空間曲線及其方程ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程一、空間曲線的普通方程一、空間曲線的普通方程二、二、 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線. 設(shè)設(shè) 一、空間曲線的普通方程一、空間曲線的普通方程 0, zyxF 0, zyxG和和 是兩個(gè)曲面的方程是兩個(gè)曲面的方程,它們的交線為它們的交線為C(圖圖7-44). . 0, 0,zyxGzyxF(1)由于曲線由于曲線C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面的方程同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面的方程, 所以應(yīng)滿足方程組所以應(yīng)滿足方程組

2、xozy1S2SC圖圖7-44例例1 方程組方程組 632, 122zxyx表示怎樣的曲線表示怎樣的曲線?解解 方程組中第一個(gè)方程表示母線平行于方程組中第一個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面軸的圓柱面, 其其準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是xOy面上的圓面上的圓, 圓心在原點(diǎn)圓心在原點(diǎn)O,半徑為半徑為1. 反過來反過來,假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)M不在曲線不在曲線C上上, 那么它不能夠同時(shí)在兩個(gè)曲那么它不能夠同時(shí)在兩個(gè)曲面上面上, 所以它的坐標(biāo)不滿足方程組所以它的坐標(biāo)不滿足方程組(1). 因此因此, 曲線曲線C可以用方可以用方程組程組(1)來表示來表示. 方程組方程組(1)叫做空間曲線叫做空間曲線C的普通方程的普通方程. 方程組

3、中第二個(gè)方程表示一個(gè)母線平行于方程組中第二個(gè)方程表示一個(gè)母線平行于y軸的柱面軸的柱面, 由于由于它的準(zhǔn)線是它的準(zhǔn)線是zOx面上的直線面上的直線, 因此它是一個(gè)平面因此它是一個(gè)平面. 方程組就表示上述平面與圓柱面的交線方程組就表示上述平面與圓柱面的交線, 如圖如圖7-45 所示所示.圖圖7-45 xyzO例例2 方程組方程組 22222222,ayaxyxaz表示怎樣的曲線表示怎樣的曲線?解解 方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)方程組中第一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 半徑為半徑為a的上半球面的上半球面. 0 ,2a, 半徑為 2a第二個(gè)方程表示母線平行于第二個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面軸

4、的圓柱面, 它的準(zhǔn)線是它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓面上的圓, 這圓的圓心在點(diǎn)這圓的圓心在點(diǎn) 二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線空間曲線C的方程除了普通方程之外的方程除了普通方程之外, 也可以用參數(shù)方式表示也可以用參數(shù)方式表示, 只需將只需將C上動點(diǎn)的坐標(biāo)上動點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z表示為參數(shù)表示為參數(shù)t的函數(shù)的函數(shù): .,tzztyytxx(2) 當(dāng)給定當(dāng)給定 1tt 時(shí)時(shí),就得到就得到C上的一個(gè)點(diǎn)上的一個(gè)點(diǎn) 111,zyx隨著隨著t的變動便可得曲線的變動便可得曲線C上的全部點(diǎn)上的全部點(diǎn). 方程組方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程叫做空間曲線的參數(shù)方程. 都是常數(shù)都是常數(shù)), 那么點(diǎn)

5、那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線構(gòu)成的圖形叫做螺旋線. 試建立試建立例例3 假設(shè)空間一點(diǎn)假設(shè)空間一點(diǎn)M在圓柱面在圓柱面 222ayx 上以角速度上以角速度 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 同時(shí)又以線速度同時(shí)又以線速度v沿平行于沿平行于z軸的正方向上升軸的正方向上升(其其中中 v, 其參數(shù)方程其參數(shù)方程.解解 取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)為參數(shù). 設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng) 0 t時(shí)時(shí), 0 , 0 , aA處處. 經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間t, 動點(diǎn)由動點(diǎn)由A運(yùn)動到運(yùn)動到 zyxM,(圖圖7-47).動點(diǎn)位于動點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn)軸上的一點(diǎn) A MM t xyzo圖圖7-47h記記M在在xOy面上的投影為面上的投影為 M , M 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)

6、為 . 0 , yx 由于動點(diǎn)在圓柱面上以角速度 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 所以經(jīng)過時(shí)間所以經(jīng)過時(shí)間t, tMAO .sinsintaMAOMOy 從而從而 ,coscostaMAOMOx 由于動點(diǎn)同時(shí)以線速度由于動點(diǎn)同時(shí)以線速度v沿平行于沿平行于z軸的正方向上升軸的正方向上升, 所以所以vtMMz 因此螺旋線的參數(shù)方程為因此螺旋線的參數(shù)方程為 .,sin,cosvtztaytax 也可以用其他變量作參數(shù)也可以用其他變量作參數(shù); 例如令例如令 t , 那么螺旋線的參數(shù)那么螺旋線的參數(shù)方程可寫為方程可寫為 .,sin,cos bzayax這里這里 vb , 而參數(shù)為而參數(shù)為 螺旋線是實(shí)際中常用的曲線

7、螺旋線是實(shí)際中常用的曲線. 例如例如, 平頭螺絲釘?shù)耐饩壡€平頭螺絲釘?shù)耐饩壡€就是螺旋線就是螺旋線. 當(dāng)我們擰緊平頭螺絲釘時(shí)當(dāng)我們擰緊平頭螺絲釘時(shí), 它的外緣曲線上的它的外緣曲線上的任一點(diǎn)任一點(diǎn)M, 一方面繞螺絲釘?shù)妮S旋轉(zhuǎn)一方面繞螺絲釘?shù)妮S旋轉(zhuǎn), 另一方面又沿平行于另一方面又沿平行于軸線的方向前進(jìn)軸線的方向前進(jìn), 點(diǎn)點(diǎn)M就走出一段螺旋線就走出一段螺旋線.螺旋線有一個(gè)重要性質(zhì)螺旋線有一個(gè)重要性質(zhì): 當(dāng)當(dāng) 從從 0 變到變到 0時(shí)時(shí),z由由 0 b變到變到 bb 0特別是當(dāng)特別是當(dāng)MO 轉(zhuǎn)過一周轉(zhuǎn)過一周, 即即 2 時(shí)時(shí), M點(diǎn)就上升固定的點(diǎn)就上升固定的高度高度bh 2 . 這個(gè)高度這個(gè)高度 b

8、h 2 在工程技術(shù)上叫做螺距在工程技術(shù)上叫做螺距. 這闡明當(dāng)這闡明當(dāng) MO 轉(zhuǎn)過角轉(zhuǎn)過角 時(shí)時(shí),M點(diǎn)沿螺旋線點(diǎn)沿螺旋線上升了高度上升了高度 b即上升的高度與即上升的高度與 MO 轉(zhuǎn)過的角度成正比轉(zhuǎn)過的角度成正比. ,* 曲面的參數(shù)方程曲面的參數(shù)方程 下面順便引見一下曲面的參數(shù)方程下面順便引見一下曲面的參數(shù)方程. 曲面的參數(shù)方程通常是曲面的參數(shù)方程通常是含兩個(gè)參數(shù)的方程含兩個(gè)參數(shù)的方程, 形如形如 .,tszztsyytsxx 例如空間曲線 tztytx , t繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 .,sin,cos2222tzttyttx 20t4這是由于這是由于,

9、固定一個(gè)固定一個(gè)t, 得得 上一點(diǎn)上一點(diǎn) tttM ,1, 點(diǎn)點(diǎn) 1M繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 得空間的一個(gè)圓, 該圓在平面 tz 上上, 其半其半徑為點(diǎn)徑為點(diǎn) 1M到到z軸的間隔軸的間隔 22tt , 因此因此, 固定固定t的方的方程程(4)就是該圓的參數(shù)方程就是該圓的參數(shù)方程. 再令再令t在在 ,內(nèi)變動內(nèi)變動,方程方程(4)便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程便是旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 例如直線 tztyx2, 1繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面(圖圖7-48)的方程為的方程為 .2,sin1,cos122tztytx (上式消去上式消去t和和 ,得曲面的直角坐標(biāo)方程為得曲面的直角坐標(biāo)方程為 41222zy

10、x ) 圖7-48 yzxo又如球面又如球面 2222azyx 可看成可看成zOx面上的半圓周面上的半圓周 cos, 0,sinazyax 0繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得軸旋轉(zhuǎn)所得(圖圖7-49), 故球面方程為故球面方程為 .cos,sinsin,cossin azayax 200 圖圖7-49 xyzO三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C的普通方程為的普通方程為 . 0, 0,zyxGzyxF (5) 如今我們來研討由方程組如今我們來研討由方程組(5)消去變量消去變量z后所得的方程后所得的方程 0, yxH(6) 由于方程由于方程(6)是由方程組是由方程組(5

11、)消去消去z后所得的結(jié)果后所得的結(jié)果, 因此當(dāng)因此當(dāng)x，y和和z滿足方程組滿足方程組(5)時(shí)時(shí), 前兩個(gè)數(shù)前兩個(gè)數(shù)x，y必定滿足方程必定滿足方程(6), 這闡明這闡明曲線曲線C上的一切點(diǎn)都在由方程上的一切點(diǎn)都在由方程(6)所表示的曲面上所表示的曲面上. 由上節(jié)知道由上節(jié)知道, 方程方程(6)表示一個(gè)母線平行于表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面軸的柱面. 0, 0,zyxH所表示的曲線必定包含空間曲線所表示的曲線必定包含空間曲線C在在xOy面上的投影面上的投影.同理同理, 消去方程組消去方程組(5)中的變量中的變量x或變量或變量y, 再分別和再分別和x=0或或y=0聯(lián)聯(lián)立立, 我們就可得到包含曲線我們

12、就可得到包含曲線C在在yOz面或面或xOz面上的投影的曲線面上的投影的曲線方程方程: , 0, 0,xzyR或或 . 0, 0,yzxT由上面的討論可知由上面的討論可知, 這柱面必定包含曲線這柱面必定包含曲線C. 以曲線以曲線C為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線, 母線平行于母線平行于z軸軸(即垂直于即垂直于xOy面面)的柱面叫做曲線的柱面叫做曲線C關(guān)于關(guān)于xOy面面的投影柱面的投影柱面, 投影柱面與投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線面的交線叫做空間曲線C在在xOy面面上的投影曲線上的投影曲線, 或簡稱投影或簡稱投影. 因此因此,方程方程(6)所表示的柱面必定包所表示的柱面必定包含投影柱面含投影柱面, 而方程而方

13、程例例4 知兩球面的方程為知兩球面的方程為, 1222 zyx(7) 和和 , 111222 zyx(8) 求它們的交線求它們的交線C在在xOy面上的投影方程面上的投影方程.解解 先求包含交線先求包含交線C而母線平行于而母線平行于z軸的柱面方程軸的柱面方程. 因此要由因此要由方程方程(7), (8)消去消去z, 為此可先從為此可先從(7)式減去式減去(8)式并化簡式并化簡, 得到得到1 zy再以再以z=1-y代入方程代入方程(7)或或(8)即得所求的柱面方程為即得所求的柱面方程為02222 yyx容易看出容易看出, 這就是交線這就是交線C關(guān)于關(guān)于xOy面的投影柱面方程面的投影柱面方程, 于是兩球于是兩球面的交線在面的交線在xOy面上的投影方程是面上的投影方程是 . 0, 02222zyyx在重積分和曲面積分的計(jì)算中在重積分和曲面積分的計(jì)算中, 往往需求確定一個(gè)立體或曲往往需求確定一個(gè)立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影面在坐標(biāo)面上的投影, 這時(shí)要利用投影柱面和投影曲線這時(shí)要利用投影柱面和投影曲線.例例5 設(shè)一個(gè)立體由上半球面設(shè)一個(gè)立體由上半球面 224yxz 和錐面和錐面 223yxz 所圍成所圍成(圖圖7-50), 求它在求它在xOy面上的投影面上的投影. 解 半球面和錐面的交線為 .3,4:2222yxzyxzC由上列方程組消去由上列方程組消去z, 得到得到 122 yx