重力異常與垂線偏差

1、重力相關(guān)資料1.相關(guān)坐標(biāo)系地球上任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都同時(shí)受到地心引力和由于地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力的作用，兩個(gè)力的合力稱為重力。離心 力與引力之比約為1： 300,所以重力中起主要作用的還是地心引力。重力的作用線稱為鉛垂線，重力線方向就是鉛 垂線方向。1.1水準(zhǔn)面與水準(zhǔn)面水準(zhǔn)當(dāng)液體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，其表面必處處與重力方向正交，否則液體就要流動(dòng)。這個(gè)液體靜止的表面就稱為 面。水準(zhǔn)面是一個(gè)客觀存在的、處處與鉛垂線正交的面。通過不同高度的點(diǎn)，都有一個(gè)水準(zhǔn)面，所以水準(zhǔn)面有無窮 多個(gè)。為了使測量結(jié)果有一個(gè)共同的基準(zhǔn)面，可以選擇一個(gè)十分接近地球表面又能代表地球形狀和大小的水準(zhǔn)面作為共同標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)想海洋處于靜止平衡狀態(tài)，

2、并將它延伸到大陸部且保持處處與鉛垂線正交的水準(zhǔn)面，來表示地球的形 狀是最理想的，這個(gè)面稱為 水準(zhǔn)面。它是一個(gè)光滑的閉合曲面，又稱為地球的物理表面。由它包圍的形狀是地球的 真實(shí)形體，稱為體。所以它地球自然表面的起伏不平、地殼部物質(zhì)密度分布不均，使得引力方向產(chǎn)生不規(guī)則的變化。因而引力方向除總的 變化趨勢外，還會(huì)出現(xiàn)局部變化，這就引起鉛垂線方向發(fā)生不規(guī)則的變化。由于水準(zhǔn)面處處與鉛垂線正交 ，是一個(gè)略有起伏的不規(guī)則的表面。1.2參考橢球面從整體上看，體接近于一個(gè)具有微小扁率的旋轉(zhuǎn)橢球，與體吻合的最好的旋轉(zhuǎn)橢球稱為總地球橢球，也叫總橢 球或平均橢球。要確定總橢球，必須在整個(gè)地球表面上布設(shè)連成一體的天文網(wǎng)

3、和進(jìn)行全球性的重力測量。為了測量工作的實(shí)際需要，各個(gè)國家和地區(qū)只有根據(jù)局部的天文、和重力測量資料，研究局部水準(zhǔn)面的情況， 確定一個(gè)于總橢球相近的橢球，以表示地球的大小，作為處理測量成果的依據(jù)。這樣的橢球只能較好的接近局部地 區(qū)的水準(zhǔn)面，不能反映整個(gè)體的情況，所以叫做參考橢球面。1.3坐標(biāo)系與天文坐標(biāo)系表1坐標(biāo)系與天文坐標(biāo)系的對比項(xiàng)目坐標(biāo)系天文坐標(biāo)系基本面線參考橢球面、法線水準(zhǔn)面、垂線坐標(biāo)面起始子午面、橢球赤道面起始天文子午面、地球赤道面坐標(biāo)L:子午面間夾角B：法線與赤道面夾角 吐：沿法線至橢球面距離:天文子午面間夾角:垂線與赤道面夾角H正：沿垂線至水準(zhǔn)面距離方位角A:子午面與包含照準(zhǔn)點(diǎn)法截面間

4、的夾角:子午面與包含照準(zhǔn)點(diǎn)垂直面間的夾角確疋方法在橢球面上推算求得不能經(jīng)過推算求得觀測地面點(diǎn)或衛(wèi)星獲得觀測恒星獨(dú)立獲得特點(diǎn)依附于橢球面法線依附于水準(zhǔn)面垂線各點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)各點(diǎn)天文坐標(biāo)獨(dú)立計(jì)算求得，定位精度咼觀祭求得，定位精度低由于水準(zhǔn)面起伏，導(dǎo)致同一點(diǎn)的法線和垂線不一致，兩者之間的微小夾角稱為垂線偏差；導(dǎo)致天地高和海拔高(正咼)不一致，兩者之間的差距稱為水準(zhǔn)面差距。設(shè)垂線偏差在子午面上的分量 (即南北分量)以 來表示，在卯酉面上的分量 (即東西分量)以 來表示，N表示 水準(zhǔn)面差距。考慮垂線偏差和水準(zhǔn)面差距，坐標(biāo)與天文坐標(biāo)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換公式為B(1)( L) cosAtanN H大H正2.重力場地球重力場

5、的確定就是通過求解某種形式的測量邊值問題得到一種表達(dá)擾動(dòng)位或其泛函的數(shù)學(xué)模型，包括解析表達(dá)模型和數(shù)值模型兩種形式。其中，解析表達(dá)模型利用斯托克司(Stokes)公式或莫洛金斯基(Molodensky)級數(shù)給出積分表達(dá)式，或利用球諧函數(shù)技術(shù)給出譜展開式；數(shù)值模型則是重力場參數(shù)的一定分辨率的格網(wǎng)數(shù)值，包括擾動(dòng) 位、水準(zhǔn)面、重力異常和垂線偏差等。例如EGM系列地球重力場模型計(jì)算軟件給出的最終計(jì)算結(jié)果便是水準(zhǔn)面差距(geoid undulations)，般用 N表示。研究地球重力場的理論基礎(chǔ)即是研究測量邊值問題的解算，這一邊值問題的描述為：在水準(zhǔn)面或地球自然表面給定邊值條件和相應(yīng)的邊值，確定該邊界面及

6、其外部的引力位，并滿足邊值條件，同時(shí)在無限空間是調(diào)和函數(shù)。位3 個(gè)分力通過引入一個(gè)位函數(shù)在3個(gè)分力方向上理論自1785年由法國數(shù)學(xué)家勒讓德（Legendre）提出后，經(jīng)過格林（Green）和高斯（Gauss）等數(shù)學(xué)家和測量學(xué)家的進(jìn) 步研究，不僅解釋了表征位場的基本數(shù)學(xué)關(guān)系，同時(shí)將引力或重力的 的偏導(dǎo)數(shù)來表達(dá)。同時(shí)，引入等位面和水準(zhǔn)面的概念，從而將地球形狀和重力場的研究統(tǒng)一起來，即地球重力場可用地球重力位來表達(dá)，地球形狀可用水準(zhǔn)面的形狀來代表。由于地球表面形狀的不規(guī)則和部質(zhì)量分布不均勻，通常將地球重力位分為兩部分：正常場和擾動(dòng)場，分別對應(yīng)于正常位和擾動(dòng)位。前者可用4個(gè)測量基本參數(shù)確定,是接近真地

7、球位場的一種理想化位場；后者是對應(yīng)的異常質(zhì)量分布產(chǎn)生的異常位場。因此，研究地球形狀及外部重力場 的關(guān)鍵在于確定擾動(dòng)位。2.1重力位函數(shù)設(shè)有一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它對各坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)等于力在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的分量，此函數(shù)定義為位函數(shù)。由此定義可得重力位函數(shù)為:其中V為引力產(chǎn)生的位,為地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的位。若為角速度,X和 Y為給定點(diǎn)的地心坐標(biāo)，則2 2(X Y )引力位函數(shù)的定義為V(r,GMn max n0仞CnmCosmSnms in m)Pnm (COsPnm(COS )(n m)!(2 n1/21)(20m)(n m)!Rm(COS )，1, i0, ij為克羅克（kroneker）符號,Pnm (co

8、s )為蒂合 Legendre 函數(shù)Pnm(x)m2、m/2 d(1 X ) m Fn(x)on ,dx2 n!1 (1 X2嚴(yán)手nmdx2 n(X 1)其中，r 到地球質(zhì)心的距離地心緯度 地心經(jīng)度a 參考橢球長半軸n， m 階次Cnm， Snm 正?；牡厍蛞ο禂?shù)Legendre 函數(shù)Pnm（cos ）為n階m次第一類完全正常化締合這些公式對于r a，即在地球表面或近地空間理論上是有效的，公式計(jì)算誤差比較小，但這些公式不能用于小于地球半徑的情況。2.2重力加速度和重力梯度在地球重力場中，重力加速度為grad (W)Tgx gy gz重力加速度矢量的空間梯度即是重力位的二階空間導(dǎo)數(shù),稱為重力

9、梯度，可由下述量表示:gxgxgxwww2xyzxx yx z2 .2 .2 .xxxyxzgygygy2W2W2W2yxyyyzxyzy xyy zgzgzgz2W2W2Wzxzyzz2xyzz xz yz(8)在不考慮地球離心力影響的情況下，地球重力場是一個(gè)保守場，重力場的旋度為零,說明重力梯度量具有對稱性；重力場的散度為零，意味著梯度量的跡為零。因此xyyx， xzzx， yzzyxx yy zz 0(9)重力梯度量中只有五個(gè)獨(dú)立項(xiàng)。3. WGS84世界坐標(biāo)系與 EGM20083.1 WGS84坐標(biāo)系概述及有關(guān)常數(shù)WGS8世界坐標(biāo)系是由美國國家影像制圖局NIMA和其前身美國國防部測繪局D

10、MA從初始的世界坐標(biāo)系 WGS6開始發(fā)展，并在隨后的 WGS66 WGS7基礎(chǔ)上不斷改進(jìn)形成的。WGS8坐標(biāo)系使用協(xié)議地面參考系 (CTRS)。這個(gè)坐標(biāo)系根據(jù)國際地球自轉(zhuǎn)服務(wù)技術(shù)注解概要中的標(biāo)準(zhǔn)來定義。這些標(biāo)準(zhǔn)如下:(1)它是一個(gè)地心坐標(biāo)系，地心定義為包括海洋和大氣的整個(gè)地球的質(zhì)量中心。圍局限于地球，即在引力相對論意義下的局部地球框架。 它的定向由國際時(shí)間局(BIH1984.0)給出。 定向的時(shí)間演化相對于地殼不產(chǎn)生殘余的全球性旋轉(zhuǎn)。WGS8坐標(biāo)系是右手地固直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸定義如下:原點(diǎn)：地球質(zhì)心。Z軸：指向國際地球參考系IERS極的方向(IRP)。這個(gè)方向與 BIH協(xié)議地面極的指

11、向 (在歷元1984.0)相差土0.005 ”。X軸：指向國際地球參考系IERS首子午面且垂直于Z軸的方向，這個(gè)方向與 BIH協(xié)議零子午面（在歷元1984.0）相差土 0.005 。Y軸與其他兩軸構(gòu)成右手地心地固ECEF（Earth-Ce ntered Earth-Fixed）直角坐標(biāo)系。表2 WGS84橢球基本常數(shù)參數(shù)符號值長半軸a6378137.0m扁率倒數(shù)1/ f298.257223563地球角速度7292115.0 10 11rad /s地球引力常數(shù)（包括大氣質(zhì)量）GM3986004.418 1 08 m3/ s2表3 WGS84橢球?qū)С龅膸缀纬?shù)常數(shù)符號數(shù)值短半軸b6356752.3

12、142m第一偏心率e8.1819190842622 10 2第二偏心率e28.20944337949696 10表4 WGS84橢球?qū)С龅奈锢沓?shù)常數(shù)符號數(shù)值橢球正常重力位理論值u。62636851.7146m2/s2赤道正常重力理論值e2 29.7803253359m /s極點(diǎn)正常重力理論值P9.8321849378 m/s2正常重力平均值9.796432222 m/s2理論正常重力公式常數(shù)k0.241地球質(zhì)量（包括大氣質(zhì)量）M5.9733328 1024 kg2 2 2ma b /GMm0.84(10)，即正常位函數(shù) U的梯度大小公式:式中k1，a、b表示橢球長半軸和短半軸,1 ksi n

13、2e、 p表示赤道和兩極理論重力，e表示第一離心率，表3.2 WGS84水準(zhǔn)橢球正常重力公式Simiglia na閉合公式給出了橢球面理論正常重力示緯度。這個(gè)正常重力公式就是 WGS8橢球重力公式。這個(gè)等位橢球面不僅作為地球水準(zhǔn)面和鉛垂面或地球的幾何參考 面，而且也作為地球正常重力的參考面。若以橢球面法線向下為正方向，一個(gè)經(jīng)常被使用的正常重力泰勒展開式為1 -(1am 2fsin2 ) h h2a(11)當(dāng)計(jì)算點(diǎn)的高比較高時(shí)，采用上式計(jì)算得到的結(jié)果精度要小于預(yù)期的精度。解決辦法詳見坐標(biāo)系與基準(zhǔn)P116-117。3.3 EGM2008模 型官方版地球重力場模型EGM200由美國國家地理空間情報(bào)局

14、地球重力場研發(fā)小組發(fā)布，該模型的球諧展開 階數(shù)達(dá)到了 2159,并且還提供擴(kuò)展到2190階的擴(kuò)展參數(shù)，此模型目的是希望在WGS8坐標(biāo)系下解算地球水準(zhǔn)面的起伏。EGM200地球重力場模型數(shù)據(jù)來源主要為地面重力、衛(wèi)星測高、衛(wèi)星重力等，地面數(shù)據(jù)覆蓋率達(dá)83.8%，部分重力數(shù)據(jù)空白區(qū)主要集中在南極，用衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)補(bǔ)充。目前能夠獲取到的文件包括：引力位函數(shù)的球諧系數(shù)文件 EGM2008_to2190_TideFree.gz擴(kuò)展到2160階的水準(zhǔn)面差距計(jì)算參數(shù)文件Zeta-to-N_to2160_egm2008.gzT x 1 的水準(zhǔn)面網(wǎng)格文件 Un d_mi n1x1_egm2008_isw=82_WG

15、S84_TideFree.gz2.5 x2.5 的水準(zhǔn)面網(wǎng)格文件 Und_min2.5x2.5_egm2008_isw=82_WGS84_TideFree.gz2.5 x 2.5 的垂線偏差及重力異常網(wǎng)格文件：(1) 重力異常 g 文件：Dg01_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh(2) 垂線偏差南北分量文件：xi_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh(3) 垂線偏差東西分量文件：eta_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh5 x 5 的垂線偏差及重力異常網(wǎng)格文件: 重力異常 g 文件

16、：Dg01_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh(2) 垂線偏差南北分量文件：xi_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh(3) 垂線偏差東西分量文件：eta_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh3.3.1 EGM2008文件說明所有以下數(shù)據(jù)均為無潮汐系統(tǒng)下的數(shù)據(jù)。1) 引力位函數(shù)球諧系數(shù)文件 EGM2008_to2190_TideFree.gz該文件中引力位函數(shù)的定義見公式(4)。文件對正?；牡厍蛞ο禂?shù)Cnm和Snm的存儲方式為：每行容為n,m,Cnm,Snm,sigmaCnm,sigmaSnm，共2159

17、x2190行。2) 水準(zhǔn)面差距計(jì)算參數(shù)文件 Zeta-to-N_to2160_egm2008.gz該文件中的水準(zhǔn)面差距計(jì)算公式如下nmax n C( , )(CCnm cosmCSnm sinm )Rm(COS )(12)n 0 m 0文件對系數(shù)CCnm和CSnm的存儲方式為：每行容為n,m,CC nm,CSnm，共2160X 2160行。3) T X1的水準(zhǔn)面網(wǎng)格文件 Und_min1x1_egm2008_isw=82_WGS84_TideFree.gz該文件為一 10801 x 21600的矩陣，起始位置為北緯 90東經(jīng)0 ，從第一行到最末行表示 90 N90 S,每行間 隔為1,從第一列

18、至最后一列表示從 0 E360 E,每列間隔T。每個(gè)元素代表其對應(yīng)網(wǎng)格左上角的水準(zhǔn)面差距。2.5 x2.5 的水準(zhǔn)面網(wǎng)格文件與其格式相同，每行和每列的間隔為2.5 ，共4321行X 8640列。4) 2.5 x 2.5 的垂線偏差及重力異常網(wǎng)格文件3個(gè)文件的存儲方式相同，均為4321 X 8640的矩陣，起始位置為北緯90東經(jīng)0,從第一行到最末行表示 90N90 S,每行間隔為1,從第一列至最后一列表示從0 E360 E,每列間隔1。每個(gè)元素代表其對應(yīng)網(wǎng)格中間點(diǎn)的垂線偏差或重力異常數(shù)據(jù)，例如文件Dg01_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh的第1行第1列元素為(90

19、 -1.25 )N, (0 +1.25 )E處的重力異常 g 的數(shù)值。5 x 5的垂線偏差及重力異常網(wǎng)格文件文件與其格式相同，每行和每列的間隔為5,共2161行X 4320列。3.3.2 EGM2008精度數(shù)據(jù)表5和表6由2008年4月在奧地利維也納舉行的歐洲地球科學(xué)聯(lián)盟大會(huì)提供，文件名為An Earth GravitationalModel to Degree 2160: EGM2008,報(bào)告人 Nikolaos K. Pavlis, Simon A. Holmes, Steve C. Kenyon, and JohnK. Factor。其中表6括號的值代表在與獨(dú)立數(shù)據(jù)比較的基礎(chǔ)上觀測到的性

20、能。表5不同模型有關(guān)垂線偏差的與天文測量比較得到的均方差模型（最大展開階數(shù)）美國本土（3561個(gè)觀測站）澳大利亞（1080個(gè)觀測站）（）（）（）（）EGM96(360)2.803.221.912.23GGM02C_EGM96(360)2.803.221.892.22EIGEN-GL04C(360)2.813.201.922.23EGM2008(2190)91.29DEFLEC99(T -10800)0.910.92-AUSGeoid98(2 -5400)-1.311.37注：DEFLEC9為美國本土重力模型，AUSGeoid98為澳大利亞本土重力模型。表 6 EGM200

21、8誤授(commission error)估計(jì)地區(qū)水準(zhǔn)面差距 N （cm）垂線偏差東西分量（）垂線偏差南北分量（）緯度小于66的海洋區(qū)域5.8(5.2)0.38(0.30)0.39(0.30)美國大陸5.9(4.8)0.47(1.12)0.47(1.16)陸地18.3(10.3)1.691.69海洋6.10.420.42全球11.10.980.98EGM200模型在我國大陸的適用性摘自文獻(xiàn)EGM200地球重力場模型在中國大陸適用性分析J，作者章傳銀,測繪學(xué)報(bào)2009年第38卷第4期P283-289。具體如下：利用我國大陸GP水準(zhǔn)實(shí)測高程異常和地面平均空間異常數(shù)據(jù)，對EGM200地球重力場模型進(jìn)

22、行外部精度測試,結(jié)果顯示：（1）EGM2008模型高程異常在我國大陸的總體精度為 區(qū)為24 cm ；（2）EGM 2008模型空間異常在我國大陸的總體精度為 力場信息東西部地區(qū)的差距；（3）EGM2008模型具有很高的精度，測試結(jié)果顯示，20 cm ,華東華中地區(qū)12 cm，華北地區(qū)達(dá)到9 cm，西部地10.5 mGal（1mGal =10 -5 m/s 2），且大大縮小了我國大陸重EGM 2008模型在我國大陸的精度與在全球圍的精度相當(dāng);（4）與WDM 94 DQI系列，EGM9相比，EGM200模型高程異常精度提高了 35倍，比利用GRAC數(shù)據(jù)的IGG05b,EIGEN-5C模型提高了 2倍以上，空間異常的改善程度更為突出。其中，WDM 9模型（360階）