x 2 2 0(1)求證：無論 k 取何值時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰 ABC 的一邊長為 1,另兩邊長恰好是方程的兩個(gè)根,求 ABC 的周長。2 m x m例 4、已知二次三項(xiàng)式 9x ( 6) 2是一個(gè)完全平方式,試求 m的值.例 5、 m為何值時(shí),方程組2xmx22yy6,3.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解？針對(duì)練習(xí)：2 kx1、當(dāng) k 時(shí),關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 9x 是完全平方式。2、當(dāng) k 取何值時(shí),多項(xiàng)式 3x2 4x 2k 是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是

14、什么？2 mx3、已知方程 2 0mx 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則 m 的值是 .6高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)4、k 為何值時(shí),方程組ykx2,2 x yy 4 21 0.（1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解,并求此解；（2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；（3）沒有實(shí)數(shù)解 .2 mx x m2 m k 5、當(dāng)k 取何值時(shí), 方程 4 4 3 2 4 0x 的根與 m 均為有理數(shù)？考點(diǎn)五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：2 mx例 1、關(guān)于 x 的方程 m 1 x 2 3 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則 m 為 ,只有一個(gè)根,則 m 為 。2 x k k2例2、 不解方程,判斷關(guān)于 x 的方程 x 2 3根的情況。例 3、如果

15、關(guān)于 x 的方程 x2 kx 2 0 及方程 x2 x 2k 0均有實(shí)數(shù)根,問這兩方程是否有相同的根？若有,請(qǐng)求出這相同的根及 k 的值；若沒有,請(qǐng)說明理由?？键c(diǎn)六、應(yīng)用解答題“碰面”問題；“復(fù)利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊(duì)的慶祝晚宴, 出席者兩兩碰杯一次, 共碰杯 990 次,問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片,全組共送了 90 張,那么這個(gè)小組共多少人？3、北京申奧成功,促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展,某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場(chǎng), 根據(jù)計(jì)劃, 第一年投入資金 600 萬元, 第二年比第一年減少13,第三年比第二年減少

16、12,該產(chǎn)品第一年收入資金約 400 萬元,公司計(jì)劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回,還要盈利13,要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),該產(chǎn)品收入的年平均增長率約為多少？（結(jié)果精確到 0.1,13 3.61）7高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克 40 元的水產(chǎn)品, 據(jù)市場(chǎng)分析, 若按每千克 50 元銷售,一個(gè)月能售出 500 千克,銷售單價(jià)每漲 1 元,月銷售量就減少 10 千克,針對(duì)此回答：（1）當(dāng)銷售價(jià)定為每千克 55 元時(shí),計(jì)算月銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過 10000 元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到 8000 元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？5、將一條長 20cm

17、的鐵絲剪成兩段,并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個(gè)正方形。（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于 17cm2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于 12cm2 嗎？若能,求出兩段鐵絲的長度；若不能,請(qǐng)說明理由。（3）兩個(gè)正方形的面積之和最小為多少？6、A、B 兩地間的路程為 36 千米.甲從 A 地,乙從 B 地同時(shí)出發(fā)相向而行,兩人相遇后,甲再走 2 小時(shí) 30 分到達(dá) B 地,乙再走 1 小時(shí) 36 分到達(dá) A 地,求兩人的速度 .考點(diǎn)七、根與系數(shù)的關(guān)系2 bx c 前提：對(duì)于 0ax 而言,當(dāng)滿足 a 0、 0 時(shí),才能用韋達(dá)定理。主要內(nèi)容：bx x , x

18、xaca應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：2 x例 1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長恰是方程 2 8 7 0x 的兩根,則這個(gè)直角三角形的斜邊是（ ）A. 3 B.3 C.6 D. 62x k x2例 2、已知關(guān)于 x 的方程 k 2 1 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1, x2 ,（1）求 k 的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù) k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在,求出 k 的值；若不存在,請(qǐng)說明理由。例 3、小明和小紅一起做作業(yè),在解一道一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為 1）時(shí),小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng),而得到解為 8 和 2,小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù),而得到解為 -9 和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其

19、正確解應(yīng)該是多少？2 a 2 b 例 4、已知 a b , 2 1 0a ,b 2 1 0,求 a b8高頻題-易錯(cuò)題專項(xiàng)練習(xí)a2 a 2 b變式：若 2 1 0a , b 2 1 0,則bba的值為 。例 5、已知 , 是方程 x2 x 1 0 的兩個(gè)根,那么 4 3 .針對(duì)練習(xí)：1、解方程組x y2 y2x3,5(1)(2)2 a 2 b2已知 a 7 4, b 7 4 (a b) ,求baab的值。2 x 3 23、已知 x1 ,x2 是方程 x 9 0的兩實(shí)數(shù)根,求 x1 7x 3x2 66的值。22 ,問：是否存在實(shí)數(shù) m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)24、已知關(guān)于 X 的方程 x 2 m 2

20、x m 0根的平方和等于 56,若存在,求出 m的值,若不存在,請(qǐng)說明理由。一元二次方程溫習(xí)一）一元二次方程的定義2ax bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式,只含有一個(gè)末知數(shù)、且末知數(shù)的2 ； ；這三個(gè)方2 2最高次數(shù)是 2 的方程,叫做一元二次方程。 ax bx 0 ax c 0 ax 02b b 4ac2程都是一元二次方程。求根公式為x b 4ac 0 2a2二） ax bx c 0(a 0)。a 是二次項(xiàng)系數(shù)； b 是一次項(xiàng)系數(shù)； c 是常數(shù)項(xiàng),注意的是系數(shù)連同符號(hào)的概念。這些系數(shù)與一元次方程的根之間有什么樣的關(guān)系呢？21、 b 4ac當(dāng)0時(shí)方程有 2 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2、當(dāng)

21、 0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；3、當(dāng) 0時(shí)方程無實(shí)數(shù)根 .4、當(dāng) 0時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（方程有實(shí)數(shù)根） ;5、ac0 有兩個(gè)負(fù)根不相等C0兩根同號(hào)b0有 兩 個(gè)不相等的實(shí)C0 負(fù)根絕對(duì)值較大 (正根絕對(duì)值較小 )b0)b0 一根為 0 另一個(gè)根為負(fù)根C=0一根為零b0 有兩個(gè)相等的負(fù)根=0有 兩 個(gè)相等的實(shí)數(shù)b01 有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根 x 1.x 20x 1+x202 有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根 x 1.x 20x1+x2003負(fù)根的絕對(duì)值大于正根的絕對(duì)值x 1.x 2 0x1+x204 兩個(gè)異號(hào)根正的絕對(duì)值較大 x 1.x 20 05 兩根異號(hào),但絕對(duì)值相等 x 1.x 206 一個(gè)負(fù)根,一

22、個(gè)零根 x1.x 2 0x1 +x20x1 +x2008 有兩個(gè)相等的負(fù)根 x 1.x 20x1+x20x1+x20 010 有兩個(gè)相的等的根都為零 x 1.x 20x1+x20011 兩根互為倒數(shù) x 1.x 2112 兩根互為相反數(shù) 0x 1+x2013 兩根異號(hào) 0 14 兩根同號(hào) 0x 1.x 2015 有一根為零 0 16 有一根為1 0x 1.x 20 a+b+c=017 有一根為-1 012高頻題-易錯(cuò)題專項(xiàng)練習(xí)a-b+c=018 無實(shí)數(shù)根 0x m x m 01 22+bx+c (a0)這個(gè)二次三項(xiàng)式是完全平方式 0 20 ax 2+bx+c 0 (a0)（a、b、c 都是有理

23、數(shù)）的根為有理根,則 是一個(gè)完全21 方程 ax平方式。2+bx+c 0 (a0)的兩根之差的絕對(duì)值為：22 方程 axx1 x 2a23 0, 方程 ax2+bx+c 0 (a0)有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。24 0, 方程 ax2+bx+c 0 (a 0)無實(shí)數(shù)根 .25 方程 ax2+bx+c 0 (a0)一定有一根為“ 1” 0a+b+c=02b b 4ac2+bx+c 0 (a0)的解為b 4ac 0226 方程 ax x2a2+bx+c 0 (a0)若 0 則27 方程 ax x1 x 2bax1 x 2cax1 x 2ac注：凡是題中出現(xiàn)了 x1.x 2021 例題 m為何值時(shí),方程 3

24、x 10x m 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；無實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有一根為0；兩根同號(hào)；有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根；兩根互為倒數(shù)。2 例題k為何值時(shí)關(guān)于 x 的方程 x 2 4 mx 4x 3m 2 2m 4k 0 (m為有理數(shù) )的根為有理數(shù)。23 例題 不論m為何值時(shí)x 2 x 3 m 1都可以分解成二個(gè)一次因式的積13高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)24 例題 已知方程 x 4x 2m 8 0的兩根一個(gè)大于 1,另一個(gè)根小于 1,求 m的值的范圍。 2+bx+c 0 (a0)的實(shí)數(shù)根為 m、n 求下列對(duì)稱式子的值5 例題 已知方程 ax1m1n；2 n 2m ；nmmn；3 n3m ；2m n ；

25、m n 。2 , b 2 2b26 例題 已知實(shí)數(shù) a、b 滿足 a 2 2a且 a b 求baab的值。2 P 5q2 2q 1 07 例題已知 p 2 5 0.12p 的值。其中 p、q 為實(shí)數(shù)。求 2q2+bx+c 0 (a0) 8 用配方法求下面關(guān)于 x 的一元二次方程 ax9 已知 x a x b x b x c x c x a 是一個(gè)完全平方式,若 a0 試證明：2方程 ay by c 0無實(shí)數(shù)解。14高頻題-易錯(cuò)題專項(xiàng)練習(xí)210 已知關(guān)于 x 的方程 x 2k 4x k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, （1）求 k 的取值范圍。（2）化簡k 2 k 2 4k 411、求非對(duì)稱性式子的值

26、（解題思想是逐次降次）2 X X 3 X 2例 1 已知 X 1 0求 2 2003的值。2 X 2例 2設(shè)a、b 是方程 2009 0X 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求 a 2a b的值。12 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(說明選用的理由）2 9 x 1 42 x 2x 12 3y 6y 2 02 x 3x 14 0六）“歸舊”思想在解一元二次方程中的應(yīng)用“歸舊”就是把待解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化,歸結(jié)為能用已掌握的舊知識(shí)去解決的問題。一元二次方程有直接開平方法、配方法、因式分解法和公式法,這幾種解法,都是用“歸舊”的數(shù)學(xué)思想方法求解。下面就各種方法分別加以說明。直接開平方法 ：適用于等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式,

27、右邊是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的形式,形2如（ mx+n ）=p (m0,p 0)的方程。我們可以利用平方根的定義“歸舊”為兩個(gè)一元一次方程去解, 即有一元一次方程為mx+n= p ,分別解這兩個(gè)一元一次方程就得到原方程15高頻題-易錯(cuò)題專項(xiàng)練習(xí)的兩個(gè)根。用簡明圖表可表示為：直接開平方法：形如（ mx+n ）2=p (m0,p 0)根據(jù)平方根的定義兩個(gè)一元一次方程。歸舊配方法 ：最適用于二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的形式的一元二次方程,形 2+2kx+m=0 （當(dāng)然一般的形如 ax2+bx+c=0 a0 也可用 ,但不一定是最合適的方法） 。如 x2這類方程我們可以通過已掌握的配方的手段, 把原方程

28、“歸舊”為上述形如 （mx+n ）=p (m0,p 0) 的方程,然后再用直接開平方法的方法求解。用簡明圖表可表示為：配方法：一元二次方程通過配方歸舊2形如（ mx+n） =p (m0,p 0)的方程因式分解法 ：這種方法平時(shí)用的最多, 最適用于等式左邊能分解成幾個(gè)一次因式的積、而右邊必須為零的形式的一元二次方程方程。這類方程我們可以通過已掌握的因式分解的手段, 把原方程轉(zhuǎn)化為形如 (a1x+c1)(a2x+c2)=0 方程, 從而“歸舊”為a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ,再分別求出這兩個(gè)一元一次方程的根,就得到原一元二次方程的兩個(gè)解。用簡明圖表可表示為：因式分解法：一元二次方程通過分

29、解因式 兩個(gè)一元一次方程歸舊公式法 ：公式法的實(shí)質(zhì)就是配方法,只不過在解題時(shí)省去了配方的過程,所以解法簡單。但計(jì)算量較大,只有在不便運(yùn)用上述三種方法,且各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為較小的數(shù)值情況下才考慮使用該方法。由此可見以上四種解法都是運(yùn)用了歸舊的數(shù)學(xué)思想, 把新東西轉(zhuǎn)換成熟悉的舊的東西去解決。歸舊思想在初中數(shù)學(xué)中還有許多運(yùn)用：如解二元一次方程歸舊為一元一次方程,分式方程歸舊為整式方程,二元二次方程組歸舊為二元一次方程組或代入消元?dú)w舊為一元二次方程,平行四邊形、矩形、梯形通過添加輔助線歸舊為三角形問題等,由此可見熟練掌握歸舊數(shù)學(xué)思想,對(duì)增強(qiáng)解題能力,改善知識(shí)結(jié)構(gòu),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益。一元二次方程應(yīng)用

30、題總溫習(xí)一、 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是1.審:審清題意 : 已知什么 , 求什么 ?已, 未知之間有什么關(guān)系 ?2.設(shè):設(shè)未知數(shù) ,語句要完整 , 有單位 ( 同一 ) 的要注明單位；3. 列 : 列代數(shù)式 , 列方程；16高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)4. 解: 解所列的方程；5. 驗(yàn): 是否是所列方程的根 ; 是否符合題意；6. 答: 參考參考答案也必需是完事的語句 , 注明單位且要貼近生活 .注：列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是 : 找出等量關(guān)系二、一元二次方程,其應(yīng)用題的范圍也比較廣泛,歸納起來可大致有以下幾種類型 ：一）求互相聯(lián)系的兩數(shù)：連續(xù)的整數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 x+1連續(xù)的奇數(shù)：設(shè)

31、其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 x+2連續(xù)的偶數(shù)：設(shè)其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 x+2和一定的兩數(shù)（和為 a）：設(shè)其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 a-x差一定的兩數(shù)（差為 a）：設(shè)其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 x+a積一定的兩數(shù)（積為 a）：設(shè)其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 a/x商一定的兩數(shù)（商為 a）：設(shè)其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 ax（a/x ）例：兩個(gè)相鄰偶數(shù)的積是 168,求這兩個(gè)偶數(shù)。解：設(shè)其中一數(shù)為 x,另一數(shù)為 x+2,依題意得： x（x+2）168x 2+2x-168=0（x-12 ）（x+14）0x1=12,x2 =14當(dāng) x12 時(shí),另一數(shù)為 14；當(dāng) x-14 時(shí),另一數(shù)為 -12.答：這兩個(gè)偶

32、數(shù)分別為 12、14 或-14 、-12.二）求直角三角形的邊：面積 S一定,兩直角邊和 （和為 a）一定： 設(shè)其中一邊為 x,另一邊為 a-x ,則 1/2x（a-x ）=S面積 S一定,兩直角邊差 （差為 a）一定： 設(shè)其中一邊為 x,另一邊為 x+a,則 1/2x（x+a）=S斜邊 c 一定, 兩直角邊和 （和為 a）一定：設(shè)其中一邊為 x,另一邊為 a-x ,則 x2+（a-x ）2=c2斜邊 c 一定, 兩直角邊差 （差為 a）一定：設(shè)其中一邊為 x,另一邊為 x+a,則 x2+（x+a）2=c2例：一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差 3cm,面積是 9cm,求較長的直角邊的長。三）求矩

33、形的邊 ：例：利用一面墻（墻的長度不限）,用 20m長的籬笆,怎樣圍成一個(gè)面積為 50m2的矩形場(chǎng)地？四）賽制循環(huán)問題：單循環(huán)：設(shè)參加的球隊(duì)為 x,則全部比賽共 1/2x （x-1 ） 場(chǎng)；雙循環(huán)：設(shè)參加的球隊(duì)為 x,則全部比賽共 x（x-1 ）場(chǎng)；【單循環(huán)比雙循環(huán)少了一半】五）利滾利問題：17高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)年利息本金 年利率年利率為 a%存一年的本息和：本金 （ 1+年利率） ,即本金 （ 1+ a%）存兩年的本息和：本金 （ 1+年利率）2, 即本金 （ 1+a%）2存三年的本息和：本金 （ 1+年利率）3, 即本金 （ 1+a%）3存 n 年的本息和：本金 （ 1+年利率）n,

34、 即本金 （ 1+a%）n例：我村 2006 年的人均收入為 1200 元,2008 年的人均收入為 1452 元,求人均收入的年平均增長率。人均收入的年平均增長率為 10%。六）傳染問題：（幾何級(jí)數(shù)）傳染源： 1 個(gè)【 每一輪 1 個(gè)可傳染給 x 個(gè)】【前后輪患者數(shù)的比例為 1：（1+x）】患者： 第一輪后：共（ 1+x）個(gè)第二輪后：共（ 1+x）（ 1+x）,即（ 1+x）2 個(gè)第三輪后：共（ 1+x）3 3,即（ 1+x）個(gè),n 第 n 輪后：共（ 1+x）個(gè)例：某種電腦病毒傳播非常快,如果一臺(tái)電腦被感染,經(jīng)過兩輪被感染后就會(huì)有 81 臺(tái)電腦被感染。 請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析, 每輪感染中平

35、均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制, 3 輪感染后,被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過 700 臺(tái)？三、應(yīng)用舉例一）數(shù)字型1、 兩個(gè)數(shù)的和是 -7,積是 12,則這兩個(gè)數(shù)是多少？2、5 個(gè)連續(xù)正數(shù),前 3 個(gè)數(shù)的平方比后兩個(gè)數(shù)的積小 1,這 5 個(gè)連續(xù)整數(shù)分別是多少？3、一個(gè)兩位數(shù),個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小 4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小 4,求這個(gè)兩位數(shù)是多少？二）百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（含增長率方面的）題型1、 某企業(yè) 2004 年初投資 100 萬元生產(chǎn)適銷對(duì)路的產(chǎn)品, 2004 年底將獲得的利潤與年初的投資和作 2005 年的投資,到 2005 年底,兩年共獲利潤為 56 萬

36、元,已知 2005 年的年獲利比 2004 的年獲利率多 10 個(gè)百分點(diǎn) （即 2005 的年獲利率是 2004 年的年獲利率與 10%的和）,求 2004 年和 2005 年獲利率各是多少？2、 某工廠一月份生產(chǎn)某種機(jī)器 100 臺(tái),計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn) 280 臺(tái)。設(shè)二、三月份每月的平均增長率為 X,求增長率為多少？3、 某市土地沙漠化嚴(yán)重, 2005 年沙漠化土地面積為 100Km2,經(jīng)過綜合治理, 希望到 200718高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)年沙漠化土地面積降到 81 Km2,如果每年治理沙漠化土地的降低百分率相同,求每年的沙漠化土地的降低百分率。三）傳染病毒應(yīng)用題1、某種電腦病毒傳播

37、非?？?如果一臺(tái)電腦被感染,經(jīng)過兩輪被感染后就會(huì)有 81 臺(tái)電腦被感染,請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析,每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制, 3 輪感染后,被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過 700 臺(tái)？2、 中國內(nèi)地部分養(yǎng)雞場(chǎng)突發(fā)禽流感疫情, 某養(yǎng)雞場(chǎng)中、 一只帶病毒的小雞經(jīng)過兩天的傳染后、 雞場(chǎng)共有 169 只小雞遭感染患病, 在每一天的傳染中平均一只雞傳染了幾只小雞？四） 銀行利率應(yīng)用題1、 某人將 2000 元按一年定期存銀行。到期后取出 1000 元,并將剩下的 1000 元及利息再按一年定期存入銀行,到期后取得本息共計(jì) 1091.8 元。求銀行一年定期儲(chǔ)蓄的利率是多少？五）銷售利

38、潤方案類題（1）經(jīng)濟(jì)類一1、某商店將進(jìn)價(jià)為 8 元的商品按每件 10 元售出, 每天可售出 200 件,現(xiàn)在采取提高商品售價(jià)減少銷售量的辦法增加利潤,如果這種商品每件的銷售價(jià)每提高 0.5 元其銷售量就減少 10 件,問應(yīng)將每件售價(jià)定為多少元時(shí),才能使每天利潤為 640 元？解：設(shè)每件售價(jià) x 元,則每件利潤為 x-8,銷售量則為 200-（x-10）/0.5*10=200-20(x-10)所以每天利潤為 640 元時(shí),則有（x-8)200-20(x-10)=6402-28x+192=0 則有 x即（x-12) （x-16)=0所以 x=12 或 x=16。即當(dāng)每件售價(jià)為 12 元或 16 元

39、時(shí),每天利潤為 640 元2、 神州行旅行社為吸引市民組團(tuán)去大縱湖風(fēng)景區(qū)旅游 ,推出如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) ,如果人數(shù)不超過25 人,人均旅游費(fèi)用為 100 元,如果人數(shù)超過 25 人,每增加 1 人,人均旅游費(fèi)用降低 2元,但人均旅游費(fèi)用不得低于 70 元,某單位組織員工去大縱湖風(fēng)景區(qū)旅游,共支付給神州旅行社旅游費(fèi)用 2700 元,請(qǐng)問該單位這次共有多少員工去旅游了。3、蘇寧服裝商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為 30 元的內(nèi)衣,以每件 50 元售出,平均每月能售出 300 件,經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn),每件內(nèi)衣漲價(jià) 10 元,其銷量就將減少 10 件,為了實(shí)現(xiàn)每月 8700 元銷售利潤,假如你是商場(chǎng)營銷部負(fù)責(zé)人,你將如何安排進(jìn)貨

40、？4、某越劇團(tuán)準(zhǔn)備在市大劇院演出 , 該劇院能容納 1200 人, 經(jīng)調(diào)研 , 如果票價(jià)定為 30 元,那么門票可以全部售完,門票價(jià)格每增加 1 元,售出的門票數(shù)就減少 30 張,如果想獲得 36750元的門票收入,票價(jià)應(yīng)定為多少元？19高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)5、某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元,為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減庫存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臏p價(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià) 1元,商場(chǎng)平均每天可多銷售出 2 件,1)若商場(chǎng)平均每天要盈利 1200 元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)平均每天盈利最多？（2）經(jīng)濟(jì)類二（經(jīng)濟(jì)

41、類試題一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用）近年來方程的應(yīng)用與相關(guān)經(jīng)濟(jì)類試題呈逐漸增多的趨勢(shì)現(xiàn)舉例說明：例 1：某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元,為了擴(kuò)大銷售,增加盈利, 盡快減少庫存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)一元,商場(chǎng)平均每天可多售出 2 件,若商場(chǎng)平均每天要盈利 1200 元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？分析：設(shè)每件襯衫降價(jià) x 元,則每件襯衫盈利 (40 x)元,降價(jià)后每天可賣出 (20+2x) 件,由關(guān)系式：總利潤 =每個(gè)商品的利潤 售出商品的總量,可列出方程例 2：某商廈今年一月份銷售額為 60 萬元,二月份由于種種原因,經(jīng)營不善,銷

42、售額下降10% ,以后加強(qiáng)改進(jìn)管理,經(jīng)減員增效, 大大激發(fā)了全體員工的積極性,月銷售額大幅度上升,到四月份銷售額猛增到 96 萬元, 求三、 四月份平均每月增長的百分率是多少？ (精確到0.1%)分析：設(shè)三、四月份平均每月增長的百分率為 x,二月份銷售額為 60(1 10%) 萬元,三月份的銷售額是二月份的 (1+x) 倍,即三月份銷售額為 60(1 10%)(1+x) 萬元,四月份的銷售額是三月份的 (1+x) 倍, 則四月份的銷售額為 60(1 10%)(1+x)2 萬元, 其等量關(guān)系為： 四月份銷售額 =96 例 3：某商店從廠家以每件 21 元的價(jià)格購進(jìn)一批商品,該商店可自行定價(jià),若每

43、件商品售價(jià)為 a 元,則可賣出 (350 10a) 件,但物價(jià)局限定每件商品加價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的 20% ,商店計(jì)劃要賺 400 元,需賣出多少件商品,每件售價(jià)應(yīng)為多少元？分析：本題中涉及到的數(shù)量關(guān)系列表如下：進(jìn)價(jià) 售價(jià) 單件利潤 售出數(shù)量 利潤21 a a21 350 10a 400例 4(本題滿分 10 分)利民商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品 . 現(xiàn)有如下信息 :信息 1：甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)之和是 5 元； 信息 3：按零售單價(jià)購買信息 2: 甲商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多 1 元, 甲商品 3 件和乙商品 2 件,乙商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的 2 倍少 共付了 19 元.1 元請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答

44、下列問題：（1）甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)各多少元 ?（2）該商店平均每天賣出甲商品 500 件和乙商品 300 件經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲、乙兩種商品零售單價(jià)分別每降 0.1 元,這兩種商品每天可各多銷售 100 件為了使每天獲取更大的利潤, 商店決定把甲、 乙兩種商品的零售單價(jià)都下降 m 元. 在不考慮其他因素的條件下,當(dāng) m 定為多少時(shí),才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤最20高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)大？每天的最大利潤是多少？六）函數(shù)與方程1.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品質(zhì)量分為 10 個(gè)檔次 .第 1 檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn) 76件,每件利潤 10 元.媒體搞一個(gè)檔次,每件利潤增加 2

45、元,但每天產(chǎn)量減少 4 件.(1) 若生產(chǎn)第 x 檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為 y 元（其中 x 為正整數(shù),且 1 x 10）,求出 y關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若生產(chǎn)第 x 檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為 1080 元,求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次 .七）信息題1、某開發(fā)區(qū)為改善居民住房條件,每年都要建一批住房,這樣人均住房面積逐年增加,該開發(fā)區(qū) 2005 年至 2006 年,每年年底人口總數(shù)和人均住房面積的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示,請(qǐng)根據(jù)下列兩圖提供信息解答問題：（1）該區(qū) 2005 年和 2006 年這兩年,哪一年比上年增加的住房面積多？多增加多少平方米？（2）預(yù)計(jì)到 2008 年年底,該區(qū)人口是總數(shù)將比 2

46、006 年年底增加 2 萬人,為使到 2007 年年底該區(qū)人均住房面積達(dá)到 22m2/人,試求 2006 年,2008 年兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率。萬人m 2/人2/人20 2018.6 1817 17O O2004 2005 200420062005 2006年2、某開發(fā)區(qū)為改善居民住房條件,每年都新建一批住房,人均住房面積逐年增加 人均住房2/人）,該開發(fā)區(qū) 2004 年至 2006 年 面積=（該區(qū)住房總面積 /該區(qū)人口總數(shù)）（單位： m每年年底人口總數(shù)和人均住房面積的統(tǒng)計(jì)如圖 1,圖 2請(qǐng)根據(jù)圖 1,圖 2 提供的信息解答下面問題：（1）該區(qū) 2005 年和 2006 年兩年中哪一年比上一年增加的住房面積多多增加多少平方米？（2）由于經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要,預(yù)計(jì)到 2008 年底該區(qū)人口總數(shù)比 2006 年底增加 2 萬人,為使到 2008 年底該區(qū)人均住房面積達(dá)到 11m2/人,試求 2007 年和 2008 年這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率為多少？21高頻題-易錯(cuò)題 專項(xiàng)練習(xí)