光的衍射習(xí)題及答案

1、第二章光的衍射1. 單色平面光照射到一小圓孔上，將其波面分成半波帶。求第K個(gè)帶的半徑。若極點(diǎn)到觀察點(diǎn)的距離ro為1m單色光波長為 450nm,求此時(shí)第一半波帶的半徑。2 心22rk = ro + k 上解：rkk ro而22仝ro2 - ro將上式兩邊平方，得2、2 r0 = r。2 km -4略去k2 2項(xiàng)，則 “ kro-8將 k =1,ro =100cm,九=45000 cm帶入上式 得= 0.067 cm2. 平行單色光從左向右垂直射到一個(gè)有圓形小孔的屏上，設(shè)此孔可以像照相機(jī)光圈那樣 改變大小。問：（1）小孔半徑滿足什么條件時(shí)，才能使得此小孔右側(cè)軸線上距小空孔中心 4m的P點(diǎn)的光強(qiáng)分別

2、得到極大值和極小值；（2）P點(diǎn)最亮?xí)r，小孔直徑應(yīng)為多大？設(shè)此時(shí)的波長為500nmo解：（1）根據(jù)上題結(jié)論將r。=400cm,丸=5匯10 cm代入，得=400 5 10* k = 0.1414、kcm當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，P點(diǎn)為極大值; k為偶數(shù)時(shí)，P點(diǎn)為極小值。（2） P點(diǎn)最亮?xí)r，小孔的直徑為2 J = 2. r0 二 0.2828cm3. 波長為500nm的單色點(diǎn)光源離光闌 1m光闌上有一個(gè)內(nèi)外半徑分別為0.5mm和1mm的透光圓環(huán)，接收點(diǎn) P離光闌1m,求P點(diǎn)的光強(qiáng)I與沒有光闌時(shí)的光強(qiáng)度 Io之比。解：根據(jù)題意r =1m ro =1m Rhk = 0.5mm Rhk2 =1mm =50OnmkR

3、0）有光闌時(shí)，由公式k1R；20.52500 10上爲(wèi)禽胡12九lro6 ,.1=4R,500x10*(1000 1000 丿按圓孔里面套一個(gè)小圓屏幕沒有光闌時(shí)a。a12所以4 .波長為632.8nm的平行光射向直徑為（1）屏上正對圓孔中心的P點(diǎn)是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)？ （ 2）要使P點(diǎn)變成與（1）相反的情況,至少要把屏幕分別向前或向后移動多少？2.76mm的圓孔，與孔相距 1m處放一屏。試問:解：（1）P點(diǎn)的亮暗取決于圓孔中包含的波代數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).當(dāng)平行光如射時(shí)，波帶數(shù)為P2 k =ry 2%)1.38263r。632.8 1010故P點(diǎn)為亮點(diǎn).（2）當(dāng)P點(diǎn)向前移向圓孔時(shí),相應(yīng)的波帶數(shù)增加；波帶

4、數(shù)增大到4時(shí)，P點(diǎn)變暗點(diǎn)，此時(shí)，P點(diǎn)至圓孔的距離為1.382：、2=6 mm = 750mmk4 632.8 10則P點(diǎn)移動的距離為汀=r0 - r = 100cm-75cm = 25cm當(dāng)P點(diǎn)向后移離圓孔時(shí)，波帶數(shù)減少，減少為2時(shí)，P點(diǎn)也變成暗點(diǎn)。與此對應(yīng)的P到圓孔的距離為*P21.382r06 mm 二 1500mm展 2漢632.810則P點(diǎn)移動的距離為:：r = r0 -r0 = 150cm - 100cm = 50cm5 波帶片由五個(gè)半波帶組成第一波帶片為半徑 的不透明圓盤，第二半波帶是半徑m 至2的透明圓環(huán)，第三半波帶是2至3的不透明圓環(huán)，第四半波帶是3至4的透明圓環(huán)，第五 半波帶

5、是4至無窮大的不透明區(qū)域，已知1：2：3：4=1： 2 / 34，用波長500nm的平行單色光照明，最亮的像點(diǎn)在距波帶片1m的軸上試求：像點(diǎn)的光強(qiáng)；光強(qiáng)極大值出現(xiàn)在軸上哪些位置上解：因?yàn)?個(gè)半波帶組成的半波帶片上，心二1，A不透光；K2二乙?guī)字镣腹?；K3 = 3，2至3不透光；K4 = 4,3至4透光；K5 = 5，4至無窮大不透光1:1”2 ：3 ：= 1：、2 : . 3 : . 4 單色平行光彊-500nm R。二：第一條最亮的像點(diǎn)在0 = 1m =1000mm的軸上，即f1二0 =10 mm(1)Rh2J21二 1031 500 10“ =、0.5 二 0.707像點(diǎn)的光強(qiáng)：Ipa4)

6、2 = 4a2 所以 I p = 4a =6 0光強(qiáng)極大值出現(xiàn)在軸的位置是(即3則P點(diǎn)移動的距離為則P點(diǎn)移動的距離為解:100個(gè)奇數(shù)半波帶通光總振幅同樣焦距和口徑的透鏡可劃分為200個(gè)半波帶通光3f1 二=1m = 10 mmf11m336.波長為入的點(diǎn)光源經(jīng)波帶片成一個(gè)像點(diǎn)，該波帶片有 100個(gè)透明奇數(shù)半波帶(1,3,5,)。另外100個(gè)不透明偶數(shù)半波帶.比較用波帶片和換上同樣焦距和口徑的透鏡時(shí) 該像點(diǎn)的強(qiáng)度比1:1.100I =(100a)2A100 二 a = 100 a總振幅為199200宀00 = 玄1亠玄1 = 200a1210 =(200a f = 4(100a)21I (100

7、a)21 _ _ ,I0 _4 (100a)2 - 47.平面光的波長為480nm,垂直照射到寬度為 0.4mm的狹縫上,會聚透鏡的焦距為 60cm. 分別計(jì)算當(dāng)縫的兩邊到P點(diǎn)的相位為n /2和n /6時(shí),P點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離.解：設(shè)P點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離為 y，透鏡的焦距為f?？p寬為b，則位相差和光程差的關(guān)屮2兀2兀2兀2兀ybsin j ：b tanb 7系式為兒-fji當(dāng)縫的兩邊到P點(diǎn)的位相差為2時(shí),P點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離為丄/86002 二 0.4JT0.18mm2ji當(dāng)縫的兩邊到P點(diǎn)的位相差為6時(shí),P點(diǎn)離焦點(diǎn)的距離為y = f/8106002nb2兀 x 0.40.06mm68.白光形成的單縫衍射圖

8、樣中，其中某一波長的第三個(gè)次最大值與波長為 波的第二個(gè)次最大值重合.求該光波的波長.解：由單縫衍射次最大值的位置公式可知600nm的光所以5428.67nm所以該光為紫色光.9.波長為546.1 nm的平行光垂直地射在 1mm寬的縫上，若將焦距為100cm的透鏡緊貼 于縫的后面，并使光焦距到屏上，問衍射圖樣的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三 最小值的距離分別為多少 ？解：根據(jù)單縫衍射圖樣的最小值位置的公式可知：bsin : btan 二二 b-. = k得第一、第三最小值的位置分別為=2=2得第一、第三最小值的位置分別為f1000 5.461 10=0.5461mm1 b

9、1y3 J1.638mmb由單縫衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式bsin %koy10 = ?漢丄九=3漢 1000：5.461 沢 10=0.819mm得2 b 2110.鈉光通過寬0.2mm的狹縫后，投射到與縫相距300cm的照相底片上.所得的第一最小 值與第二最小值間的距離為 0.885cm,問鈉光的波長為多少？若改用X射線（入=0.1 nm）做此實(shí) 驗(yàn),問底片上這兩個(gè)最小值之間的距離是多少 ？解：如果近似按夫瑯和費(fèi)單縫衍射處理，則根據(jù)公式得第二最小值與第一最小值之間的距離近似地為sin九2k01 _2 b:y = y2 -y1 ： 2 f f21 b bzy b 0.02 0.

10、885 “c590 nm那么f r300如果改用 = 40 10 cm 時(shí)f九 300漢40漢10 *6 10 cm b0.0212. 一束平行白光垂直入射在每毫米50條刻痕的光柵上，問第一級光譜的末端和第二光譜的始端的衍射角 B之差為多少？（設(shè)可見光中最短的紫光波長為400nm,最長的紅光波長為760nm）解：由光柵方程dsin二=j 得sin -17.6 10,0.02-3.8 10所以片=2.18=2=2得第一、第三最小值的位置分別為=2=2得第一、第三最小值的位置分別為4.0 10,0.02= 4.0 10=2=2綜上，一級光譜與二級光譜不重疊;二級光譜的600 700 nm與三級光譜

11、的所以匕=2.29綜上，一級光譜與二級光譜不重疊;二級光譜的600 700 nm與三級光譜的綜上，一級光譜與二級光譜不重疊;二級光譜的600 700 nm與三級光譜的1 d0.02mm式中50所以 宀-2.29 -2.18 =636 J2 10Jrad13. 用可見光（760400nm）照射光柵是，一級光譜和二級光譜是否重疊？二級和三級怎 樣？若重疊，則重疊范圍是多少？解：根據(jù)光柵方程d sin v - j，.八 上紅760nmsi n 日1 =得 J =，ddc紫800nmsin R = 2J =2d d因?yàn)樨皟?所以一級和二級不重疊.紅 1520nm而 j =2, si門出二2 ddsin

12、r3 =3 紫d1200nmd綜上，一級光譜與二級光譜不重疊;二級光譜的600 700 nm與三級光譜的綜上，一級光譜與二級光譜不重疊;二級光譜的600 700 nm與三級光譜的0 0因?yàn)?3092d2沃0.280：00.3 -18光線與界面成18 的角度時(shí)，能觀察到二級光譜。20如圖所示有三條彼此平行的狹縫，寬度均為b,縫距分別為d和2d,試用振幅矢量疊加法證明正入射時(shí)，夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度公式為：.2u式中二 bsin v二d sin v,v =I . = l02 3 2(cos2v cos4v cos6v)u玻片加入后的光柵方程為d(sin 二sin -0)=二.2玻片加入后的光柵方程為d(

13、sin 二sin -0)=二.2證明：設(shè)單縫衍射的振幅為ar,三縫衍射的總振幅為=丐(1+ cos 好 +COS3)餡=屯(1 + sin . ：； +sin 3 ),1 主 A；= A； +A；=A，則又；2J (1+ COS m +COS3 ：)2=J 3+2 (cos 丄；+cos2.J； +cos sin ua ao-= u ,二bsin :-u=遼匹二2u2+ (1 +)sin +sin 3) 2d si nrI . =a02(sin u )23 2(cos2v cos4v cos6v) = l0(sin u)23 2(cos2v cos4v cos6v) uu:bs i :n: d

14、 s i ：nu,v =其中扎扎，得證.21 一寬度為2cm的衍射光柵上刻有12000條刻痕。如圖所示，以波長黑=500nm的單色光垂直投射，將折射率為 1.5的劈狀玻璃片置于光柵前方，玻璃片的厚度從光柵的一端到另一 端由1mm均勻變薄到0.5mm，試問第一輯主最大方向的改變了多少？tan A 常1 一0.5 =0.025解：首先求玻璃片的頂角A,20.A =0.025rad =1.43單色平行光經(jīng)劈后的偏向角為入=(n-OA.0125!故玻片未加前的光柵方程為d sin r = j，,._sin 9 = j = -1 時(shí)，d ,21題圖尢=500nm,d =丄漢 104nm將6代入上式，得J

15、 - arcsin( ) - -17.46d玻片加入后的光柵方程為d(sin 二sin -0)=二代入數(shù)據(jù)得：sin八 0.2875或sin八占0.3125即八 16.71 或二 = -18.21那么，第一級最大的方向改變?yōu)镈 -屮一4522 一平行單色光投射于衍射光柵上，其方向與光柵的法線成53的方向上出現(xiàn)第一級譜線，且位于法線的兩側(cè)。入角，在和法線成11和(1)試求入射角厲；(2)試問為什么在法線兩側(cè)能觀察到一級譜線，而在法線同側(cè)則能觀察到二級譜線?解：(1)如圖(a)所示，若入射方向與衍射方向處于法線的同側(cè)， 根據(jù)光程差的計(jì)算，光柵方程為d(si門寸sin%)=，(1)如圖(b)所示，若

16、入射方向與衍射方向處于法線的兩側(cè), 根據(jù)光程差的計(jì)算，U光柵方程為：dsi ndsin%siTsinr)(1)-，得2將日二11，日=53代入得 =17.7(2)當(dāng)位于法線兩側(cè)時(shí)，滿足sin v - sin 無 j dsin 53 =sin17.7 +一=sin 53 -sin17.7一級譜線：d 故dsin 日=sin 日0 + 2 二級譜線：d (5)(b)將代入得 sisi”o2(siR-sig) =1.29 1故當(dāng)位于法線兩側(cè)時(shí)，第二級譜線無法觀察到。當(dāng)位于法線同側(cè)時(shí)，滿足dsi= j - dsi，j = 2時(shí)，sin _ 2 一 sin v0d ( 6)將(4)代入(6)得si=0.6855 1故位于法線同側(cè)時(shí)，第二級譜線也可觀察到。23波長為 600nm的單色光正入射到一透射光柵上，有兩個(gè)相鄰的主最大分別出現(xiàn)在 sin =0.2和sin匕=0.3處，第四級為缺級。（1 ）試求光柵常量；（2）試求光柵的縫可能的最小寬度；（3 ）在確定了光柵常量與縫寬之后，試