實(shí)驗(yàn)二迭代法初始值與收斂性

1、實(shí)驗(yàn)二：迭代法、初始值與收斂性 一：實(shí)驗(yàn)要求考慮一個(gè)簡單的代數(shù)方程 針對(duì)上述方程，可以構(gòu)造多種迭代法，如等。在實(shí)軸上取初值，分別用 以上迭代做實(shí)驗(yàn)，記錄各算法的迭代過程。二：實(shí)驗(yàn)要求及實(shí)驗(yàn)結(jié)果（1） 取定某個(gè)初始值，按如上迭代格式進(jìn)行計(jì)算，它們的收斂性 如何？重復(fù)選取不同放入初始值，反復(fù)實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)讀者自行設(shè) 計(jì)一種比較形象的記錄方式（如何利用 Matlab 的圖形功 能），分析三種迭代法的收斂性與初值的選取關(guān)系。（ 2） 對(duì)三個(gè)迭代法中的某一個(gè)，取不同的初值進(jìn)行迭代，結(jié)果如 何？試分析對(duì)不同的初值是否有差異？實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1.6i）對(duì)進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=20;分別選擇初值-0.6,進(jìn)行實(shí)驗(yàn)

2、，并畫出迭代結(jié)果的趨勢圖。編寫 MATLAB 運(yùn)算程序如下：%迭代法求解%令 x=xA2 -1clearn=30;x=-0.5;x1=xA2-1;for i=1:nx1=x1A2-1;xx（i）=x1;endm=linspace（0,29,n）;plot（m,xx）title(x=-0.5)如上圖所示，選取初值分別為-0.6、1.6時(shí)，結(jié)果都是不收斂的。分析：，要想在某一鄰域上但是，所以不存在某個(gè)鄰域使得該迭 代公式收斂。即迭代公式對(duì)任何初值都是發(fā)散的。ii) 對(duì)進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù) n=30;分別選擇初值=-0.7, 2.1 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并畫出迭代結(jié)果的趨勢圖。編寫MATLAB運(yùn)算程序如

3、下：%迭代法求解%令 x=xA2 -1clearn=20;x=-0.5;x1=1+1./x;for i=1: nx1=1+1./x1;xx(i)=x1;endm=li nspace(0,29, n);plot(m,xx,b)title(x二 0.5):石|如上圖所示，選取初值分別為-0.7、2.1時(shí)，結(jié)果都是收斂。分析：設(shè)在上有界，且則由迭代式對(duì)任意初始值產(chǎn)生的序列都收斂。同時(shí)由可以看到，在選取初值，在進(jìn)行n次迭代后，都會(huì)存在一個(gè)，此時(shí)相當(dāng)于是在范圍內(nèi)的初始值，迭代公式產(chǎn)生的序列收斂。所以 初值的選取對(duì)數(shù)列的收斂性沒有影響。iii) 對(duì)進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=20;分別選擇初值=-0.6

4、, 2.1 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并畫出迭代結(jié)果的趨勢圖。編寫MATLAB運(yùn)算程序如下：%迭代法求解%令 x=sqrt(1+x)clearn=20;x=-0.5;x1= sqrt(1.+x); for i=1: nx1= sqrt(1+x1); xx(i)=x1;end m=li nspace(0,29, n);plot(m,xx,b)title(x=-0.5)如上圖所示，選取初值分別為-0.6、2.1時(shí)，結(jié)果都是收斂。分析：設(shè) 在實(shí)數(shù)域上有界，且則由迭代式對(duì)任意初始值產(chǎn)生的序列 都收斂。同時(shí)由可以看到，在選取初值，對(duì)迭代結(jié)果所產(chǎn)生的虛數(shù)的實(shí) 部和虛部也是收斂的。如初值選取 x=-3，得到20次的迭代結(jié)果

5、如下：實(shí) 部收斂于1.618,虛部收斂于0，Columns 1 through 51.1688 + 0.6050i 1.4867 + 0.2035i 0.0201i 1.6143 + 0.0062iColumns 6 through 101.6169 + 0.0019i 1.6177 + 0.0006i 0.0001i 1.6180 + 0.0000iColu mns 11 through 151.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i0.0000i 1.6180 + 0.0000iColu mns 16 through 201.6180 + 0.0000i 1.618

6、0 + 0.0000i1.5782 + 0.0645i1.6179 + 0.0002i1.6180 + 0.0000i1.6180 + 0.0000i1.6058 +1.6180 +1.6180 +1.6180 +0.0000i 1.6180 + 0.0000i上圖是初值選取為 -3的迭代結(jié)果趨勢圖，可以看出，當(dāng)?shù)Y(jié)果為 虛數(shù)時(shí)，迭代結(jié)果最終還是收斂的。在進(jìn)行n次迭代后，實(shí)部都會(huì)存在一個(gè)，此時(shí)相當(dāng)于是在范圍內(nèi)的初 始值，迭代公式產(chǎn)生的序列收斂。所以初值的選取對(duì)數(shù)列的收斂性沒有 影響。（3） 線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初值的選取的。比較線 性與非線性問題迭代的差異，有何結(jié)論和問題。i）對(duì)線性方程，設(shè)，貝V。若線性方程的迭代是收斂的，則有對(duì)而言，在上，都有，所以，對(duì) 任何初值，方程的迭代都是收斂的，不受初值的影響。若線性方程的迭代是發(fā)散的，貝對(duì)任何初值都發(fā)散，方程迭代的收 斂性也不受初值的影響。ii）對(duì)非線性方程的迭代，就復(fù)雜的多。