計(jì)算方法 2數(shù)值積分

1、1 第三章第三章 數(shù)數(shù) 值值 積分積分 1 引言引言2 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式3 龍貝格算法龍貝格算法4 高斯型求積公式高斯型求積公式 21.1 數(shù)值求積的必要性數(shù)值求積的必要性 在高等數(shù)學(xué)中，曾用牛頓萊布尼茲（NewtonLeibniz）公式( )F( )( )( )bbaaf x dxxF bF a1 引引 言言（其中F(x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù)）來計(jì)算定積分。但是，在工程技術(shù)和科學(xué)研究中，常常遇到如下情況： 3(1) f (x)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難；(2) f (x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；(3) f (x) 的精確表達(dá)式不知道，只給出了一張由實(shí)驗(yàn)提供的函數(shù)表。 對(duì)于

2、這些情況，要計(jì)算積分的精確值都是十分困難的，這就要求建立積分的近似計(jì)算方法。此外，積分的近似計(jì)算又為其它一些數(shù)值計(jì)算，例如微分方程數(shù)值解、積分方程數(shù)值解等提供了必須的基礎(chǔ)。41.2 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本方法構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本方法 可以從不同的角度出發(fā)通過各種途徑來構(gòu)數(shù)值求積公式。但常用的一個(gè)方法是，利用插值多項(xiàng)式來構(gòu)造數(shù)值求積公式。具體做法如下： 在積分區(qū)間 a，b 上取一組點(diǎn)bxxxan10作f (x)的n 次插值多項(xiàng)式：5)()()(0 xlxfxLknkkn),1 ,0)(nkxlk為n 次插值基函數(shù)。用 Ln(x) 近似代替被積函數(shù)f (x)，則得其中nkbakkbabandxx

3、lxfdxxLdxxf0)()()()(1.1)6若記bankkkkkknkkbakkdxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxlA)()()()()()()(110110得數(shù)值求積公式(1.2)()(0kbankkxfAdxxf(1.3)形如（1.3）的求積公式稱為機(jī)械求積公式。機(jī)械求積公式。7其中 xk 稱為求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)， Ak 稱為求積系求積系數(shù)數(shù)。若求積公式（1.3）中的求積系數(shù) Ak 是由（1.2）確定的，則稱該求積公式為插值型求積公式插值型求積公式。 本章主要討論插值型求積公式。81.3 求積公式的余項(xiàng)求積公式的余項(xiàng) 積分的真值badxxf)(與由某求積公式給出的近似之差，稱為

4、該求積公式的余項(xiàng)余項(xiàng)，記作R f 。例如，求積公式（1.3）的余項(xiàng)為 )()(0kbankkxfAdxxffR9 banbabandxxLxfdxxLdxxffR)()()()( dxxwnffRnban)()!1()(1)1(（1.4） 如果求積公式（1.3）是插值型的，則由上知于是，由插值余項(xiàng)公式得10其中),(),()()(101baxxxxxxxnn1.4 求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度 為了使一個(gè)求積公式能對(duì)更多的積分具有良好的實(shí)際計(jì)算意義，就應(yīng)該要求它對(duì)盡可能多的被積函數(shù) f (x)都準(zhǔn)確地成立。在計(jì)算方法中，常用代數(shù)精度這個(gè)概念來描述。 11對(duì)任意不高于m 次的代數(shù)多項(xiàng)式都

5、準(zhǔn)確成立，而對(duì)于 xm+1卻不能準(zhǔn)確成立，則稱該公式的代數(shù)精度為代數(shù)精度為m 。例如例如，梯形公式（在幾何上就是用梯形面積近似代替曲邊梯形面積見圖圖4-1）定義定義1 若求積公式bankkkxfAdxxf0)()(12)()(2)(bfafabdxxfba（1.5）的代數(shù)精度m =1。事實(shí)上，當(dāng) f (x)=1 時(shí)，在（1.5）中左端=baabdx1右端= abab112左端=右端13這表明求積公式（1.5）對(duì) f (x)=1 是準(zhǔn)確成立的； 當(dāng) f (x)= x 時(shí)，在（1.5）中左端=右端= )(2122abxdxba)(21222abbaab左端=右端這表明求積公式（1.5）對(duì) f (x

6、)= x 也是準(zhǔn)確成立的；14)(xfy yxABba0圖圖 4-115 綜上所述，容易看出求積公式（1.5）對(duì)函數(shù) f (x) =1 和f (x)= x 的任一線性組合（不高于一次的代數(shù)多項(xiàng)式）都準(zhǔn)確成立，故公式（1.5）的代數(shù)精度m 至少等于1。但是，當(dāng) f (x)= x2 時(shí)，其左端 = 右端 =)(31332abdxxba2)(22baab左端 右端（設(shè)a b ）16故由定義知，梯形公式（1.5）的代數(shù)精度m =1。 顯然，一個(gè)求積公式的代數(shù)精度越高，它就越能對(duì)更多的被積函數(shù) f (x) 準(zhǔn)確（或較準(zhǔn)確）地成立，從而具有更好的實(shí)際計(jì)算意義。由插值型求積公式的余項(xiàng)（1.4）易得定理定理1

7、 含有n +1個(gè)節(jié)點(diǎn) xk (k=0,1,n )的 插值型求積公式（1.3）的代數(shù)精 度至少為n .172 牛頓牛頓柯特斯公式柯特斯公式 在1 中，介紹了插值型求積公式及其構(gòu)造方法。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，考慮到計(jì)算的方便，常將積分區(qū)間等分之，并取分點(diǎn)為求積分節(jié)點(diǎn)。這樣構(gòu)造出來的插值型求積公式就稱為牛牛頓頓柯特斯（柯特斯（Newton-Cotes）公式。）公式。 本節(jié)在介紹一般牛頓-柯特斯公式的基礎(chǔ)上，介紹幾個(gè)常用的牛頓-柯特18斯公式以及這些公式在實(shí)際計(jì)算時(shí)的用法。2.1 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 若將積分區(qū)間 a，b n 等分，取分點(diǎn)), 1 , 0;(nknabhkhaxk作為求積節(jié)點(diǎn)，并作

8、變量替換x = a + th ，那么插值型求積公式(1.3)的系數(shù)由（1.2）可得：19dtknkntktkttthAnknk0)!() 1( !)() 1)(1() 1(dtntktktttknknabnkn)() 1() 1() 1()!( !) 1(0記nknnkdtntktktttknknC0)()() 1)(1() 1()!( !) 1(2.1)20則于是，由（1.3）就可寫出相應(yīng)的插值型求積公式 )(nkkCabA(2.2)()(0)(knknkbaxfCabdxxf21 這就是一般的牛頓柯特斯公式，其中Ck(n） 稱為柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù) 。 從柯特斯系數(shù)的算式（2.1）可以看出

9、，其值與積分區(qū)間 a，b 及被積函數(shù)f (x) 都無關(guān)，只要給出了積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)n，就能毫無困難地算出C0(n） 、 C1(n） 、 、 Cn(n） 。例如，當(dāng)n =1時(shí)有121)1(0) 1(odttC22206141)2(0)2)(1(dtttC206421)2(1)2(dtttC206141)2(2) 1(dtttC1021)1(1tdtC當(dāng)n =2時(shí)，有23n123456Cn)(0Cn)(1Cn)(2Cn)(3Cn)(4Cn)(5Cn)(62161819072881984041216483451696253599017962528098145161442510534618315214

10、425280928819935984041表表 4-1為了便于應(yīng)用，部分柯特斯系數(shù)列見表表4-1。 24 利用這張柯特斯系數(shù)表（表表4-1），由（2.2）可以直接寫出當(dāng)n =1,2, 6 時(shí)的牛頓-柯特斯公式。例如，當(dāng) n =1時(shí)有兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)公式)()()(2bfafdxxfbaab(2.3)當(dāng)n =2時(shí)有三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式)(4)()(26bffafdxxfbabaab(2.4)25當(dāng)n =4 時(shí)有五點(diǎn)公式baabxfxfxfxfxfdxxf)(7)(32)(12)(32)(7)(4321090(2.5)其中4abkkax., 1 , 0nk求積公式（2.3）就是梯形公式梯形公式。26求積公

11、式（2.4）稱為辛普生（辛普生（Simpson）公式公式。其幾何意義就是通過A, B, C 三點(diǎn)的拋物線 y =L2(x) 圍成的曲邊梯形面積近似地代替原曲邊梯形面積（見圖圖4-2）。 因此，求積公式（2.4）又名拋物線公式。拋物線公式。求積公式（2.5）稱為柯特斯公式柯特斯公式。 梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三個(gè)最基本、最常用的等距節(jié)點(diǎn)下的求積公式。 下述定理給出了這些求積公式的余項(xiàng)為：27yx0a2)(ba bACB)(xfy 圖圖 4-228定理定理2 若 f (x) 在 a，b 上連續(xù)，則梯 形公式（2.3）的余項(xiàng)為： fabfR 12)(31(2.6)若 f（4） (x) 在

12、 a，b 上連續(xù)，則辛普生公式（2.4）的余項(xiàng)為： 452)2(901fabfR(2.7)29若 f（6） (x) 在 a，b 上連續(xù)，則柯特斯公式(2.5)的余項(xiàng)為： 674)4(9458fabfR(2.8)其中 a，b 。30 由定理定理2知，當(dāng)積分區(qū)間 a，b 較大時(shí)，直接使用牛頓柯特斯公式所得積分近似值的精度是很難得到保證的。 因此在實(shí)際應(yīng)用中，為了既能提高結(jié)果的精度，又使算法簡便且易在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，往往采用復(fù)合求積的方法。所謂復(fù)合求積，就是先將積分區(qū)間分成幾個(gè)小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上用低階牛頓柯特斯公式計(jì)2.2 復(fù)合牛頓復(fù)合牛頓柯特斯公式柯特斯公式31算積分的近似值，然后對(duì)這些近

13、似值求和，從而得到所求積分的近似值。 由此得到的一些具有更大實(shí)用價(jià)值的數(shù)值求積公式，統(tǒng)稱為復(fù)合求積公式。復(fù)合求積公式。例如例如，先將區(qū)間 a，b n 等分，記分點(diǎn)為), 1 , 0( ,nkkhaxk其中nabh32稱為步長步長，然后在每個(gè)小區(qū)間 xi-1，xi 上應(yīng)用梯形公式（2.3），即11( )(2(1,2,)kkxkkxhf x dxf xf xkn就可導(dǎo)出復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式 nkkkbankxxxfxfhdxxfdxxfkk111)()(2)()(133若將所得積分近似值記成Tn ，并注意到x0=a，xn=b，則上式即為11)()(2)(2)(nkkbanbffafhTdxxf

14、x(2.9)仿上，可得復(fù)合辛普生公式復(fù)合辛普生公式 )()(2)(46)(111021bfffafhSdxxfnkknkkbanxx(2.10)34 )(7)(14)(32)(12)(32790)(10104310211041bfffffafhCdxxfnkknkknkknkkbanxxxx(2.11)和復(fù)合柯特斯公式復(fù)合柯特斯公式其中hxhxhxkkkkkkxxx43,21,4143214135定理定理3 若 f (x) 在積分區(qū)間 a，b 上分別具有二階、四階和六階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則符合求積公式(2.9)、(2.10)和(2.11)的余項(xiàng)分別為36 其中 ，且當(dāng) 充分小時(shí)，又有 )(12)( 2

15、fhabTdxxfban)()2(180)()4(4fhabSdxxfban)()2(945)(2)()6(6fhabCdxxfban(2.12)(2.13)(2.14)ba,hbanafbfhTdxxf)()(121)(2(2.15)37證明證明 只對(duì)復(fù)合梯形公式（2.9）證明余項(xiàng)公式（2.12）和(2.15）. 先證（2.12）。由于 在 上連續(xù)，故由定理定理 2 知，對(duì)每 個(gè)小區(qū)間上積分 使用梯形公式時(shí)，所得近似值的誤 差為 ，故 即 banafbfhSdxxf)()()2(1801)(4banafbfhCdxxf)()()4(9452)()5()5(6)(xfba,kkxxdxxf1)

16、(),)(12113kkkkxxfhbannfffhTdxxf)()()(121)(213(2.16）(2.17）(2.18)bannfffnhabTdxxf)()()(112)(21238因?yàn)橛山橹刀ɡ碇?，?中必有點(diǎn) ，使故余項(xiàng)公式（2.12）成立。 再證（2.15）。由（2.18）和定積分的定義，有ba,)()()(1)(21nfffnfnkkhnbahhfhTdxxf1020)(121()(limlim)()(121)(121afbfdxxfba)()()(1)(21,minnbaxfffnxf)( max,xfbax(2.19)39故當(dāng) 充分小時(shí)，（2.15）成立。 由余項(xiàng)公式（2.

17、12）（）（2.17）可以看出，只要所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)間 上連續(xù)，則當(dāng) （即 ）時(shí)， 、 和 都收斂于積分真值 ，而且收斂速度一個(gè)比一個(gè)快。定義定義2 對(duì)于復(fù)合求積公式 ，若當(dāng) 時(shí)有則稱 是 p 階收斂的階收斂的。定理定理4 復(fù)合求積公式（2.9）、（）、（2 .10）和（2. 11）分別具有二階、四階和 六階收斂性。證明證明 由收斂性的定義，從（2.19）可以看出，復(fù)合梯形公式（2 .9）具有 二階收斂性。同樣，可證明復(fù)合辛普生公式（2 .10）和復(fù)合柯斯特 公式（2. 11）分別具有四階和六階收斂性。 對(duì)于一個(gè)數(shù)值求積公式來說，收斂階越高，近似值 收斂到真值 的速度就越快，在相近的計(jì)

18、算工作量下，有可能獲得較精確的近似值。hba,n0hnTnSnCbanIdxxf)(0h)0()(cchIdxxfpbannInIbadxxf)(badxxf)(40例例1 利用復(fù)合牛頓柯特公式，計(jì)算的近似值。解解 這里用兩種方法進(jìn)行計(jì)算。 先將積分區(qū)間 八等分（分點(diǎn)及分點(diǎn)處的函數(shù)值見表表4-2），用復(fù) 合梯形公式得 再將積分區(qū)間 四等分，用復(fù)合辛普生公式得10214dxx1 , 0)21()83()41()81(2)0(1618fffffT138988. 3)1 ()87()43()85(ffff1 , 041)85()83()81(4)0(6414ffffS141593. 3) 1 ()4

19、3()21()41(2)87(fffff表表 4-23.200000001/22.0000000013.506849323/82.265487637/83.764705881/42.560000005/83.938461541/82.876404493/84.000000000 x214)(xxf214)(xxfx42 兩種方法都用到表表4-2中九個(gè)點(diǎn)以上的函數(shù)值，它們的計(jì)算工作量基本上相同，但所得結(jié)果與積分真值=3.14159265相比較，復(fù)合辛普生公式所得近似值 遠(yuǎn)比復(fù)合梯形公式所得近似值 要精確。因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，較多地應(yīng)用復(fù)合辛普生公式。 為了便于上機(jī)計(jì)算，常將復(fù)合辛普生公式（2 1

20、1）改寫成相應(yīng)的程序框圖見圖圖4-3。4S8TbankkknxfxfbfafhSdxxf121)()(22)()(6)(43輸入a,b,nnabh/ )( ax)()(bfxfSk=1,2, ,n2/hxx)(4xfSS2/hxx)(2xfSSShS)6/(S輸出積分近似值圖圖4-311244 2.3 2.3 誤差的事后估計(jì)與步長的自動(dòng)選擇誤差的事后估計(jì)與步長的自動(dòng)選擇 雖然可用余項(xiàng)公式（2 .12）（2.17）來估計(jì)近似值的誤差，也可以根據(jù)精度要求用這些公式來確定積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，即確定步長h。但由于余項(xiàng)公式中包含被積函數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù)，在具體計(jì)算時(shí)往往會(huì)遇到困難。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常利用

21、誤差的事后估計(jì)法誤差的事后估計(jì)法來估計(jì)近似值的誤差或步長 h 。該方法的大致做法是： 將積分區(qū)間逐次分半，每分一次就用同一復(fù)合求積公式算出相應(yīng)的積將積分區(qū)間逐次分半，每分一次就用同一復(fù)合求積公式算出相應(yīng)的積分近似值，并用前后兩次計(jì)算結(jié)果來判斷誤差的大小。分近似值，并用前后兩次計(jì)算結(jié)果來判斷誤差的大小。其原理和具體做法是：對(duì)于復(fù)合梯形公式（2.9），由余項(xiàng)公式（2.12）或（2.15）可以看出，當(dāng) 在積分區(qū)間上變化不大或積分區(qū)間 的等分?jǐn)?shù) n 較大（即步長 h 較?。r(shí)，若將 的等分?jǐn)?shù)改為2 n（即將步長縮小到原步長 h 的一半），則新近似值 的余項(xiàng)約為原近似值余項(xiàng)的 ，即其中 表示積分 的真值

22、。對(duì) 求解得 )(xf)(xfba,41ba,nT2412nnTITIIbadxxf)(I)(3122nnnTTTII(2.20)45此式表明，若用 作為積分真值 的近似值，則其誤差約為 。故在將區(qū)間逐次分半進(jìn)行計(jì)算的過程中，可以用前后計(jì)算結(jié)果 和 來估計(jì)誤差與確定步長。具體做法是： 先算出先算出 和和 ，若，若 （ 為計(jì)算結(jié)果的允許誤差），為計(jì)算結(jié)果的允許誤差），則停止計(jì)算，并取則停止計(jì)算，并取 作為積分的近似值；否則，將區(qū)間再次分半后算出作為積分的近似值；否則，將區(qū)間再次分半后算出新近似值新近似值 ，并檢查不等式，并檢查不等式 是否成立，是否成立，直到得到滿足直到得到滿足精度要求的結(jié)果為止

23、。精度要求的結(jié)果為止。 對(duì)于復(fù)合辛普生公式（2.10）和復(fù)合柯特斯公式（2.11），當(dāng)所涉及的高階導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)間上變化不大或積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù) n 較大時(shí)，由相應(yīng)的余項(xiàng)公式可以看出 分別對(duì) 求解得nT2I)(312nnTTnT2nTnTnT2nT2nT4nnTT241612nnSISI6412nnCICII)(15122nnnSSSI)(63122nnnCCCInT和（2.21）（2.22）32nnTT46因此，也可以象使用復(fù)合梯形法求積分近似值那樣，在將積分區(qū)間逐次分半進(jìn)行計(jì)算的過程中，估計(jì)新近似值 和 的誤差，并判斷計(jì)算過程是否需要繼續(xù)進(jìn)行下去。 2.4 2.4 復(fù)合梯形法的遞推算式復(fù)合梯形

24、法的遞推算式 上段介紹的變步長的計(jì)算方案，雖然提供了估計(jì)誤差與選取步長的簡便方法，但還沒有考慮到避免在同一節(jié)點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算函數(shù)值的問題，故有進(jìn)一步改進(jìn)的余地。 先看復(fù)合梯形公式。在利用（2.9）計(jì)算 時(shí)，需要計(jì)算 n+1個(gè)點(diǎn)（它們是積分區(qū)間 n 等分點(diǎn)的分點(diǎn)，不妨簡稱為“ n 分點(diǎn)分點(diǎn)”）上的函數(shù)值。當(dāng) 不滿足精度要求時(shí)，根據(jù)上面提供的計(jì)算方案，就應(yīng)將各個(gè)小區(qū)間分半，計(jì)算出新近似值 。若利用（2.9）進(jìn)行計(jì)算 ，就需要求出 2n+1 個(gè)點(diǎn)（它們是“2 n 分點(diǎn)分點(diǎn)”）上的函數(shù)值。而實(shí)際上，在這2n+1個(gè)2n 分點(diǎn)中，包含有 n +1個(gè) n 分點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在計(jì)算 時(shí)早已算出。為了避免這種重復(fù)計(jì)

25、算，下面分析近似值 與原有近似值 之間的聯(lián)系。nS2nC2ba,nTnT2nTTn2nT471212)()2(2)(4nknbfnabkafafnabTnabkaxk2) 12, 2 , 1(nk，1112)(2) 12(2)22(2)(4nknknbfnabkafnabkafafnabTnknknabkafnabbfnabafafnab1112) 12(2)()(2)(4nknnnabkafnabTT122) 12(221由復(fù)合梯形公式（2.9）知若注意到在2n 分點(diǎn)中，當(dāng) 取偶數(shù)時(shí)是 n 分點(diǎn)，當(dāng) 取奇數(shù)時(shí)才是新增加的分點(diǎn)，將新增加的分點(diǎn)處的函數(shù)值從求和記號(hào)中分離出來，就有即kk（2.23

26、）48 由遞推公式（2.23）可以看出，在已經(jīng)算出 的基礎(chǔ)上再計(jì)算 時(shí)，只要計(jì)算 n 個(gè)新分點(diǎn)上的函數(shù)值就行了。與直接利用復(fù)合梯形公式（2.9）求 相比較，計(jì)算工作量幾乎節(jié)省了一半。例例2 利用遞推公式（2.23）重新計(jì)算 的近似值，使誤差不超 過 .解解 在積分區(qū)間逐次分半的過程中順次計(jì)算積分近似值 并用是否滿足不等式 ( 為計(jì)算結(jié)果的允許誤差，根 據(jù)題意為 )來判斷計(jì)算過程是否需要繼續(xù)下去。 先對(duì)整個(gè)區(qū)間使用梯形公式（2.3），得 然后將區(qū)間二等分，出現(xiàn)的新分點(diǎn)是 ,由遞推公式（2.23）得 再將小區(qū)間二等分，出現(xiàn)了兩個(gè)新分點(diǎn) 與 ，由（2.23）得10214dxx610,421TTTln

27、nTT323)24(21)1 ()0(211ffT21x1 .3)21(212112fTT41x43x13117647. 3)43()41(412124ffTTnTnT261049 這樣，不斷將各個(gè)小區(qū)間二分下去，可利用遞推公式（2.232.23）依次算出 。計(jì)算結(jié)果見表4-3。因?yàn)?故 為滿足精度要求的近似值。lTT3256512,168TT表表4-34-33.14159202 5123.14094161 163.14159011 2563.13898849 83.14158248 1283.13117647 43.14155196 64 3.1 23.14142989 32 3 1nnTn

28、Tn為 了 便 于 上 機(jī) 計(jì) 算 ， 我 們 將 積 分 區(qū) 間 的 等 分 數(shù) 依 次 取成 、 、 （如表表4-34-3），并將遞推公式（2.232.23）改寫成ba,02122214159202. 3512T5012112212) 12(221)()(2kikkkkabiafabTTbfafabT(k=1,2,3,) 相應(yīng)的程序框圖框圖4-4。其中為精度控制量, 為最大二分次數(shù)（用來控制計(jì)算工作量）。 對(duì)于復(fù)合辛普生公式與復(fù)合柯特斯公式，也可以根據(jù)上述原理構(gòu)造相應(yīng)的遞推公式。但是,下節(jié)提供的算法給出了在積分區(qū)間逐次分半過程中，近似值 或 更為簡便的算法。 0knS2nC2(2.24)5

29、1輸入a,b,及按公式（2.24）計(jì)算k=1,2, ,按公式（2.24）計(jì)算 輸出近似值輸出失敗信息是否0k1T0kkT2122kkTTkT2圖圖4-452 3 龍貝格算法龍貝格算法 龍貝格（Romberg) 算法是在積分區(qū)間逐次分半的過程中，對(duì)用復(fù)合梯形產(chǎn)生的近似值進(jìn)行加權(quán)平均，一獲得準(zhǔn)確程度較高的一種方法，具有公式簡練 使用方便 結(jié)果較可 靠等優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)。本節(jié)介紹它的基本原理和應(yīng)用方法。 3.1 龍貝格算法的基本原理龍貝格算法的基本原理 上節(jié)中介紹的遞推公式（2.23）或（2.24），雖然具有結(jié)構(gòu)簡單，易在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但是由它產(chǎn)生的梯形序列 ，其收斂速度卻是非常緩慢的。例如用此法

30、計(jì)算 的近似值時(shí)，要一直算到 才獲得誤差不超過 的近似值（見例2）。因此，用這種方法計(jì)算更復(fù)雜的高精度要求的積分近似值顯然是費(fèi)時(shí)、費(fèi)力甚至是不可能的。如何提高收斂速度，以節(jié)約計(jì)算工作量，自然是人們極為關(guān)心的課題。 由近似等式（2.20），用 作為積分真值I的近似值，其誤差約為 。因此，如果用 作為 的一種補(bǔ)償，可以期望所得 kT2dxx10214512T610)(312nnTTnT2)(312nnTTnT253)(3122nnnnTTTT到的新近似值即有可能比 更好地接近于積分 的真值I。如在例2中， 和是兩個(gè)精度很差的近似值，但如果將它們按（3.1）作線性組合，所得到的近似值卻具有七位有效數(shù)

31、字，其準(zhǔn)確程度比 還要高，而計(jì)算 只涉及求九個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，其計(jì)算工作量僅為計(jì)算 的 。那么，按（3.13.1）式作線性組合得到的新近似值 ，其實(shí)質(zhì)又是什么呢其實(shí)質(zhì)又是什么呢？通過直接驗(yàn)證，易知 ， ,亦即nnnTTT31342(3.1)badxxf)(13898849. 38T14159250. 33134484TTT13117647. 34T512T4T512T571nTnnST nS144313422nnnnnTTTTS（3.2）nT254 這表明在收斂速度緩慢的梯形序列 的基礎(chǔ)上，若將 與 按（3.23.2）作線性組合，就可產(chǎn)生收斂速度較快的辛普生序列 ： 同理，從近似等式（2.212

32、.21）出發(fā)，通過類似的分析，可以得到故在辛普生序列 的基礎(chǔ)上，將 與 按（3.33.3）作線性組合，就可產(chǎn)生收斂速度更快的柯特斯序列 ： 這種加速過程還可以繼續(xù)下去。例如，通過 與 的線性組合，可以在柯特斯序列 的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生一個(gè)稱為龍貝格序列龍貝格序列的新序列 ，即,421SSS14415115162222nnnnnSSSSCnSnS2nCnC2kC2kR2kC2nTnT2kS2kT2（3.33.3）kS2.,421CCC14463163643232nnnnnCCCCR（3.43.4）55經(jīng)過進(jìn)一步的分析，可以證明，當(dāng)f(x)滿足一定條件時(shí)，龍貝格序列比柯特斯序列 更快地收斂到積分 的真值

33、I。 綜上可知，可以在積分區(qū)間逐次分半的過程中利用公式（3.2）、）、 （3.3） 、和（3.4），將粗糙的近似值 逐步“加工”成越來越精確的近似值 。也就是說，將收斂速度緩慢的梯形序列 逐步地“加工”成收斂速度越來越快的新序列 。這種加速的方法就稱為龍貝格算法龍貝格算法。其加工過程如圖圖4-5，其中圓圈中的號(hào)碼表示計(jì)算順序。nT,nnnRCS kT2 kkkRCS2,22圖圖4-5badxxf)(kR2kC28T1S171T241135812106139142T16T4T2S4S8S1C2C1R2R4C56例例3 利用公式（3.2）、（3.3）和（）和（3.4）“加工”例2中得到的 的近似值

34、 和 ，計(jì)算結(jié)果見表表4-4，其中k代表二分次數(shù)。dxx10214421,TTT4T 由表表4-4可以看出，“加工”的效果非常顯著，而“加工”的計(jì)算量，因只需做少量的四則運(yùn)算，沒有涉及到求函數(shù)值，故可以忽略不計(jì)。 3.2 龍貝格算法計(jì)算公式的簡化龍貝格算法計(jì)算公式的簡化 為了便于上機(jī)計(jì)算，引用記號(hào) 來表示各近似值，其中k仍代表積分區(qū)間的二分次數(shù)，而下標(biāo)m則指出了近似值 所在序列的性質(zhì)：)(kmT)(kmT表表4-4 k0 1 2 333.13.1311763.1389883.1333333.1415693.1415933.1421183.1415943.141588kT212kS22kC32k

35、R57當(dāng)m=0時(shí)在梯形序列中，當(dāng)m=1時(shí)，在辛普生序列中，當(dāng)m=2 時(shí)在柯特斯序列中 . 。例如，表表4-4中的各近似值，若用 記號(hào)表示則如表表4-5所示。)(kmT表表4-5 kT011kT22kT33kT 引入上面的記號(hào)后，龍貝格算法所用到的各個(gè)計(jì)算公式可以統(tǒng)一為:3210 00T 10T 20T 30T 11T 21T 01T)0(2T 12T 03Tk58 （3.5）相應(yīng)的程序框圖見圖圖4-6。其中 為最大二分次數(shù)。最后指出下列幾點(diǎn)： （1）當(dāng)m較大時(shí)，由（3.5）第三式知 。因此，在實(shí)際計(jì)算中， 常規(guī)定m3，即在計(jì)算到出現(xiàn)龍貝格序列為止。在這種情況下，程序框圖框圖4-6應(yīng)做相應(yīng)的修改

36、，需將“按式（3.5）計(jì)算 改為“按式（3.5）計(jì)算 ，并將精度控法 改為 （2） 為防止假收斂，可設(shè)置最小二分次數(shù) 。當(dāng)K 時(shí)，跳過精度判別而繼續(xù)運(yùn)算； （3） 可以用二維數(shù)組來存放與參加運(yùn)算，也可用一維數(shù)組。 , 3 , 2 , 1;, 2 , 1 , 0144, 3 , 2 , 1212221)()(211121100001mkTTTlabiafabTTbfafabTmkmkmmkmilllll)1(1)(kmkmTT)0() 1(1)(0,kkkTTT)3(3)2(2)1(1)(0,kkkkTTTT)0(1)0(kkTT）（）（4333kkTTminKminK)(kmT0k59 是輸入

37、a,b, 及按公式（3.5）計(jì)算k=1,2, ,按公式（3.5）計(jì)算 輸出近似值輸出失敗信息否0k圖圖4-6)0(kT0k)0()1(1)(0,kkkTTT?)0(1)0(kkTT)0(0T60 4 高斯型求積公式高斯型求積公式 下面介紹一種高精度的求積公式 高斯（Gauss）型求積公式。 4.1 高斯型求積公式的定義高斯型求積公式的定義 在2中，限定把積分區(qū)間的等分點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)，從而構(gòu)造出一類特殊的插值型求積公式，即牛頓 柯特斯公式。這種做法雖然簡化了計(jì)算，但卻降低了所得公式的代數(shù)精度。例如，在構(gòu)造形如 (4.1)的兩點(diǎn)公式時(shí)，如果限定求積節(jié)點(diǎn) 、 那么所得插值型求值公式的代數(shù)精度僅為1。

38、但是，如果我們對(duì)（4.1）中的系數(shù) ， 和節(jié)點(diǎn) 都不加限制，那么就可以適當(dāng)選取 和 、 ，使所得公式的代數(shù)精度 。事實(shí)上，若只要求求積公式（4.1）對(duì)函數(shù) 都準(zhǔn)確成立，只要 和 滿足方程組:.10 x11x)()()(111100 xfAxfAdxxf)1()1()(11ffdxxf(4.2)0A10,xx1A1m32, 1)(xxxxf1A0A10,AA10,xx10,xx6103202311300211200110010 xAxAxAxAxAxAAA解之得 代入（4.1）即得 容易驗(yàn)證，所得公式（4.4）是代數(shù)精度m=3的插值型求積公式。 同理，對(duì)于一般求積公式 只要適當(dāng)選擇 個(gè)待定參數(shù)

39、和 （k=0,1,n）,使它的代數(shù)精度達(dá)到 也是完全可能的。110 AA330 x331x)33()33()(11ffxdxfnkkkbaxfAxdxf0)()(22 nkxkA12 n(4.3)(4.4)(4.5)62定義定義3 若形如（4.5）的求積公式代數(shù)精度達(dá)到了 ，則稱它為高斯高斯 型求積公式型求積公式，并稱相應(yīng)的求積節(jié)點(diǎn) 為高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)。 42 高斯型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用高斯型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用 可以象構(gòu)造兩點(diǎn)高斯型求積公式（4.4）那樣，通過解形如（4.3）的方程組來確定高斯點(diǎn) 和求積系數(shù) ，從而構(gòu)造 點(diǎn)高斯型求積公式。但是，這種做法要解一個(gè)包含有 個(gè)未知數(shù)的非線性方程組，其計(jì)

40、算工量是想當(dāng)大的。一個(gè)比較簡單的方法是：（1）先用區(qū)間a,b上的 次正交多項(xiàng)式確定高斯點(diǎn)（2）然后利用高斯點(diǎn)確定求積系數(shù) 當(dāng)積分區(qū)間是-1，1時(shí)，兩點(diǎn)至五點(diǎn)高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn)、系數(shù)T和余項(xiàng)見表表4-6，其中 。 利用表表4-6，可以方便地寫出相應(yīng)的高斯型積公式。例如，當(dāng)N=2時(shí)，由表表4-6知 12 n,10baxxxnkx1n22 n), 1 , 0(,nkbaxk1n), 1 , 0(nkAk), 1 , 0(nkAk 1 , 1,57735027. 01 , 0 x11 ,0A63表表4-61 余項(xiàng) 系數(shù) Gauss點(diǎn)數(shù)90617985. 0135)()4(fkxkA57735027.

41、 0077459667. 086113631. 033998104. 0053846931. 055555556. 088888889. 034785485.065214515.023692689. 047862867. 056888889. 015750)()6(f34872875)()8(f1237732650)()10(f fR節(jié)點(diǎn)234564故得兩點(diǎn)高斯型求積公式又如，當(dāng) 時(shí)，由表表4-6可以查出三個(gè)求積節(jié)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的三個(gè)系數(shù)（注意，系數(shù)0.55555556應(yīng)連用兩次），從而得到三點(diǎn)高斯型求積公式 對(duì)于一般區(qū)間 a, b 上的積分，也可以利用表表4-6寫出高斯型求積公式。其原理與方法是：

42、先作變量替換，令將區(qū)間 a, b 上的積分轉(zhuǎn)化為區(qū)間 -1，1上的積分記 ，則等式（4.6）右端的積分為 。 )57735027. 0()57735027. 0()(11ffdxxf3N)77459667. 0(55555556. 0)(11fdxxf)77459667. 0(55555556. 0)0(88888889. 0fftabbax22dttabbafabdxxfba)22(2)(11)22()(tabbaftg11)( dttg（4.6）65利用表表4-6，對(duì)于給定的 ，可以寫出高斯型求積公式即代入（4.6）式得其中系數(shù) 與節(jié)點(diǎn) 可在表表4-6中查得。由變量替換式容易看出，由于求積

43、公式（4.7）對(duì)變量 不高于 次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，從而求積公式（4.8）對(duì)變量 不高于 次的多項(xiàng)式也準(zhǔn)確成立，即(4.8)是高斯型求積公式。例例4 利用四點(diǎn)高斯型求積公式計(jì)算 的近似值。4321、n110)()(nkkktgAdttg(4.7)dtabbaf)22(11)22(0tknkkabbafA)22(2)(0knkkabtabbafAabdxxfkttabbax22txkA12 ndxx10214(4.8)12 n66 解解 由表4-6和高斯性求積公式（4.8）得 其中將各數(shù)及已知函數(shù) 代入（4.9）進(jìn)行計(jì)算，即得在例4整個(gè)計(jì)算過程中，只涉及到求四個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值?？梢姼咚剐颓蠓e公式具有計(jì)算工作量小，所得近似值精確程度高的優(yōu)點(diǎn)，是一種高精度的求積公式。)212(2)(30kkkbatbbafAabdxxf214)(, 1, 0 xxfba,33998104. 0,86113631. 010tt0312,tttt031210,65214515. 0,34785485. 0AAAAAA214)(xxf141624. 314102dxx(4.9)67 高斯型求積公式的明顯缺點(diǎn)是高斯型求積公式的明顯缺點(diǎn)是: 當(dāng) n 改變大小時(shí)，系數(shù)和節(jié)點(diǎn)幾乎都在改變。同時(shí)，由表表4-6給出的